正余弦定理 錯(cuò)解得真知

■江蘇省鹽城市時(shí)楊中學(xué) 劉長(zhǎng)柏

正弦、余弦定理及其應(yīng)用問題綜合性強(qiáng),解題有一定的技巧。同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí),往往看似嚴(yán)謹(jǐn),實(shí)際上卻隱藏著各種知識(shí)盲點(diǎn)或邏輯錯(cuò)誤,經(jīng)常出現(xiàn)因?yàn)閷忣}不細(xì)、分類不清、方法不當(dāng)、忽視隱含條件等原因而導(dǎo)致錯(cuò)解的情況。下面探究正弦、余弦定理運(yùn)用中的幾個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)的病根。

易錯(cuò)點(diǎn)一：制約條件被忽視

例1不等邊△ABC中,a為最大邊,如果a2＜b2+c2,則A的取值范圍是_____。

解析：因?yàn)閍2＜b2+c2,所以b2+c2-a2＞0,cosA=＞0。

由于cosx在(0°,180°)上為減函數(shù)且cos 90°=0,故A＜90°。

又因?yàn)閍為最大邊,所以A＞60°。

因此,A的取值范圍是(60°,90°)。

易錯(cuò)點(diǎn)分析：有同學(xué)審題不細(xì),已知條件弱用,忽視題設(shè)a為最大邊,而得到錯(cuò)誤結(jié)論：A的取值范圍是(0°,90°)。

易錯(cuò)點(diǎn)二：機(jī)械套用定理、公式和已有結(jié)論,導(dǎo)致解題失誤

例2在△ABC中,已知a=5,b=4,A=120°,不解三角形,則三角形解的個(gè)數(shù)為____。

解析：由題意知a＞b?A＞B。

易錯(cuò)點(diǎn)分析：因?yàn)閎sinA=4sin 120°=,所以△ABC有兩組解。產(chǎn)生錯(cuò)誤的根源在于錯(cuò)誤套用人教版必修5P9第3題的結(jié)論(3),而這個(gè)結(jié)論使用前提是A為銳角,且a＜b,顯然本題不具備這些條件。

易錯(cuò)點(diǎn)三：不能正確使用數(shù)形結(jié)合的思想方法解題,導(dǎo)致解題過程煩瑣或漏解

例3在△ABC中,若,則△ABC的形狀是____。

因?yàn)閟inA＞0,sinB＞0,所以sinAcosA=sinBcosB,即sin 2A=sin 2B。

故2A=2kπ+2B或2A=2kπ+π-2B(k∈Z)。

因?yàn)?＜A＜π,0＜B＜π,所以k=0。

則A=B或A=

故△ABC為等腰三角形或直角三角形。

易錯(cuò)點(diǎn)分析：由sin 2A=sin 2B,得2A=2B,這是三角變換中常見的錯(cuò)誤,原因是不熟悉三角函數(shù)的性質(zhì)。沒有深刻理解sin 2A=sin 2B的含義,出現(xiàn)漏解情況。事實(shí)上,由2sinAcosA=2sinBcosB知道,A,B都是銳角,則2A,2B∈(0,π),由三角函數(shù)的圖像可知要么2A=2B,要么。因此,A=B或A+B=。所以△ABC為等腰三角形或?yàn)橹苯侨切巍?/p>

易錯(cuò)點(diǎn)四：不能恰當(dāng)使用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊與角的有效互換,導(dǎo)致解題失誤

例4在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的 對(duì) 邊,若a-b=c(cosB-cosA),求證

解析：由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,兩式相減

易錯(cuò)點(diǎn)分析：不能恰當(dāng)?shù)厥褂谜叶ɡ砗陀嘞叶ɡ磉M(jìn)行邊與角的有效互換,從而解題陷入不著邊際的盲目變換。處理邊與角混合在一起的式子時(shí),應(yīng)考慮利用正弦定理或余弦定理,要么把角化為邊,要么將邊化為角,減少變量,便于解答。

易錯(cuò)點(diǎn)五：斷章取義,錯(cuò)誤推理

例5若a,b,c是三角形的三邊長(zhǎng),證明：以長(zhǎng)為的三條線段能構(gòu)成銳角三角形。

解析：不妨設(shè)0＜a≤b≤c,只要考慮最大邊c的對(duì)角θ為銳角即可。

由于a,b,c是三角形的三條邊,根據(jù)三角形三邊關(guān)系,有a+b＞c。

故cosθ＞0。

易錯(cuò)點(diǎn)分析：三條線段構(gòu)成銳角三角形,要滿足兩個(gè)條件：①三條邊滿足三角形邊長(zhǎng)關(guān)系；②最長(zhǎng)線段的對(duì)角是銳角。容易出的問題是驗(yàn)證了第二個(gè)條件cosθ＞0,而缺少對(duì)第一個(gè)條件的驗(yàn)證。