尺度自適應(yīng)三維Shearlet變換地震隨機(jī)噪聲壓制

程 浩 王德利 王恩德 付建飛 侯振隆

(①東北大學(xué)深部金屬礦山安全開采教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧沈陽(yáng) 110819；②吉林大學(xué)地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130026)

0 引言

地震勘探是礦產(chǎn)資源勘查的一種重要手段[1-3]。強(qiáng)隨機(jī)噪聲的干擾直接影響地震資料處理和解釋。隨機(jī)噪聲一般表現(xiàn)為無(wú)規(guī)律振動(dòng)，由多種不確定因素形成。因此，去除隨機(jī)噪聲是地震數(shù)據(jù)弱信號(hào)提取與增強(qiáng)的重要環(huán)節(jié)。目前，常用的隨機(jī)噪聲壓制方法包括頻率域?yàn)V波、f-x域去噪、Radon域[4-6]去噪等。20世紀(jì)80年代，小波變換[7]作為一種多尺度變換，在圖像分析、去噪等方面得到快速發(fā)展，能夠稀疏表示一維信號(hào)，但不能簡(jiǎn)單地?cái)U(kuò)展到二維或高維信號(hào)。因此Ridgelet變換[8]、Curvelet變換[9-11]和Contourlet變換[12-13]作為多尺度幾何分析方法應(yīng)運(yùn)而生，在二維和高維信號(hào)的稀疏表示和圖像處理方面發(fā)揮了重要作用，但它們的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)復(fù)雜，而且變換域的某一尺度的系數(shù)矩陣尺度與原始數(shù)據(jù)不同。

Shearlet變換[14-17]作為一種新的稀疏變換方法，具有多尺度、多方向特性，且能最優(yōu)地刻畫信號(hào)的局部特征。與其他多尺度分析方法相比，Shearlet變換具有更簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，對(duì)尺度和方向表征更細(xì)膩，采用更少的系數(shù)逼近曲線。對(duì)于一個(gè)N×N階的圖像，經(jīng)過(guò)Shearlet變換后，各尺度方向的系數(shù)仍是N×N階，且各方向系數(shù)仍然保留時(shí)間的維度。Shearlet變換可最優(yōu)地稀疏表示信號(hào)，宜于處理包含紋理、輪廓和邊緣信息的地震數(shù)據(jù)。含噪地震數(shù)據(jù)經(jīng)Shearlet變換后，通常將有效信號(hào)映射到某些特定方向的Shearlet系數(shù)上，且對(duì)應(yīng)的Shearlet系數(shù)值較大，而隨機(jī)噪聲分布在所有方向的Shearlet系數(shù)上，對(duì)應(yīng)的Shearlet系數(shù)值較小。因此設(shè)置合理的閾值函數(shù)可以有效分離有效信號(hào)與隨機(jī)噪聲。

劉成明等[18]利用地震數(shù)據(jù)在二維Shearlet域的稀疏性去除隨機(jī)噪聲，獲得了較好效果。程浩等[19]基于Shearlet變換的自適應(yīng)閾值方法去噪，在提高地震數(shù)據(jù)信噪比的同時(shí)，最大限度地保留有效信號(hào)。上述方法都是針對(duì)二維單炮記錄，并沒(méi)有考慮到單炮記錄間的相關(guān)性。

三維Shearlet變換[20]與二維Shearlet變換相比，兼顧了信號(hào)的空間相關(guān)性，在三維Shearlet域中能更稀疏地表示有效信號(hào)。與常用的三維Curvelet變換[21-23]相比，通過(guò)三維Shearlet變換得到某一尺度、某一方向的Shearlet系數(shù)與原始數(shù)據(jù)尺度相同，具有更明確的物理意義。段昶等[24]利用三維Shearlet變換融合處理磁共振圖像，證明其稀疏性明顯優(yōu)于二維Shearlet變換。Negi等[25]分析了三維Shearlet變換的特點(diǎn)，并用于視頻去噪，取得了較好的效果。

