基于CZT的分級聚焦波束形成算法

姜科 王忠康

（第七一五研究所，杭州，310023）

水聲信號的處理中，無論是對水下目標進行定位還是成像都離不開波束形成。波束形成根據(jù)目標信號的距離，可以分為遠場波束形成和近場聚焦波束形成。常規(guī)波束形成通常采用時延相加法[1]，對各個陣元接收的信號進行時延或相移補償，使各個陣元接收信號達到相同相位，同相相加后極大值輸出，估計出目標信號的方位。在水下近場成像應用中，目標位于近場，波束形成中的時延差是方位和距離的二元函數(shù)，因此需要掃描的點數(shù)會大大增加，從而計算量也變得很大。在三維成像領域波束形成的計算量和存儲量問題更為突出。近年來，三維成像技術得到廣泛關注[2-5]。多波束三維成像可以通過兩種方式實現(xiàn)：首先利用一維線陣獲取目標的二維數(shù)據(jù)，然后對所有數(shù)據(jù)進行擬合，生成三維圖像；第二種利用二維平面陣直接獲取目標的三維圖像。前者成像速率低，不適合對移動物體成像；后者需要大量的數(shù)據(jù)處理及多次波束形成，在實踐中很難實現(xiàn)。文獻[6]提出一種利用FFT動態(tài)聚焦的三維成像方法，可以降低計算復雜度，改善固定深度聚焦的局限性。文獻[7]提出了一種非周期稀疏陣列的優(yōu)化合成方法，克服了與硬件成本和信號處理計算量相關的問題。文獻[8]提出了分級聚焦波束形成算法，大大減少了波束形成的計算量和存儲量；但是當目標位于極近場時，會出現(xiàn)旁瓣增加，算法性能下降。根據(jù)幾何模型，每個子陣抽取不同的波束序號進行近場聚焦波束形成可以更好的抑制旁瓣，但是其計算量和存儲量明顯增加。文獻[9,10]提出了利用CZT波束形成及其擴展方法，可用于三維遠場數(shù)字波束形成和三維近場數(shù)字波束形成，且計算量低于實時圖像生成的傳統(tǒng)頻域和時域波束形成方法。文獻[11]對三維成像聲吶頻域波束形成算法進行了優(yōu)化，得到了與傳統(tǒng)算法相同的波束強度矩陣，減小了相移參數(shù)的存儲空間。本文提出基于CZT的分級聚焦波束形成算法，當子陣的陣元數(shù)目比較多的時候，采用CZT進行遠場波束形成，用Matlab對后者進行仿真驗證。

1 模型、算法理論分析

1.1 常規(guī)近場聚焦波束形成

當目標位于遠場，接收到的回波聲線基本平行，可以看成平面波；當目標位于近場，聲波按照球面波的形式擴展，不能近似為平面波。一般認為聲源到陣列距離r滿足以下條件即可認為是遠場：

式中，D表示基陣孔徑長度，λ為信號的波長。可設置臨界條件為[12]

圖1為近場聚焦定位模型。設有M個陣元等間距分布線陣，陣元間距d，目標到陣中心的距離為r，方位角為θ，目標發(fā)射為窄帶信號，信號中心頻率fc，聲速c。可以求得每個陣元到目標的距離：

式中，xi表示每個陣元到中心參考點的距離，則以陣中心為參考點，每個陣元接收信號的時間延遲為：

每個陣元的相位延遲可以表示為exp(j2πfcτi)。常規(guī)近場聚焦波束形成，即對長度為Q的第i個陣元的時域信號做FFT，得到Xfi(k)，其中k表示頻率索引值，fk=kfs/Q，fs為采樣頻率，得到第k個頻率的波束輸出為：

式中，ai表示對第i個信號的加權系數(shù)，本文設置該加權系數(shù)為1。

圖1 基于近場聚焦波束形成的定位模型

1.2 分級聚焦波束形成原理

分級聚焦波束形成（除了第一級）是在前一級各個子陣之間進行的，前一級子陣陣元數(shù)目較少，波束寬度較大，可以形成較少的波束，且只在最后一級進行聚焦波束形成，大大減少了數(shù)據(jù)的存儲量和計算量。本節(jié)以一個M元等間距線陣的二級聚焦波束形成在不考慮插值的情況下說明其基本原理。如圖2所示，先將M個陣元劃分為N2個子陣，每個子陣的陣元數(shù)目為N1，首先對第一級子陣做遠場波束形成，預形成p個波束。然后根據(jù)這N2個子陣的波束輸出做第二級的近場聚焦波束形成，得到K=p個方位的波束輸出。

