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    相空間中可控力學(xué)系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量

    2019-10-14 03:39:38季曉慧朱建青
    關(guān)鍵詞:相空間控制參數(shù)時(shí)間尺度

    季曉慧,朱建青

    (蘇州科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院,江蘇 蘇州 215009)

    1988年,Hilger提出了時(shí)間尺度理論[1],將連續(xù)分析與離散分析統(tǒng)一起來(lái)。自時(shí)間尺度理論提出以來(lái),已被應(yīng)用于許多領(lǐng)域[2-11],如變分原理、最優(yōu)控制等。在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究中,對(duì)稱性和守恒量的研究是一個(gè)重要方向。1918年,Noether揭示了Hamilton作用量在無(wú)限小變換群下的不變性,并得到守恒量。近年來(lái),利用對(duì)稱性尋找守恒量的研究已取得重要的成果[12-19]。但是,關(guān)于時(shí)間尺度上動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量的研究相對(duì)較少。2004年,Boner[20]研究了時(shí)間尺度上的變分問(wèn)題。從此開(kāi)始,對(duì)于時(shí)間尺度上變分問(wèn)題的研究進(jìn)展迅速。2008年,Bartosiewicz和Torres[21]使用時(shí)間重新參數(shù)化技術(shù)得到了一般無(wú)限小變換群下的Noether定理。2013年,Cai等[22]研究了時(shí)間尺度上約束力學(xué)系統(tǒng)的Noether理論。2014年,Peng和Luo[23]研究了時(shí)間尺度上Hamilton系統(tǒng)的Noether定理。2015年,Song和Zhang[24]建立了時(shí)間尺度上的Birkhoff方程。隨著控制理論的發(fā)展,許多學(xué)者對(duì)可控系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量進(jìn)行了研究[25-27]。而,時(shí)間尺度上可控系統(tǒng)的研究剛剛起步。本文研究了時(shí)間尺度上相空間中可控力學(xué)系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性及其守恒量,并通過(guò)算例說(shuō)明其應(yīng)用。

    1 時(shí)間尺度上相空間中可控力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

    設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs(s=1,2,,n)確定,系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)受g個(gè)包含控制參數(shù)的一階非chetaev型非完整約束為

    β=1,2,,g;

    s=1,2,,n;

    r=1,2,,b

    (1)

    約束(1)對(duì)虛位移的限制條件為

    s=1,2,,n;

    β=1,2,,g;

    r=1,2,,b

    (2)

    時(shí)間尺度上Lagrange函數(shù)為

    (3)

    (4)

    假設(shè)系統(tǒng)非奇異,即

    (5)

    (6)

    其中

    (7)

    引進(jìn)時(shí)間尺度上廣義動(dòng)量和Hamilton函數(shù)

    (8)

    (9)

    在相空間中,方程(1)、(2)和(7)式可寫(xiě)成

    =0

    (10)

    (11)

    (12)

    時(shí)間尺度上Hamilton作用量為

    (13)

    對(duì)于時(shí)間尺度上相空間中有非勢(shì)力的力學(xué)系統(tǒng),Hamilton原理可表示為

    (14)

    (15)

    δqs(t)|t=t0=δqs(t)|t=t1

    =0

    (16)

    =0

    (17)

    利用式(16)有

    (18)

    將(18)式代入(17)式,得

    (19)

    方程(19)兩邊對(duì)ps求偏導(dǎo)數(shù),得

    (20)

    將(20)式代入(19)式,得

    (21)

    將(21)式兩邊求Δ導(dǎo)數(shù),得

    s=1,2,,n;

    β=1,2,,g

    (22)

    聯(lián)立方程(20)和(22),由(12)式,可得

    (23)

    稱方程(23)為系統(tǒng)(10)、(11)、(20)和(22)的時(shí)間尺度上可控完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程,通過(guò)方程(23)中的控制參數(shù)vr來(lái)控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。

    2 時(shí)間尺度上相空間中可控力學(xué)系統(tǒng)的Noether定理

    引進(jìn)時(shí)間變化的單參數(shù)無(wú)限小變換群

    (24)

    其中,ε為無(wú)限小參數(shù),ξ0、ξs和ηs為該無(wú)限小變換的生成元。

    定義1若作用量(13)在變換(24)下是廣義準(zhǔn)對(duì)稱不變量,當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的[ta,tb]?[t0,t1],都有

    (25)

    判據(jù)1對(duì)于無(wú)限小變換(24),如果無(wú)限小生成元ξ0、ξs、ηs滿足如下條件

    (26)

    則,變換為Noether意義下的廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換。

    定理1如果無(wú)限小變換(24)是系統(tǒng)(23)下的廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換,那么

    =C

    (27)

    是該系統(tǒng)的守恒量。

    證明

    =0

    推論1若T=R,非完整約束為Chetaev型時(shí),σ(t)=t,μ(t)=0,于是(26)式給出經(jīng)典的結(jié)構(gòu)方程

    (28)

    則守恒量(27)稱為經(jīng)典的相空間中可控力學(xué)系統(tǒng)的守恒量[25]

    I=psξs-Hξ0+G=C

    (29)

    3 算 例

    定義時(shí)間尺度

    T={hk∶k∈Z}

    (30)

    系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

    (31)

    所受的非完整約束為

    (32)

    其中,v(t)為控制參數(shù),v(t)是t的函數(shù),假設(shè)(32)是非Chetaev型的,虛位移限制方程為

    (33)

    根據(jù)(8)式和(9)式,有廣義動(dòng)量和Hamilton函數(shù)

    (34)

    (35)

    建立該系統(tǒng)的正則方程,由式(22)得

    (36)

    由(32)、(34)和(36)式,求得

    (37)

    于是有

    (38)

    根據(jù)式(2)和(26)式,可得

    =-GΔ

    (39)

    (40)

    由(39)和(40)式,解得該系統(tǒng)的生成元

    ξ0=0,ξ1=1,ξ2=1,η1=η2=0

    (41)

    將(41)式代入(26)式,有規(guī)范函數(shù)

    GΔ=1

    (42)

    解得

    G=t

    (43)

    由定理1,可得到守恒量

    I=p1+p2+t

    (44)

    4 結(jié) 論

    本文研究時(shí)間尺度上相空間中可控力學(xué)系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性。通過(guò)時(shí)間尺度上Hamilton原理,建立系統(tǒng)的Hamilton方程,得到了系統(tǒng)的Noether等式以及守恒量的具體表達(dá)式。由于時(shí)間尺度理論在動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的研究具有重要意義,本文可進(jìn)一步拓展到時(shí)間尺度上可控力學(xué)系統(tǒng)Lie對(duì)稱性,Mei對(duì)稱性等。

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