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    薄壁圓筒強度計算的相對誤差分析

    2019-10-08 05:43:46林鴻志杜長城
    長春大學(xué)學(xué)報 2019年8期
    關(guān)鍵詞:材料力學(xué)周向內(nèi)壓

    黃 云,林鴻志,杜長城

    (1.西南石油大學(xué) 機電工程學(xué)院,成都 610500,2.西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院,成都 610031)

    圖1 薄壁圓筒受扭示意圖

    圖2 薄壁圓筒受內(nèi)壓示意圖

    在求解薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)和受內(nèi)壓的強度時,如果直徑選擇不恰當(dāng),其相對誤差將大于工程中所允許的5%。在有些材料力學(xué)教材中,其近似計算公式中直徑的選擇也沒有給出合理的解釋,因此,很有必要討論材料力學(xué)中薄壁圓筒受扭和受內(nèi)壓作用時其強度公式中取不同直徑的相對誤差,以便確定近似公式中應(yīng)選何種直徑。在材料力學(xué)中,薄壁圓筒的定義與薄壁圓筒的變形形式有關(guān)[1-3],(1)薄壁圓筒受扭時:t/D1/20的圓筒才為薄壁圓筒,其中t為薄壁圓筒的壁厚;D為薄壁圓筒的平均直徑Dm,如圖1所示。(2)薄壁圓筒受內(nèi)壓時:D為薄壁圓筒的內(nèi)徑Di。在壓力容器中[4-5],Do/Di1.2稱為薄容器,如圖2所示。

    1 薄壁圓筒的強度計算及相對誤差分析

    1.1 薄壁圓筒受扭時其強度計算和相對誤差分析

    1.1.1 薄壁圓筒受扭時應(yīng)力分析

    在材料力學(xué)中假設(shè)薄壁圓筒橫截面上的切應(yīng)力均勻分布,其切應(yīng)力τ可近似表示為[6]:

    1.1.2 薄壁圓筒受扭時應(yīng)力相對誤差分析

    如取λ為壁厚與平均直徑之比(λ=t/Dm),式(3)可表示為:

    (式4)。

    由式(4)可知,當(dāng)0<λ1/20時,δ1為增函數(shù),可以得出,在薄壁圓筒受扭時,壁厚與平均直徑之比越小,采用(2)式計算其切應(yīng)力與最大切應(yīng)力的相對誤差越小。即滿足薄壁圓筒的條件下,相對于平均直徑,壁越薄,采用(2)式計算其應(yīng)力相對誤差越小。

    現(xiàn)討論用式(2)來近似計算τmax,如式(2)中D取不同的直徑,其相對誤差的最大值(即D/t=20時)如表1所示。

    表1 薄壁圓筒受扭D取不同的直徑最大的切應(yīng)力的相對誤差

    由表1可知,薄壁圓筒受扭時,采用式(2)來近似計算其最大切應(yīng)力,如式中D取平均直徑Dm,此時的相對誤差小于5%。如取內(nèi)徑Di,其相對誤差已大于5%,如取外徑Do時,其相對誤差高達14.025%,所以,式中的D取薄壁圓筒的平均直徑Dm才相對合理。

    圖3 薄壁圓筒受內(nèi)壓示意圖

    1.2 薄壁圓筒受內(nèi)壓時其強度計算和相對誤差分析

    1.2.1 薄壁圓筒受內(nèi)壓時的應(yīng)力分析

    (1)軸向應(yīng)力

    如圖3(a)所示的薄壁壓力容器厚度為t,內(nèi)徑為Di,受內(nèi)壓p作用,現(xiàn)討論其軸向應(yīng)力、周向應(yīng)力和徑向應(yīng)力。

    在材料力學(xué)中,由于壁厚遠(yuǎn)小于直徑,其橫截面面積近似取為A=πDt,則其軸向應(yīng)力為[7]:

    (2)周向應(yīng)力和徑向應(yīng)力

    1.2.2 薄壁圓筒受內(nèi)壓時應(yīng)力相對誤差分析

    (1)薄壁圓筒周向應(yīng)力相對誤差分析

    (2)薄壁圓筒軸向應(yīng)力相對誤差分析

    (3)薄壁圓筒強度理論等效應(yīng)力相對誤差分析

    在滿足薄壁圓筒的前提下,以碳鋼為例,取材料的泊松比υ=0.3,δ4b的最大相對誤差(即Di=20t時)為6.336%。

    在滿足薄壁圓筒的前提下,δ4c的最大相對誤差(即Di=20t時)為4.545%。

    在滿足薄壁圓筒的前提下,δ4d的最大相對誤差(即Di=20t時)為4.414%。

    現(xiàn)討論式(6)、(11)中直徑取不同的直徑所引起的最大相對誤差(即Di=20t時)如表2所示(在計算δ4b時泊松比υ=0.3)。

    表2 薄壁圓筒受內(nèi)壓材料力學(xué)中近似公式中直徑取不同的直徑引起的相對誤差

    由表2可以看出:在計算軸向應(yīng)力時,取內(nèi)徑最為合理,如取平均直徑和外徑,其相對誤差遠(yuǎn)大于5%,是不合理的;在計算周向應(yīng)力時,材料力學(xué)中取平均直徑時相對誤差最小,也最為合理,如取內(nèi)徑和外徑是其相對誤差仍小于5%,仍可??;在計算等效應(yīng)力時,取平均直徑相對誤差最小,如取內(nèi)徑和外徑,除第二強度理論等效應(yīng)力取內(nèi)徑時的相對誤差大于5%以外,其它等效應(yīng)力的相對誤差均小于5%,仍可取。取平均直徑相對誤差最小的主要原因是薄壁圓筒受內(nèi)壓時內(nèi)表面上危險點的三個主應(yīng)力中σ1為周向應(yīng)力,而且周向應(yīng)的絕對值遠(yuǎn)大于其它兩個主應(yīng)力,因此周向應(yīng)力的相對誤差起主導(dǎo)作用,通過分析周向應(yīng)力在取平均直徑時相對誤差較小,僅為0.226%,因此,薄壁圓筒受內(nèi)壓在計算等效應(yīng)力時取平均直徑更為合理。

    2 結(jié)語

    通過前面的分析可知,在材料力學(xué)中薄壁圓筒受扭以及薄壁圓筒受內(nèi)壓進行強度分析時必須正確的選取直徑,其相對誤差才能最小并滿足工程的要求,其具體結(jié)論為:

    (1)薄壁圓筒受扭采用式(2)近似計算切應(yīng)力應(yīng)選薄壁圓筒的平均直徑Dm。

    (2)薄壁圓筒受內(nèi)壓采用式(6)近似計算軸向應(yīng)力應(yīng)選薄壁圓筒的內(nèi)徑Di。

    (3)薄壁圓筒受內(nèi)壓采用式(11)近似計算周向應(yīng)力應(yīng)選薄壁圓筒的平均直徑Dm。

    (4)薄壁圓筒受內(nèi)壓計算四種強度理論的等效應(yīng)力時應(yīng)選薄壁圓筒的平均直徑Dm。

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