彈性板結(jié)構(gòu)的聲表面波陀螺研究*

吳榮興, 李曉東, 于蘭珍, 鄭 東, 王海林

(1.寧波職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院,浙江 寧波 315800；2.寧波大學(xué) 機(jī)械與力學(xué)學(xué)院, 浙江 寧波 315211)

0 引 言

由于聲表面波器件具有體積小、精度高和敏感性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),已被廣泛地應(yīng)用于各類傳感器技術(shù)領(lǐng)域[1,2]。聲表面波器件所處環(huán)境場(chǎng)特性的改變將引起聲波傳播特性的變化,因此,可以通過(guò)測(cè)量聲學(xué)特性的改變來(lái)檢測(cè)環(huán)境因素的變化[3～5]。各種聲表面波氣體、液體和質(zhì)量等各類傳感器被設(shè)計(jì)出來(lái),部分器件已經(jīng)達(dá)到了實(shí)用化[6～8]。在慣性傳感領(lǐng)域,主要研究集中于理論方面,也就是陀螺效應(yīng)對(duì)聲表面波的影響研究[9]。理論研究表面哥氏力對(duì)聲表面波的傳播有抑制作用,并且存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系,可以用來(lái)檢測(cè)旋轉(zhuǎn)場(chǎng)的角速率。但是這些模型都是基于半無(wú)限大彈性體結(jié)構(gòu),而真實(shí)聲表面波器件一般為層狀板型結(jié)構(gòu)[10]。與此同時(shí),聲表面波陀螺效應(yīng)傳感器實(shí)驗(yàn)研究被逐步開展,但實(shí)驗(yàn)樣機(jī)分辨率不高,且對(duì)小速率旋轉(zhuǎn)場(chǎng)基本無(wú)法檢測(cè)到有效信號(hào)[11,12]。這樣就迫切需要建立更為精確的聲表面波陀螺效應(yīng)傳感器模型,并精確分析聲表面波在其結(jié)構(gòu)內(nèi)部的傳播特性。

本文分析了考慮陀螺效應(yīng)的聲表面波在各向同性彈性板中的傳播特性,獲得了波速、波形和旋轉(zhuǎn)場(chǎng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,為實(shí)際聲表面波陀螺效應(yīng)傳感器的制作提供了理論指導(dǎo)。

1 基本方程

帶旋轉(zhuǎn)場(chǎng)的各向同性彈性板如圖1所示,聲表面波沿著x1方向傳播,這里僅考慮繞x1和x2的旋轉(zhuǎn)場(chǎng),不考慮繞x3方向的旋轉(zhuǎn)場(chǎng)。

圖1 帶旋轉(zhuǎn)場(chǎng)的各向同性彈性板

當(dāng)聲表面波在如圖1所示的各向同性彈性板中傳播時(shí)[13～15],假設(shè)位移模式為

u1=A1ekβx2eik(x1-ct),u2=A2ekβx2eik(x1-ct)

(1)

式中u1(u2),A1(A2),k,β,x1(x2),c和t分別為各向同性彈性板的位移、振幅、波數(shù)、衰減系數(shù)、坐標(biāo)、波速和時(shí)間。

基于式(1)的位移假設(shè),獲得應(yīng)變?yōu)?/p>

S1=ikA1ekβx2eik(x1-ct),S2=kβA2ekβx2eik(x1-ct),

S6=k(βA1+iA2)ekβx2eik(x1-ct),S3=S4=S5=0

(2)

式中Sj(j=1,2,…,6)為各方向的應(yīng)變。

基于應(yīng)變式(2),可以得到應(yīng)力為

T1=k[(λ+2μ)iA+λβB]ekβx2eik(x1-ct),

T2=k[λiA+(λ+2μ)βB]ekβx2eik(x1-ct),

T3=kλ[iA+βB]ekβx2eik(x1-ct),

T6=kμ[βA+iB]ekβx2eik(x1-ct),

T4=T5=0

(3)

式中Tj(j=1,2,…,6),λ和μ分別為各方向應(yīng)力和彈性板材料的拉梅常數(shù)。

帶旋轉(zhuǎn)場(chǎng)的各向同性彈性板的運(yùn)動(dòng)方程為[13]

(4)

式中ρ和Ω1(Ω2)分別為各向同性彈性板的材料密度和兩個(gè)方向旋轉(zhuǎn)場(chǎng)的頻率,ü1(ü2)為位移u1(u2)對(duì)時(shí)間變量t求導(dǎo)兩次。

將應(yīng)力表達(dá)式(3)代入式(4),經(jīng)整理后得到

(5)

給定波速c,對(duì)式(5)進(jìn)行數(shù)值求解,可以獲得衰減系數(shù)β的4個(gè)根。這里需要指出的是,由于旋轉(zhuǎn)場(chǎng)的存在,這里獲得衰減系數(shù)β并不是成對(duì)的[14]。因此，保留全部4個(gè)衰減系數(shù),重寫位移如下

u1=(B1ekβ1x2+B2ekβ2x2+B3ekβ3x2+B4ekβ4x2)eik(x1-ct),

u2=(B1α1ekβ1x2+B2α2ekβ2x2+B3α3ekβ3x2+B4α4ekβ4x2)

eik(x1-ct)

