基于多新息最小二乘算法的非線性系統(tǒng)辨識(shí)

劉芳芳,任曉明

(1.國(guó)網(wǎng)河南省電力公司技能培訓(xùn)中心，河南 鄭州 450051；2.中電科信息產(chǎn)業(yè)有限公司，河南 鄭州 450050)

0 引言

最小二乘遞推算法(recursive least square,RLS)是為解決傳統(tǒng)最小二乘算法計(jì)算量大且不能在線辨識(shí)而產(chǎn)生的。其具有易于在線辨識(shí)，計(jì)算量小且簡(jiǎn)單易用的優(yōu)點(diǎn)，備受學(xué)者和工程師的關(guān)注[1-2]。在線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)中是應(yīng)用較多的一種辨識(shí)算法。文獻(xiàn)[3]利用一階線性濾波技術(shù)對(duì)系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，獲得有效的辨識(shí)數(shù)據(jù)。通過采用遞歸最小二乘算法，辨識(shí)偽線性ARMA系統(tǒng)的各個(gè)參數(shù)。仿真結(jié)果表明了算法的有效性。文獻(xiàn)[4]利用輔助模型設(shè)計(jì)了變遞推間隔分解最小二乘算法。對(duì)比仿真結(jié)果證明了提出算法明顯優(yōu)于目前存在的一些算法。文獻(xiàn)[5]針對(duì)輸出誤差模型辨識(shí)過程中計(jì)算負(fù)擔(dān)大的缺點(diǎn)，利用分解技術(shù)將多變量系統(tǒng)分解為多個(gè)子系統(tǒng)辨識(shí)模型，然后通過對(duì)三個(gè)子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)遞推最小二乘算法辨識(shí)各個(gè)子系統(tǒng)的參數(shù)。文獻(xiàn)[6]提出的算法與常規(guī)的辨識(shí)模型不同，它利用裝置瞬時(shí)能量狀態(tài)而不是電荷狀態(tài)作為燃料表的狀態(tài)，然后構(gòu)建辨識(shí)模型，利用遞歸最小二乘算法辨識(shí)超級(jí)電容器的電容和電阻值。試驗(yàn)驗(yàn)證了提出算法的合理性和有用性。

從上述文獻(xiàn)可知，由于遞推最小二乘法在每次參數(shù)更新時(shí)僅僅利用當(dāng)前的系統(tǒng)信息，導(dǎo)致辨識(shí)精度較低和收斂速度慢，且遞歸最小二乘法應(yīng)用于線性系統(tǒng)的辨識(shí)居多，用于非線性系統(tǒng)的辨識(shí)文獻(xiàn)有限。因?yàn)檫f歸最小二乘法(auxiliary model based least squares algorithm,AM-RLS)是根據(jù)線性系統(tǒng)的線性回歸形式發(fā)展而來(lái)的，所以適用于處理線性系統(tǒng)。為此，多新息最小二乘法(multi-innovation least squares,MILS)通過利用p組數(shù)據(jù)改善了遞推最小二乘的辨識(shí)性能。將多新息最小二乘算法嘗試用于處理含輸入非線性項(xiàng)的非線性系統(tǒng)辨識(shí)。在該算法中，利用關(guān)鍵項(xiàng)分離技術(shù)獲得線性分離的辨識(shí)模型，減少了冗余的參數(shù)估計(jì)和計(jì)算負(fù)擔(dān)。利用建立輔助模型解決內(nèi)部變量未知問題，提高了辨識(shí)的精度。

非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖1中：f(·) 為多項(xiàng)式非線性子環(huán)節(jié)；L(·)為動(dòng)態(tài)線性子系統(tǒng)；v(t)為系統(tǒng)外加的噪聲項(xiàng)；u(t)、y(t)為系統(tǒng)的輸入、輸出量；x(t)為中間變量。

這類組合系統(tǒng)以能夠刻畫一大類實(shí)際非線性系統(tǒng)

特性而受到研究者的關(guān)注[7-9]。

圖1 非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

圖1中，各個(gè)部分表達(dá)式為：

(1)

(2)

