基于擺角約束的雙擺吊車軌跡規(guī)劃

張?zhí)斐?邵雪卷,張井崗

(太原科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院，山西 太原 030024)

0 引言

當(dāng)橋式吊車系統(tǒng)中的有效負(fù)載體積過大或當(dāng)?shù)蹉^質(zhì)量與有效負(fù)載質(zhì)量相比不可忽略時，橋式吊車系統(tǒng)會呈現(xiàn)雙擺效應(yīng)。此時，系統(tǒng)擺動特性更為復(fù)雜，同時會增加動態(tài)性能分析和設(shè)計控制方案的難度，導(dǎo)致基于單擺吊車系統(tǒng)所設(shè)計的控制方法應(yīng)用于雙擺吊車系統(tǒng)時難以取得令人滿意的效果。

針對雙擺橋式吊車系統(tǒng)，一些研究人員從開環(huán)控制的角度出發(fā)[1-6]，設(shè)計控制方案。文獻(xiàn)[3]提出一種基于迭代學(xué)習(xí)策略的梯形加速度樣條曲線軌跡規(guī)劃方法，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)改變時，能夠表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性。文獻(xiàn)[4]在考慮各種約束的前提下，給出了以運(yùn)輸時間為性能指標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)，并通過二分法來求解，以得到期望軌跡。然而開環(huán)控制在存在外界干擾或內(nèi)部擾動時難以保證良好的穩(wěn)定性。因此，閉環(huán)控制策略也逐漸開始應(yīng)用于雙擺吊車系統(tǒng)中[7-10]。例如文獻(xiàn)[7]分別為臺車定位和兩級擺動設(shè)計PID控制器。Sun等[8]設(shè)計了一種幅值飽和非線性狀態(tài)反饋控制器。此外，滑模控制[11]、魯棒控制[12]等控制方法也逐漸擴(kuò)展到雙擺吊車系統(tǒng)。

為了能夠方便地考慮系統(tǒng)的擺角約束、提高雙擺橋式吊車的工作效率、并滿足系統(tǒng)對安全性和快速性的的要求，本文設(shè)計了一條能夠滿足擺角約束的有效負(fù)載擺角曲線。該設(shè)計根據(jù)臺車運(yùn)動和兩級擺動的耦合關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于時間和最大擺角的目標(biāo)函數(shù)，從而將軌跡規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化成一個優(yōu)化問題，并利用粒子群算法求解。最終，通過仿真驗證所提方法的有效性。

1 問題描述

橋式吊車因其成本低廉、機(jī)械結(jié)構(gòu)簡單等特點，在現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)運(yùn)輸過程中得到了廣泛的應(yīng)用。整個運(yùn)輸過程中要求臺車能夠安全、準(zhǔn)確地運(yùn)送至指定位置，并且有效抑制負(fù)載擺動。在實際工作中，通常由經(jīng)驗豐富的工人來對吊車進(jìn)行控制。然而，人工操作的方式存在定位精度差、有殘余擺動等問題。此外，由于吊車系統(tǒng)欠驅(qū)動特性的存在，臺車運(yùn)動與負(fù)載擺動高度耦合，一旦操作不當(dāng)就會造成較大的負(fù)載擺動，一些失誤甚至?xí)?dǎo)致負(fù)載的不可控擺動，引發(fā)安全事故。因此，吊車系統(tǒng)的自動控制方案研究非常重要。

雙擺橋式吊車系統(tǒng)模型如圖1所示。圖1中：M、m1、m2分別為臺車質(zhì)量、吊鉤質(zhì)量和有效負(fù)載質(zhì)量；l1為吊繩繩長；l2為有效負(fù)載重心到吊鉤重心之間的距離；x(t)為臺車位移；θ1(t)為吊鉤擺角；θ2(t)為有效負(fù)載繞吊鉤產(chǎn)生的擺角；g為重力加速度常數(shù)；F(t)為作用在臺車上的驅(qū)動力。

圖1 雙擺橋式吊車系統(tǒng)模型

由拉格朗日方程，可得雙擺橋式吊車的運(yùn)動學(xué)模型如下：

(1)

(2)

(3)

對式(2)、式(3)化簡，整理可得：

(4)

(5)

式(4)、式(5)表示了臺車運(yùn)動和兩級擺動之間的耦合關(guān)系，即臺車運(yùn)動對兩級擺動的影響。在實際運(yùn)用中，往往會進(jìn)行如下近似處理：

sinθ1≈θ1,sinθ2≈θ2,cosθ≈1,cosθ2≈1

sin(θ1-θ2)≈(θ1-θ2),cos(θ1-θ2)≈1

此時，式(4)可改寫為：

(6)

(7)

聯(lián)立式(6)、式(7)，可得：

(8)