本文應(yīng)用尺度自適應(yīng)三維Shearlet變換壓制多炮地震數(shù)據(jù)隨機(jī)噪聲，通過(guò)將多炮數(shù)據(jù)變換到三維Shearlet域，充分考慮單炮記錄及其間的相關(guān)性，在三維Shearlet域更稀疏地表示地震數(shù)據(jù)。由于有效信號(hào)主要分布在低尺度，隨機(jī)噪聲分布在各個(gè)尺度，因此在硬閾值的基礎(chǔ)上，結(jié)合尺度自適應(yīng)因子壓制隨機(jī)噪聲。再通過(guò)三維Shearlet反變換，得到去噪地震數(shù)據(jù)。數(shù)值模擬和實(shí)際多炮地震數(shù)據(jù)去噪結(jié)果表明，尺度自適應(yīng)三維Shearlet變換的去噪效果優(yōu)于二維Shearlet變換、不結(jié)合尺度自適應(yīng)因子的三維Shearlet變換。

1 三維Shearlet變換

1.1 基本理論

Shearlet變換[15]作為一種稀疏變換方法，不僅受尺度和位置變化影響，還受剪切矩陣控制的正交變換影響。當(dāng)空間維度參數(shù)D=3時(shí)，利用3個(gè)近似錐形區(qū)域P(D)和1個(gè)中心區(qū)域C函數(shù)構(gòu)成Shearlet系統(tǒng)

(1)

圖1 頻率空間錐形區(qū)域P1(左)、P2(中)、P3(右)

(2)

并且使

(3)

滿足

(4)

當(dāng)D=1，2，3，l=(l1,l2)∈Z2,與三維Shearlet系統(tǒng)相關(guān)的錐形區(qū)域P(D)可以定義為

(5)

其中

(6)

(7)

1.2 Shearlet變換的稀疏性

基于信號(hào)分解的隨機(jī)去噪方法的去噪效果依賴于方法對(duì)有效信號(hào)的逼近程度。為了展現(xiàn)Shearlet變換的稀疏特性，將其與Curvelet變換和Contourlet變換進(jìn)行稀疏度對(duì)比。首先，利用不同的變換方法分解不含噪地震數(shù)據(jù)。然后，將變換域中的系數(shù)從大到小排列，保留不同百分比的系數(shù)重構(gòu)，計(jì)算重構(gòu)結(jié)果與原始數(shù)據(jù)的誤差。圖2為重構(gòu)誤差曲線。由圖可見，保留的最大系數(shù)百分比從0.5%～30.0%，當(dāng)保留4.0%的最大系數(shù)時(shí)，Shearlet變換的重構(gòu)誤差趨近于零，而Curvelet變換和Contourlet變換保留10.0%的最大系數(shù)時(shí)，重構(gòu)誤差才近乎為零，說(shuō)明Shearlet變換具有更好的稀疏特性。

圖2 重構(gòu)誤差曲線

1.3 Shearlet變換的局部刻畫

Shearlet變換通過(guò)多尺度、多角度的特性，可以分解地震數(shù)據(jù)。由于地震同相軸是連續(xù)的，在局部同相軸具有一定的方向性，當(dāng)同相軸的方向與某一Shearlet基的方向大致相同時(shí)，在Shearlet域?qū)?yīng)較大Shearlet系數(shù)，同相軸的局部方向不同，在Shearlet域可被分解到不同的方向。由于隨機(jī)噪聲不具有方向性，在Shearlet域?qū)?yīng)較小的Shearlet系數(shù)，因此通過(guò)設(shè)置合理的閾值可去除隨機(jī)噪聲。

圖3為第50、125、200炮模擬單炮記錄。利用二維Shearlet變換處理單炮記錄，僅利用共炮點(diǎn)道集自身的特點(diǎn)壓制隨機(jī)噪聲。但對(duì)于多炮記錄，還可以利用共檢波點(diǎn)方向的相關(guān)性。圖4為多炮地震數(shù)據(jù)的空間切片。由圖可見，各單炮記錄間存在一定聯(lián)系，類似于三維數(shù)據(jù)的單炮記錄，即多炮地震數(shù)據(jù)可以看成一個(gè)偽三維數(shù)據(jù)。在變換域隨機(jī)噪聲壓制過(guò)程中，不僅考慮單炮記錄自身的特點(diǎn)，還兼顧單炮記錄間的相關(guān)性，可獲得更好的效果。

圖5為三維Shearlet變換分解多炮地震數(shù)據(jù)的3組系數(shù)，可見由于Shearlet變換的方向性，地震同相軸根據(jù)自身的方向匹配到Shearlet域的不同方向，說(shuō)明Shearlet變換可將地震數(shù)據(jù)分解到不同方向刻畫。

圖3 第50(左)、125(中)、200炮(右)模擬單炮記錄

圖4 多炮地震數(shù)據(jù)的空間切片

圖5 三維Shearlet變換分解多炮地震數(shù)據(jù)的3組系數(shù)