用Matlab進行仿真，驗證分級聚焦波束形成的可行性。仿真條件：半波長等間距線陣，陣元數(shù)目48，陣元間距d=6 mm，信號中心頻率為125 kHz，聲速1 500 m/s，信號采樣頻率為1 MHz，劃分12個子陣，第一級子陣的臨界距離為0.1 m，整個線陣的臨界距離為26.5 m，此時分級聚焦波束形成的作用距離范圍為0.1 m＜＜R＜＜26.5 m，假設角度掃描范圍為（-90°，90°），距離掃描范圍為（0.5 m，50 m），掃描181個點，目標方位為（0.8 m，45°），掃描300個點，滿足分級聚焦波束形成條件。此時仿真結(jié)果見圖3。

圖2 分級聚焦波束形成原理圖

圖3 目標位于（0.8 m，45°）時三種方法波束形成結(jié)果

與常規(guī)聚焦波束形成對比，近場條件下，常規(guī)的分級聚焦波束形成會出現(xiàn)-16 dB的旁瓣，使目標方位上的能量泄漏到其他方位。這是因為常規(guī)的分級聚焦波束形成在做近場補償?shù)臅r候，抽取上一級子陣波束形成輸出的波束序號是相同的；但是當目標距離過近時，目標相對每個子陣的方位是不同的，導致誤差變大，無法估計目標方位。

在此基礎上進行改進，根據(jù)目標實際幾何模型，選取合適的波束序號來抑制近場條件下相同波束造成的高旁瓣。抽取波束序號可以預先計算存儲。改進后的結(jié)果如圖4所示（目標方位：0.8 m, 45°)，根據(jù)幾何模型進行波束抽取，再進行第二級聚焦波束形成之后，旁瓣明顯得到抑制。目標方位上的幅度也明顯增加。為了進一步減少計算量和存儲量，在做遠場處理的時候使用CZT快速算法[13]。

圖4 波束抽取修正前后的結(jié)果對比

1.3 頻域遠場波束形成

假設陣元間距為d，信號入射方向θ(線陣法線和信號入射所在直線的夾角)，假設表示第n個陣元接收到的時域采樣序列，其中0≤n≤N1-1，i表示采樣數(shù)據(jù)的時間下標。將每個陣元的時域信號進行分段截取，每段采樣信號序列長度為Q，相鄰兩段時間序列信號允許重疊。然后對截取的時間采樣序列做FFT，得到其中k表示頻率索引，對應的頻率值fk=kfs/Q，fs為采樣頻率。最后對每個頻率做頻域波束形成，得到：

式中，wn是權系數(shù)，用于控制旁瓣，設置權系數(shù)為1。

文獻[14]中介紹了五種計算式（6）的方法，本文只涉及其中兩種算法，分別為直接法和CZT。前者直接進行復數(shù)點積運算。我們假設已經(jīng)執(zhí)行了wnXn(k)加窗操作，則每次點積計算需要N1次復乘法和N1-1次復加法，預先存儲N1個由式（6）中后面相位延遲項計算得到值。

1.4 CZT算法原理

CZT算法可用于計算復平面上一般輪廓上的多項式。具體來說，CZT可用于求多項式在點zm=AW-m處的值，其中A和W分別定義為

CZT算法每次計算只需預先存儲A和W兩個值。式（6）可以重新寫成多項式的形式

式中，an=wnXn，并且省略下標k。

當式（6）中的sinθ等間隔分布，即

且令

式中，θf為終點角度，θi為起點角度，Nb為預成波束數(shù)，zθ用zm代替，因此CZT可以用于計算當sinθ等間隔分布時的波束形成，變換后得到

該算法需要N+L+Nb次復數(shù)乘法（步驟1、3、5）和2次L=2N點的復數(shù)FFT（步驟2、4），一次L點的復數(shù)FFT需要(L/2)lbL個蝶形結(jié)構(gòu)，每個蝶形結(jié)構(gòu)需要10次實數(shù)操作，所以總計算量在實際算術運算中為：