為了建立辨識(shí)模型，需要將非線性項(xiàng)代入線性子系統(tǒng)。如果直接代入，將導(dǎo)致辨識(shí)模型對(duì)各個(gè)參數(shù)是復(fù)合的，增加多余的參數(shù)估計(jì)。為此，當(dāng)非線性項(xiàng)代入到線性項(xiàng)時(shí)，利用關(guān)鍵項(xiàng)分離技術(shù)[7-10]可以減少冗余的參數(shù)估計(jì)數(shù)量，同時(shí)減少了算法的計(jì)算負(fù)擔(dān)。為獲得唯一的辨識(shí)模型，一般設(shè)b1=1。

將式(1)代入式(2)，結(jié)合關(guān)鍵項(xiàng)分離技術(shù)，可得：

y(t)=b1f1x(t-1)+b1f2x(t-1)2+…+b1fmx(t-1)m+b2x(t-2)+b3x(t-3)+…+bnbx(t-nb)-

a1y(t-1)-a2y(t-2)-…-anay(t-na)+v(t)

(3)

將式(3)化為緊湊的形式，表達(dá)式為：

y(t)=φT(t)θ+v(t)

(4)

其中，系統(tǒng)信息向量φ(t)的表達(dá)式為：

φ(t)={x[t-1,x(t-1)2,…,x(t-1)m,x(t-2),x(t-3),…,x(t-nb),-y(t-1),

-y(t-2)，…,y(t-na)]}T

(5)

被估計(jì)參數(shù)向量θ為：

θ=[b1f1,b1,f2,…,f1fm,b2,b3,…,bnb,a1,a2,…,ana]T

(6)

1 辨識(shí)算法

(7)

(8)

P-1(t)=P-1(t-1)+φ(t)φT(t)P(0)=p0I

(9)

在RLS算法中，e(t)為單新息。參數(shù)更新時(shí)僅僅利用了當(dāng)前系統(tǒng)信息，這使得參數(shù)辨識(shí)性能不夠理想。為了提高RLS的辨識(shí)性能，利用p組數(shù)據(jù)構(gòu)造多新息向量。為此，定義：

φ(p,t)=[φ(t),φ(t-1),…,φ(t-p+1)]T

(10)

y(p,t)=[y(t),y(t-1),…,y(t-p+1)]T

(11)

則多新息向量E(p,t)可以表示為：

(12)

當(dāng)p≥2 時(shí)，MILS算法表述為：

(13)

(14)

P-1(t)=P-1(t-1)+φ(p,t)φT(p,t)

(15)

為了避免求矩陣的協(xié)方差矩陣，結(jié)合矩陣求逆原理和式(13)～式(15),可以獲得下式的多新息最小二乘法算法：

(16)

由于信息矩陣中含有未知的變量x(t)，會(huì)使得辨識(shí)算法無(wú)法實(shí)施。為此，利用輔助模型辨識(shí)思想[11]，構(gòu)造如下的輔助模型。利用輔助模型的輸出替代未知的變量，使辨識(shí)算法可順利實(shí)施。輔助模型的表達(dá)式為：

(17)

為便于后續(xù)仿真對(duì)比，將提出的算法稱為基于輔助模型的多新息最小二乘辨識(shí)算法(auxiliary model based multi innovation least squares algorithm,AM-MILS)。

當(dāng)新息長(zhǎng)度p=1時(shí)，MILS簡(jiǎn)化為最小二乘的形式，即：

(18)

2 仿真結(jié)果

為了驗(yàn)證提出算法的優(yōu)勢(shì)，將基于輔助模型的AM-RLS[12]作為對(duì)比仿真。

考慮系統(tǒng)為：

x(t)=0.5u(t)+0.2u2(t)+0.1u3(t)

y(t)=u(t-1)+0.2u(t-2)-0.6y(t-1)-0.45y(t-2)

此系統(tǒng)中真實(shí)的參數(shù)為f1=0.5,f2=0.2,f3=0.1,b1=1,b2=0.2,a1=0.6,a2=0.45。本文的目標(biāo)是利用可測(cè)的輸入輸出數(shù)據(jù)，設(shè)計(jì)辨識(shí)算法，以辨識(shí)這些真實(shí)的參數(shù)值，并驗(yàn)證辨識(shí)算的有效性。