2 三維Shearlet變換隨機(jī)噪聲壓制

在隨機(jī)噪聲壓制過(guò)程中，假設(shè)待處理的含噪地震數(shù)據(jù)為

f(t)=s(t)+n(t)

(8)

式中：s(t)為有效信號(hào)；n(t)為隨機(jī)噪聲。

三維Shearlet變換隨機(jī)噪聲壓制過(guò)程與二維Shearlet變換類似，但后者僅考慮共炮點(diǎn)道集(單炮記錄)中有效信號(hào)的分布特點(diǎn)，而前者不僅考慮共炮點(diǎn)道集有效信號(hào)的分布特點(diǎn)，還兼顧共檢波點(diǎn)或共炮檢距方向有效信號(hào)的分布特點(diǎn)，可更好地去除隨機(jī)噪聲，保護(hù)有效信號(hào)。三維Shearlet去噪主要包括以下步驟。

(1)通過(guò)三維Shearlet變換，對(duì)含噪地震數(shù)據(jù)進(jìn)行多尺度、多角度剖分，獲取對(duì)應(yīng)的系數(shù)

(9)

式中：C(j,l,k)為參數(shù)尺度j、方向l、位置k對(duì)應(yīng)的三維Shearlet系數(shù)；SH(·)為三維Shearlet正變換。

(2)在步驟(1)中，當(dāng)信號(hào)的某一方向與對(duì)應(yīng)某一角度的Shearlet基函數(shù)方向大致相同時(shí)，將獲得較大的Shearlet系數(shù)，相反，當(dāng)所選Shearlet基函數(shù)方向與信號(hào)方向偏差較大時(shí)，將獲得較小的Shearlet系數(shù)。因?yàn)榈卣鹜噍S都具有一定方向性，所以在Shearlet域?qū)?yīng)尺度、角度上將獲得較大的Shearlet系數(shù)，而隨機(jī)噪聲不具有方向性，將獲得相對(duì)較小的Shearlet系數(shù)。通過(guò)閾值函數(shù)對(duì)Shearlet系數(shù)進(jìn)行閾值化處理，保留大于閾值的Shearlet系數(shù)，去除小于閾值的Shearlet系數(shù)，達(dá)到去除隨機(jī)噪聲的目的。常用硬閾值函數(shù)為

(10)

式中：M為常數(shù)變量，根據(jù)不同工區(qū)環(huán)境的噪聲級(jí)別選取不同值，同一工區(qū)采集的多炮地震數(shù)據(jù)，由于所處環(huán)境基本一致，所以所選值相同；λ為某一尺度和角度的Shearlet系數(shù)均方差；σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差。

由于有效地震信號(hào)主要分布在相對(duì)低頻的尺度，隨機(jī)噪聲則分布在各個(gè)尺度，因此為了盡可能地保留有效信號(hào)，在硬閾值函數(shù)中加入尺度自適應(yīng)因子ε， 將式(10)變?yōu)槌叨茸赃m應(yīng)閾值，即

(11)

其中

(12)

式中J為所選的尺度值。

(13)

為了體現(xiàn)所提方法的有效性，分別計(jì)算地震數(shù)據(jù)去噪前、后的信噪比(SNR)、峰值信噪比(Peak signal to noise ratio,PSNR)和均方差(Mean square error，MSE)進(jìn)行對(duì)比[17]。

3 理論數(shù)據(jù)測(cè)試

利用模擬的多炮地震數(shù)據(jù)作為偽三維數(shù)據(jù)，驗(yàn)證尺度自適應(yīng)三維Shearlet變換去噪方法。圖6為數(shù)值模型及第125炮原始單炮記錄、加噪單炮記錄。由圖可見：第125炮原始單炮記錄淺部有效信號(hào)能量較強(qiáng)，底部有效信號(hào)能量較弱，對(duì)應(yīng)兩個(gè)能量較弱的反射同相軸(圖6b箭頭所示位置)；在模擬記錄中添加一定程度的隨機(jī)噪聲，仍可以有效識(shí)別淺部能量較強(qiáng)的信號(hào)，但底部能量較弱的信號(hào)被隨機(jī)噪聲完全淹沒(méi)(圖6c箭頭所示位置)而無(wú)法識(shí)別。

