量子等離子體模型孤子波解

馮依虎 ，汪維剛，莫嘉琪

(1. 亳州學院電子與信息工程系，安徽 亳州 236800；2. 上海大學數(shù)學系，上海 200436；3. 合肥幼兒師范高等專科學校，安徽 合肥 230011；4. 安徽師范大學數(shù)學和計算機科學學院，安徽 蕪湖241003)

近年來, 各類等離子體的研究已有很多論述，例如對激光等離子體，致密天體等離子體和塵埃磁等離子體等的特性的研究[1-9]。一些量子等離子聲波與量子相關的特性也有很深入的討論[10-11]。

當前許多學者對于非線性問題的解作了較多的探討。莫嘉琪等[12-18]也利用一些漸近分析等方法討論了一類非線性物理問題[19-39]。

本文是在具有電子和離子的情形下，討論了溫度梯度及其密度的量子等離子體系統(tǒng)。利用有關數(shù)學物理方法和理論，來探討其非線性系統(tǒng)類孤子波解的性態(tài)。

1 量子等離子動力學模型

由量子等離子體動力學理論，在量子的碰撞頻率比較低的時，一類非均勻量子等離子體非線性動力學模型為[17]

(1)

模型(1)是非線性偏微分數(shù)學物理方程。我們采用較特殊的方法來討論方程(1)的擾動孤子波解。

(2)

現(xiàn)求非線性無量綱量子等離子方程(2)的孤子波解。引入行波變換:

(3)

(4)

這里

(5)

2 等離子體靜電勢零次孤子波

設非線性無量綱行波方程(4)的擾動解為

(6)

將(6)式代入行波方程(4)，按微擾參數(shù)ε展開非線性項，合并εi(i=0,1,)同次冪項， 并分別令它們的系數(shù)為零。由ε0的系數(shù)為零，得到非線性方程:

(7)

其中α,β,γ,κ由(5)式表示。

現(xiàn)利用雙曲函數(shù)待定系數(shù)法求方程(7)的解。設方程(7)有孤子波解

(8)

其中Ai,Bi為待定常數(shù)。將(8)式代入非線性方程(7)，合并tanhτ的各正負次冪的系數(shù)，并分別設其為零，我們能決定系數(shù)Ai和Bi。再將得到的Ai和Bi代回(8)式，便有如下兩個孤子波解：

(9)

v20(τ)=C0+C1(2-tanhτ)tanhτ

(10)

這里的常數(shù)C0,C1為:

(11)

取C0=0,C1=10。這時孤子波解(9)和(10)式分別描述了兩個不同性態(tài)的奇異孤子v10，和v20正常孤子波解。如圖1，2所示。

圖1 量子等離子體靜電勢零次孤子波v10(τ)曲線(C0=0,C1=10)Fig.1 The zero-th solitary wave v10(τ) curve in quantum plasma electrostatic potential (C0=0,C1=10)

圖2 量子等離子體靜電勢零次孤子波v20(τ)曲線(C0=0,C1=10)Fig.2 The zero-th solitary wave v20(τ) curve in quantum plasma electrostatic potential (C0=0,C1=10)

圖3 量子等離子體靜電勢零次孤子波曲線(C0=0,C1=1)Fig.3 The zero-th solitary wave curve in quantum plasma electrostatic potential (C0=0,C1=1)

圖4 量子等離子體靜電勢零次孤子波曲線(C0=0,C1=1)Fig.4 The zero-th solitary wave curve in quantum plasma electrostatic potential (C0=0,C1=1)

3 等離子體靜電勢的各次孤子波

將(7)式代入行波方程(4)，按微擾參數(shù)ε展開非線性項，合并εi(i=0, 1,)同次冪項。 由ε1的系數(shù)為零，得到線性方程:

(12)

其中v0是由(9)，(10)式?jīng)Q定的已知函數(shù)。由線性方程(12)可得到在零初值下的解v11(τ),v21(τ)。

于是由擾動理論和(7)式，我們可得到兩個非均勻非線性無量綱量子等離子方程(4)靜電勢的一次近似的孤子波解v1(τ,ε),v2(τ,ε):

(13)

v2(τ,ε)=C0+C1(2-tanhτ)tanhτ+εv21(τ)+O(ε2), 0<ε?1

(14)

取C0=0,C1=10。這時孤子波解(13)和(14)式分別描述了兩個不同性態(tài)的孤子波靜電勢的一次擾動函數(shù)v11,v21。如圖5，6所示。

圖5 量子等離子體靜電勢一次孤子波v11(τ)曲線(C0=0,C1=10)Fig.5 The first solitary wave v11(τ) curve in quantum plasma electrostatic potential (C0=0,C1=10)

圖6 量子等離子體靜電勢一次孤子波v21(τ)曲線(C0=0,C1=10)Fig.6 The first solitary wave v21(τ) curve in quantum plasma electrostatic potential (C0=0,C1=10)

用同樣的方法，由量子等離子體非線性動力學模型(4)的結構，可依次得到函數(shù)序列{v1n}和{v2n}。

由攝動理論知[12,40]，由(7)式?jīng)Q定的級數(shù)

在τ的有限區(qū)間內(nèi)是一致有效的。即

于是v1n(τ,ε)以及v2n(τ,ε)就是方程(4)兩個量子等離子體靜電勢孤子波的n次孤子波漸近近似解:

考慮到變換(3)，于是un(k1y1+k2z1-k3t1)就是量子等離子體非線性動力學無量綱模型(2)的兩個靜電勢孤子波的n次行波解:

0<ε?1,

0<ε?1

4 等離子體的力函數(shù)孤子波

利用量子等離子體非線性動力學無量綱模型(4)的靜電勢孤子波擾動解，可以得到各類相關的物理量。例如由方程(4)和關系式(13)～(14)，不難得到量子等離子體非線性動力學無量綱的兩個力函數(shù)的n次孤子波函數(shù)F1n(τ,ε),F2n(τ,ε):

n=1,2,,0<ε?1

n=1,2,,0<ε?1

取C1=10，這時量子等離子體非線性動力學無量綱的兩個力函數(shù)的一次孤子波函數(shù)F11(τ,ε),F21(τ,ε)的曲線如圖7，8所示。

圖7 量子等離子體力函數(shù)一次孤子波F11(τ)曲線(C1=10)Fig.7 The first solitary wave F11(τ) curve in quantum plasma force function (C1=10)

圖8量子等離子體力函數(shù)一次孤子波F21(τ)曲線(C1=10) Fig.8 The first solitary wave F21(τ) curve in quantum plasma force function(C1=10)

5 結 論

通過非均勻量子等離子體系統(tǒng)的動力學方程，可以討論該系統(tǒng)電勢的沖擊解、爆炸解和旋渦解等，并可分析電勢的沖擊波的幅度和爆炸波的寬度和密度與漂移速度的變化關系等。從而可了解靜電勢隨時空的變化的穩(wěn)定性狀等物理性態(tài)。

非均勻量子等離子擾動系統(tǒng)出自于復雜的自然現(xiàn)象。為了研究非線性孤子波較復雜的模型，我們有時需要用近似方法去求解它。本文所用雙曲函數(shù)待定系數(shù)和擾動理論方法就是一個有效的方法。用本文方法得到的解，還可進行解析運算。因此它可以繼續(xù)研究孤子波解相關物理量的其它物理性態(tài)。