2 存儲量和計算量分析

2.1 存儲量分析

常規(guī)分級聚焦波束形成算法中，第一級頻域遠場波束形成所需要的相位補償參數(shù)先計算好并存儲。對于M個陣元的線陣，每個子陣陣元數(shù)目N1，劃分為N2個子陣，第一級預形成B1個方向上的波束，第二級近場聚焦波束形成在角度上預形成Ba2個波束。那么在確定距離上直接進行頻域分級波束形成所需要的存儲量為N1×B1+N2×Ba2，而使用CZT波束形成算法所需的相位補償參數(shù)的存儲量為2+N2×Ba2。顯然，使用CZT波束形成算法所需的存儲量低于頻域分級波束形成的計算量，且隨著第一級子陣陣元數(shù)和波束數(shù)的增加，后者算法的存儲優(yōu)勢越明顯。

2.2 計算量分析

假設預形成Nb個波束，Nb=N1-1，確定的距離下，對單個頻率波束形成的計算量進行分析，直接法的第一級遠場波束形成的計算量為(8N1-2)Nb，使用CZT算法的第一級遠場波束形成的計算量是38N1+6Nb+20N1lbN1[14]，以上兩種波束形成的第二級波束形成計算量相同，其計算量為(8N2-2)Nb，常規(guī)聚焦波束形成的計算量為(8N1N2-2)Nb。下面取2≤Nb≤1 024，N2=2，對常規(guī)聚焦波束形成、常規(guī)分級聚焦波束形成和基于CZT的分級聚焦波束形成三種算法的計算量進行對比，見圖5。當波束數(shù)小于16，使用CZT算法的計算量大于直接算法的計算量；隨著陣元數(shù)增加，使用CZT法比直接法更有優(yōu)勢。而常規(guī)波束形成在波束數(shù)大于8的時候，計算量始終大于常規(guī)分級聚焦波束形成和基于CZT的分級聚焦波束形成。

圖5 不同陣元數(shù)三種算法的計算量，N2=2

3 仿真驗證分析

為了驗證本文算法在子陣的陣元數(shù)較多情況下具有的優(yōu)勢，把陣元數(shù)增加到640，劃分10個子陣；第一級子陣遠場條件，11.9 m；基陣遠場條件，122.46 m；假設角度掃描范圍（-90°，90°），距離掃描范圍（11.9 m, 300 m），劃分181個點，目標方位（30 m, 0°），掃描300個點。計算機仿真軟件硬件參數(shù)見表1。從圖6和表2中可以看出，基于CZT的分級聚焦波束形成得到的方位估計結(jié)果和常規(guī)分級聚焦波束形成得到的結(jié)果一致，計算耗費時間明顯減少，但是在幅值上有1.3 dB損失，其原因是使用CZT計算遠場波束形成上有損失。證明基于CZT的分級聚焦波束形成算法是可行的。若因遠場近似導致在目標方位上能量的衰減過大(以1 dB損失為門限)，可以通過減少子陣陣元的數(shù)目，以減小遠場近似帶來的損失。

圖6 兩種算法波束形成結(jié)果對比，目標位置（30 m, 0°）

表1 計算機仿真軟件硬件參數(shù)

表2 不同方法進行分級聚焦波束形成的平均計算時間

4 結(jié)論

本文將CZT應用到分級聚焦波束形成中，子陣中陣元數(shù)較多的遠場波束形成用CZT去計算。和常規(guī)分級聚焦波束形成相比，計算量和存儲量都得到改善，子陣的陣元數(shù)越多，優(yōu)勢越明顯。目標位于近場時，根據(jù)幾何模型抽取第二級波束，導致計算量增加，雖然使用CZT計算遠場波束形成可以優(yōu)化計算量和存儲量，但還是比常規(guī)分級聚焦計算量大。在實際應用中可以對掃描范圍進行劃分，當目標位于極近場時才對近場聚焦波束根據(jù)幾何模型抽取，并且使用基于CZT的分級聚焦波束形成算法進行計算。