AM-MILS的初始參數(shù)為：p0=106,θ(0)=[0.001,0.001,0.001,0.001,0.001,0.001]T,N=2 000,p=4,噪聲為白噪聲，輸入幅值為1的隨機(jī)序列。對(duì)比算法AM-RLS的初始值參數(shù)和AM-MILS 一樣。不同算法多項(xiàng)式參數(shù)估計(jì)曲線、不同算法線性子系統(tǒng)系數(shù)參數(shù)估計(jì)曲線如圖2、圖3所示。

圖2 不同算法多項(xiàng)式參數(shù)估計(jì)曲線

從圖2、圖3可以看出，在參數(shù)估計(jì)的初始階段，兩種辨識(shí)算法的估計(jì)曲線都快速向真實(shí)值靠攏，在參數(shù)估計(jì)的后期階段，隨著數(shù)據(jù)的增加，被估計(jì)的參數(shù)能夠收斂于真實(shí)值或其附近值。這說(shuō)明兩種辨識(shí)算法對(duì)這類非線性系統(tǒng)是有效的。但是從圖2、圖3中也可以看出，AM-RLS 參數(shù)估計(jì)結(jié)果有明顯的震蕩，且收斂速度明顯低于AM-MILS算法，這主要得益于AM-MILS通過利用p組系統(tǒng)信息，不僅利用了當(dāng)前的數(shù)據(jù)而且利用過去的信息，提高了辨識(shí)的性能。

圖3 不同算法線性子系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)曲線

圖4是AM-RLS模型驗(yàn)證結(jié)果，圖5是AM-MILS 算法模型驗(yàn)證結(jié)果。

圖4 AM-RLS模型驗(yàn)證結(jié)果

圖5 AM-MILS模型驗(yàn)證結(jié)果

從圖4和圖5可知，基于兩種辨識(shí)的算法建立的估計(jì)模型都能有效地跟蹤實(shí)際模型的輸出。這說(shuō)明辨識(shí)結(jié)果是正確的、有效的。基于AM-MILS算法的模型相對(duì)于AM-RLS算法而言能夠以較小的輸出誤差跟蹤實(shí)際模型的輸出，這說(shuō)明AM-MILS的辨識(shí)性能高于AM-RLS算法，這和參數(shù)估計(jì)結(jié)果圖2、圖3是一致的。

參數(shù)估計(jì)誤差曲線[11-13]如圖6所示。圖6顯示兩種辨識(shí)算法的參數(shù)估計(jì)結(jié)果都是隨著數(shù)據(jù)的增加而逐漸減少的，最后趨向于一個(gè)較小的平穩(wěn)值。但是圖6也反映了AM-MILS算法比AM-RLS 算法有更高的估計(jì)精度和收斂速度，側(cè)面證明了AM-MILS的優(yōu)勢(shì)。

圖6 參數(shù)估計(jì)誤差曲線

從圖6可以得出一個(gè)結(jié)論：AM-MILS因?yàn)橐肓硕嘈孪㈤L(zhǎng)度,使得辨識(shí)性能高于AM-RLS算法。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)含輸入非線性項(xiàng)的非線性系統(tǒng)辨識(shí)問題，將多新息長(zhǎng)度引入到單新息中，設(shè)計(jì)多新息向量?；诙嘈孪⒆钚《朔?，實(shí)現(xiàn)考慮系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)。構(gòu)造的辨識(shí)模型對(duì)參數(shù)向量是線性的，有效避免了多余的參數(shù)估計(jì)并減少了計(jì)算量；輔助模型的建立解決了未知的中間變量問題，提高了參數(shù)辨識(shí)的精度。對(duì)比結(jié)果表明，相比于基于輔助模型的遞推最小二乘算法，基于多新息最小二乘算法的辨識(shí)結(jié)果更接近真實(shí)值，更能描述實(shí)際模型的輸出非線性特性。這證明了加入多新息后，設(shè)計(jì)的辨識(shí)算法的辨識(shí)性能變得更加優(yōu)異。