圖6 數(shù)值模型(a)及第125炮原始單炮記錄(b)、加噪單炮記錄(c)利用有限差分法進(jìn)行模擬，共251炮模擬地震數(shù)據(jù)，每炮記錄包含251道和1000個(gè)樣點(diǎn)，采樣間隔為0.002s，采樣時(shí)間為2s。經(jīng)計(jì)算可知，添加隨機(jī)噪聲地震記錄的SNR、PSNR和MSE分別為-1.2772dB、74.1516dB和2.5×10-3

分別利用二維(圖7a)、三維(圖7b)Shearlet變換和尺度自適應(yīng)三維Shearlet變換(圖7c)處理加噪多炮地震記錄。可見：①二維Shearlet變換硬閾值去噪結(jié)果較充分地去除了隨機(jī)噪聲，圖像清晰，但在去噪的同時(shí)損害了有效信號(hào)(圖7a箭頭位置)，還產(chǎn)生一定的邊界效應(yīng)；對(duì)應(yīng)的差剖面具有清晰可見的有效信號(hào)(圖8a)，SNR、PSNR和MSE分別為15.1687dB、89.9425dB和6.589×10-5(表1)，說(shuō)明二維Shearlet硬閾值去噪方法具有一定的隨機(jī)噪聲壓制能力，但一定程度上損害了能量較弱的有效信號(hào)。②三維Shearlet變換硬閾值去噪結(jié)果在去除隨機(jī)噪聲的同時(shí)，保留了底部能量較弱的有效信號(hào)，且由變換產(chǎn)生的邊界效應(yīng)也較弱，不影響數(shù)據(jù)的成像效果(圖7b)；對(duì)應(yīng)的差剖面基本不殘留有效信號(hào)(圖8b)，SNR、PSNR和MSE分別為19.4816dB、94.9103dB和2.0992×10-5(表1)。因此與二維Shearlet變換相比，三維Shearlet變換不但考慮了單炮記錄的特點(diǎn)，還考慮了單炮記錄間的相關(guān)性，在三維Shearlet域地震數(shù)據(jù)更稀疏，對(duì)隨機(jī)噪聲的去除更徹底。③與二維(圖7a)、三維(圖7b)Shearlet變換去噪結(jié)果相比，尺度自適應(yīng)三維Shearlet變換閾值去噪結(jié)果對(duì)隨機(jī)噪聲的去除效果更好，充分保留了底層能量較弱的有效信號(hào)，由變換產(chǎn)生的邊界效應(yīng)更小，反射同相軸連續(xù)性更好、更清晰(圖7c箭頭所示位置)；對(duì)應(yīng)的差剖面不存在有效信號(hào)(圖8c)，SNR、PSNR和MSE分別為20.1058dB、95.5345dB和1.8181×10-5(表1)，在信噪比和保真度方面得到進(jìn)一步提高。因此尺度自適應(yīng)三維Shearlet變換去噪方法在去除隨機(jī)噪聲的同時(shí)，最大限度地保留了有效信號(hào)。

圖7 二維(a)、三維(b)Shearlet變換和尺度自適應(yīng)三維Shearlet變換(c)對(duì)圖6c數(shù)據(jù)去噪結(jié)果所選尺度參數(shù)為4，對(duì)應(yīng)的方向剖分參數(shù)為[1 1 2 2]

圖8 圖6c數(shù)據(jù)去噪結(jié)果與原始單炮記錄的差剖面

表1 信噪比、峰值信噪比、均方差對(duì)比

分別抽取第125炮第40道(圖9)和第90道(圖10)的1.2～2.0s的記錄進(jìn)行振幅分析。由圖9可見：原始有效信號(hào)淹沒(méi)在含噪數(shù)據(jù)中(圖9a)；三維Shearlet變換去噪方法大致在1.7s前去噪效果與保幅性較好，振幅基本與原始信號(hào)吻合，在1.7s以后振幅基本歸零，與有效信號(hào)差異較大(圖9b)；尺度自適應(yīng)三維Shearlet變換去噪方法的整體去噪效果與保幅性都很好，振幅與原始信號(hào)吻合(圖9c)。由圖10可見：原始有效信號(hào)淹沒(méi)在含噪數(shù)據(jù)中(圖10a)；三維Shearlet變換去噪方法在1.5s前振幅擬合相對(duì)較好，但是幅值存在一定差異，大致在1.75s又出現(xiàn)一定振幅響應(yīng)，差異較大，其他幅值基本為零(圖10b)；尺度自適應(yīng)三維Shearlet變換去噪方法在1.5s前振幅擬合較好，幅值差異相對(duì)較小，較好地?cái)M合了1.65～1.80s的有效振幅響應(yīng)(圖10c)。由圖9、圖10可知：由于存在炮檢距變化，第40道的有效信號(hào)幅值相對(duì)較大，去噪效果較好，振幅擬合程度高，保幅性好(圖9)；第90道有效信號(hào)的幅值相對(duì)較小，去噪效果和振幅擬合程度受到影響(圖10)。