式(8)表明了吊鉤擺角和有效負(fù)載繞吊鉤產(chǎn)生的擺角之間的近似關(guān)系。

2 軌跡規(guī)劃

在實際工作中，臺車的水平運(yùn)輸過程通常可以分為三個階段：加速階段、勻速階段和減速階段，并且加速階段與減速階段互為中心對稱。在加速階段，臺車速度逐漸增加，直至進(jìn)入勻速階段。在勻速階段后，臺車勻速運(yùn)行。到達(dá)減速階段，臺車速度逐漸減小，到達(dá)指定位置，此時臺車速度為零。加速階段與減速階段互為中心對稱。符合這一規(guī)律的水平運(yùn)輸過程如圖2所示。

圖2 水平運(yùn)輸過程示意圖

本文所提出的軌跡規(guī)劃策略同樣符合這一規(guī)律，每一階段的臺車運(yùn)動軌跡可分別表示為：

(9)

上述軌跡相對應(yīng)的兩級擺動分別表示為：

(10)

(11)

為了保證橋式吊車系統(tǒng)的安全性，并提高系統(tǒng)的工作效率，本文針對雙擺橋式吊車系統(tǒng)規(guī)劃得到的臺車軌跡應(yīng)能滿足如下約束。

①臺車從起始位置x0出發(fā)，tz時間內(nèi)到達(dá)指定位置pd。在整個運(yùn)輸過程中，臺車速度、加速度始終保持在允許的范圍內(nèi)，即：

x(t0)=x0

(12)

x(tz)=pd

(13)

(14)

(15)

(16)

②在運(yùn)輸過程中，兩級擺動始終保持在允許的范圍內(nèi)，每一階段結(jié)束時無殘余擺動，即：

θ(t0)=θ(tf1)=θ(tf2)=θ(tz)=0

(17)

(18)

(19)

(20)

為了使軌跡能夠滿足約束(12)～(20)，需對三個階段分別進(jìn)行分析，保證構(gòu)造所得軌跡能夠滿足不同階段的要求。

第一階段。在這一階段，需要規(guī)劃出能夠滿足各約束條件的臺車運(yùn)動軌跡和兩級擺動軌跡。由約束條件(12)～(16)可知，θ1(t)、θ2(t)在t0、tf1處應(yīng)有三階零點；又由式(8)所示兩級擺角之間的關(guān)系可知，在θ2(t)、tf1處有五階零點。因此，在第一階段可取θ21(t)、θ21(t)為下列多項式函數(shù)：

θ21(t)=k0(t-t0)5(t-tf1)5

(21)

則由式(8)可得到第一階段θ11(t)為：

(22)

式中：k0、tf1為待確定未知參數(shù)。

(23)

又由式(7)可知：

(24)

則第一階段的臺車運(yùn)動軌跡可計算如下：

(25)

式中：t∈[t0,tf1]。

(26)

當(dāng)臺車加速度為零，且θ1(tf1)=θ2(tf2)=0時,由式(4)、式(5)中臺車運(yùn)動與兩級擺角的耦合關(guān)系可知，在第二階段兩級擺角為：

θ12(t)=θ22(t)=0t∈[tf1,tf2]

(27)

第三階段。由于本文所提出的軌跡規(guī)劃策略符合第三階段與第一階段互為中心對稱這一規(guī)律，因此可通過第一階段的加速度軌跡來確定第三階段的加速度軌跡為：

(28)

通過計算可知，第三階段臺車位置與第一階段和第二階段有如下關(guān)系：

x3(t)=x1(tf1)+x2(tf2)-x(tf1+ff2-t)

(29)

式中：t∈[tf2,tz]。

另外，從期望軌跡的對稱性質(zhì),可得到第三階段中兩級擺角曲線分別為：

θ23=-θ21(tf1+tf2-t)t∈[tf2,tz]

(30)

θ13=-θ11(tf1+tf2-t)t∈[tf2,tz]

(31)

對于雙擺橋式吊車系統(tǒng)來說，運(yùn)輸總時間越短，臺車的加速度越大。由臺車運(yùn)動和兩級擺角之間的耦合關(guān)系可知，過大的加速度會導(dǎo)致系統(tǒng)兩級擺動角度超出允許的范圍，降低吊車系統(tǒng)的工作效率和安全性。為了使所得臺車運(yùn)動軌跡和兩級擺角軌跡均能保持在安全范圍內(nèi)、運(yùn)輸總時間和最大兩級擺角之間能夠保持一定平衡，構(gòu)造如下關(guān)于運(yùn)輸總時間和最大負(fù)載擺角的目標(biāo)函數(shù)：

F(tf1-t0,k0)=tz+α|θ21|max

(32)

式中：α>0為權(quán)重因子。

有效負(fù)載繞吊鉤產(chǎn)生的最大擺角可由式(23)表示，運(yùn)輸總時間可用三個階段的時間和來表示：

(33)

其中：

x(tf2)=pd-[x(tf1)-x0]

(34)

將式(34)代入(33)中，可知：

(35)

當(dāng)雙擺吊車系統(tǒng)參數(shù)已知時(不失一般性，t0、x0均取零)，需要確定未知參數(shù)k0、tf1，使得兩級擺動的最大擺角|θ1|max、|θ2|max和運(yùn)輸總時間都盡可能地小。本文采用粒子群算法來求解這一多變量非線性優(yōu)化問題。

粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法是一種智能算法，主要通過對鳥群的捕食行為進(jìn)行總結(jié)和模擬而得到。算法通過設(shè)計一種粒子來模擬鳥群中的個體。該優(yōu)化問題中的最優(yōu)解則被視為鳥群要尋找的食物源。所有的粒子僅具有速度和位置兩個屬性值。在迭代過程中，每一個粒子不僅可對自身最好的歷史位置進(jìn)行學(xué)習(xí)，還可以根據(jù)整個種群中最優(yōu)粒子的位置來對自己的位置進(jìn)行改進(jìn)；通過調(diào)整下一次迭代粒子尋優(yōu)的方向和速度，最終使整個種群中所有的粒子都趨于最優(yōu)解。算法的具體步驟如下。

①初始化粒子，確定最大迭代次數(shù)。

②計算目標(biāo)函數(shù)的值，驗證粒子是否滿足約束條件。若不滿足，刪除該粒子并重新初始化。

③對于每個粒子，將其當(dāng)前值與歷史最好值進(jìn)行比較，并更新粒子位置向量。

④對于每個粒子，將其當(dāng)前值與群體最好值進(jìn)行比較，并更新粒子位置向量。

⑤更新粒子的速度向量和位置向量。其中，可根據(jù)下式更新速度向量：

位置向量可按下式進(jìn)行更新：

⑥返回步驟②，直至迭代結(jié)束。

3 仿真與分析

為了驗證本文所提出軌跡規(guī)劃策略的有效性，在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行測試，使用文獻(xiàn)[5]中的吊車參數(shù)如下：

臺車目標(biāo)位置及系統(tǒng)狀態(tài)約束為：

目標(biāo)函數(shù)中，α取值為0.5。由粒子群優(yōu)化算法可確定為未知參數(shù)tf1=3.1、k0=0.001。

本文所提軌跡規(guī)劃方法得到的加速度軌跡和速度軌跡如圖3所示。

圖3 臺車加速度軌跡及速度軌跡

3.1 對比研究

與文獻(xiàn)[7]所提控制方法進(jìn)行比較，仿真對比結(jié)果如圖4所示。兩種方法的具體性能指標(biāo)對比如表1所示。

圖4 仿真對比結(jié)果

控制方法運(yùn)送總時間/s|θ1|max/(°)|θ2|max/(°)本文6.753.432.86文獻(xiàn)[7]7.974.506.80

從圖3、圖4可以看出，本文軌跡規(guī)劃方法得到的軌跡在滿足狀態(tài)約束的同時，可以保證臺車安全、準(zhǔn)確到達(dá)指定位置，并且能夠有效抑制兩級擺動。由表1所示性能指標(biāo)對比可知，與文獻(xiàn)[7]方法相比，本文臺車運(yùn)行時間為6.75 s，相較于文獻(xiàn)方法節(jié)省1.22 s，并且本文方法中兩級擺動分別為3.43(°)和2.86(°)，均小于文獻(xiàn)[7]方法。仿真表明，本文軌跡規(guī)劃方法具有較好的控制性能。

3.2 魯棒性研究

在實際工作中，不同運(yùn)輸任務(wù)中的負(fù)載質(zhì)量不盡相同，并且繩長可能需要重新調(diào)整。此時，一些控制方案可能需要重新設(shè)計。這會增加計算量和工作量，降低工作效率。因此，有必要測試本文控制方案在系統(tǒng)參數(shù)改變時的控制性能，驗證其魯棒性。

考慮以下幾種情況。

①l2=0.6(m),m2=5(kg)。

②l2=0.4(m),m2=10(kg)。

③l2=0.2(m),m2=10(kg)。

通過仿真得到的系統(tǒng)參數(shù)改變時的兩級擺動如圖5所示。其中，虛線表示兩級擺動的允許范圍。

圖5 系統(tǒng)參數(shù)改變時的兩級擺動

上述不同情況所對應(yīng)的兩級擺動的具體性能指標(biāo)如表2所示。

表2 不同系統(tǒng)參數(shù)性能指標(biāo)對比

由圖5及表2可知，當(dāng)?shù)踯囅到y(tǒng)中的有效負(fù)載和繩長變化時，本文所提控制方案所得到的兩級擺角幅值大小會產(chǎn)生變化，但始終保持在允許范圍內(nèi)，臺車運(yùn)行至指定位置后沒有殘余擺動存在。綜上可知，本文方法在臺車定位和擺角抑制方面都具有良好的性能。

4 結(jié)束語

本文針對具有雙擺特性的欠驅(qū)動橋式吊車系統(tǒng)，提出一種基于擺角約束的軌跡規(guī)劃方法。根據(jù)臺車與擺角之間耦合關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于時間和最大負(fù)載擺角的目標(biāo)函數(shù)。利用粒子群算法求取目標(biāo)函數(shù)中的未知參數(shù)，得到期望臺車加速度軌跡。該方法在滿足系統(tǒng)物理約束的同時，能夠保證臺車安全、快速定位至指定位置，并且抑制兩級擺動及殘余擺動。MATLAB仿真結(jié)果證明了本文方法的有效性和魯棒性。