圖9 第125炮第40道數(shù)據(jù)振幅分析

圖10 第125炮第90道數(shù)據(jù)振幅分析

通過(guò)上述分析可知，尺度自適應(yīng)三維Shearlet變換去噪方法不但考慮了單炮記錄自身的特點(diǎn)，還顧及了單炮記錄間的相關(guān)性，充分地利用了地震數(shù)據(jù)在三維Shearlet域的稀疏性。同時(shí)，結(jié)合有效信號(hào)與隨機(jī)噪聲在三維Shearlet域的分布特點(diǎn)，利用尺度自適應(yīng)因子最大限度地保留有效信號(hào)，提高信噪比和保真度。

4 實(shí)際數(shù)據(jù)測(cè)試

選取A區(qū)實(shí)際地震數(shù)據(jù)測(cè)試尺度自適應(yīng)三維Shearlet變換的去噪效果。圖11為第123炮記錄及去噪結(jié)果。由圖可見：①單炮記錄上部同相軸較清晰，能量最強(qiáng)，連續(xù)性好，底部有效信號(hào)幾乎被隨機(jī)噪聲淹沒(méi)，同相軸相對(duì)能量較弱，連續(xù)性差，不易識(shí)別，影響層位和斷層解釋(圖11a)。②二維Shearlet變換較好地壓制了隨機(jī)噪聲，去噪結(jié)果上部同相軸連續(xù)性變好，整體清晰，但底部有效信號(hào)被損害，同相軸連續(xù)性差，嚴(yán)重影響底部層位解釋(圖11b)；在對(duì)應(yīng)的差剖面上可較清晰地看到有效信號(hào)的趨勢(shì)(圖12a)。③三維Shearlet變換充分地壓制了隨機(jī)噪聲，去噪結(jié)果上部反射同相軸連續(xù)性更好，去噪結(jié)果較好地保留了底部信號(hào)，底部反射同相軸連續(xù)性較好，并保留了部分能量較弱的有效信號(hào)(圖11c)；在對(duì)應(yīng)的差剖面上幾乎不殘留有效信號(hào)(圖12b)。④與前兩種去噪方法相比，尺度自適應(yīng)三維Shearlet變換去噪結(jié)果上部反射同相軸連續(xù)性最好、最清晰，能量最強(qiáng)，并最大限度地保留了底部有效信號(hào)，有效改善了反射同相軸的連續(xù)性(圖11d)；在對(duì)應(yīng)的差剖面上基本上不殘留有效信號(hào)(圖12c)。

圖11 第123炮記錄及去噪結(jié)果

圖12 圖11a數(shù)據(jù)去噪結(jié)果與圖11a的差剖面

5 結(jié)束語(yǔ)

在傳統(tǒng)稀疏變換去噪方法的基礎(chǔ)上，筆者應(yīng)用尺度自適應(yīng)三維Shearlet變換去除地震數(shù)據(jù)噪聲。尺度自適應(yīng)三維Shearlet變換去噪方法不但考慮了單炮記錄自身的特點(diǎn)，還顧及了單炮記錄間的相關(guān)性，充分地利用了地震數(shù)據(jù)在三維Shearlet域的稀疏性。同時(shí)，結(jié)合有效信號(hào)與隨機(jī)噪聲在三維Shearlet域的分布特點(diǎn)，利用尺度自適應(yīng)因子，最大限度地保留有效信號(hào)，提高信噪比和保真度。

尚需指出，由于對(duì)多炮地震數(shù)據(jù)進(jìn)行三維Shearlet變換，對(duì)應(yīng)的任意尺度、方向上的系數(shù)矩陣規(guī)模均與原始數(shù)據(jù)一致，所以本文方法對(duì)服務(wù)器的內(nèi)存有一定要求。此外，通過(guò)對(duì)比理論數(shù)據(jù)單道振幅可知，由于炮檢距的變化，有效信號(hào)的幅值在橫向產(chǎn)生變化，因此所提方法可能對(duì)幅值相對(duì)較小的有效信號(hào)產(chǎn)生損害。