(6)

αj=A2(βj)/A1(βj),j=1,2,3,4

(7)

基于新的位移假設(shè)式(6),可以獲得各方向的應(yīng)變和應(yīng)力,這里給出相關(guān)應(yīng)力表達(dá)式如下

T2=k[λi+(λ+2μ)α1β1]B1ekβ1x2+k[λi+(λ+2μ)α2β2]B2ekβ2x2+k[λi+(λ+2μ)α3β3]B3ekβ3x2+k[λi+(λ+2μ)α4β4]B4ekβ4x2,T6=kμ([β1+iα1]B1ekβ1x2+[β2+iα2]B2ekβ2x2+[β3+iα3]B3ekβ3x2+[β4+iα4]B4ekβ4x2)

(8)

式中 為了表達(dá)方便,各式省略了eik(x1-ct)。

如圖1所示各向同性彈性板的邊界條件為

T2(x2=0)=T6(x2=0)=0,

真心認(rèn)同黨建引領(lǐng)作用。正如集團(tuán)黨委書記、董事長(zhǎng)、總裁徐鏡人一直強(qiáng)調(diào)的，“企業(yè)的發(fā)展離不開黨的領(lǐng)導(dǎo)”“黨建工作是企業(yè)不可或缺的部分，它鼓舞和領(lǐng)導(dǎo)著企業(yè)的思想政治工作，使職工不忘初心”。海陵藥業(yè)始終堅(jiān)持由黨組織把方向、管大局、保落實(shí)，把黨建引領(lǐng)明確寫入公司章程，確立黨對(duì)企業(yè)全面工作的領(lǐng)導(dǎo)地位，為推動(dòng)持續(xù)健康發(fā)展提供堅(jiān)強(qiáng)政治保證和組織保證。

T2(x2=-h)=T6(x2=-h)=0

(9)

式中h為彈性板的厚度。

將應(yīng)力表達(dá)式(8)代入邊界條件式(9),可以得到

MB=0

(10)

式中 振幅向量為B={B1,B2,B3,WB4}T。

這里沒(méi)有列出系數(shù)矩陣M的非零元素。若帶旋轉(zhuǎn)場(chǎng)的各向同性彈性板中存在聲表面波振幅的非零解,必然要求系數(shù)矩陣M的行列式值為零[15,16]。這樣就建立了聲表面波在帶旋轉(zhuǎn)場(chǎng)的各向同性彈性板中的傳播方程,可以用于分析旋轉(zhuǎn)場(chǎng)對(duì)聲表面波傳播特性的影響。

2 數(shù)值計(jì)算

為了計(jì)算簡(jiǎn)單,對(duì)彈性板厚度進(jìn)行歸一化處理

H=h/ξ,kξ=2π,kh=2πH

(11)

式中H和ξ分別為彈性板的歸一化厚度和聲表面波波長(zhǎng),這里取鋁板作為研究對(duì)象。為了驗(yàn)證推導(dǎo)的正確性,可以繪制無(wú)旋轉(zhuǎn)場(chǎng)時(shí)波速和歸一化彈性板厚度的關(guān)系曲線圖如圖2所示。

圖2 各向同性彈性板的波速—板厚曲線

從圖2可以發(fā)現(xiàn),隨著彈性板厚度的逐漸增加,聲表面波波速的上下分支分別趨向半無(wú)限大彈性體的聲表面波波速[14,15]。特別是彈性板厚度在4個(gè)波長(zhǎng)以上,獲得的波速與半無(wú)限大彈性體的結(jié)果非常接近,這就說(shuō)明聲表面波的振動(dòng)能力主要集中于4個(gè)波長(zhǎng)以內(nèi)。并且這里獲得歸一化波速與先前的研究結(jié)果一致[14,15]。

可以進(jìn)一步繪制繞不同坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)頻率和波速的關(guān)系曲線圖如圖3所示。

圖3 各向同性彈性板的波速—旋轉(zhuǎn)頻率曲線

這里需要指出的是圖3的各向同性彈性板的厚度都是2個(gè)波長(zhǎng),ω是聲表面波的頻率。從圖3可以發(fā)現(xiàn),隨著旋轉(zhuǎn)場(chǎng)轉(zhuǎn)速的增加,聲表面波波速逐漸減小。由旋轉(zhuǎn)場(chǎng)引起波速變化的靈敏度來(lái)看,繞x1軸旋轉(zhuǎn)靈敏性更大,并且波速和轉(zhuǎn)速的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系完全提供了檢測(cè)的可能。因此，在實(shí)際聲表面波陀螺效應(yīng)傳感器設(shè)計(jì)中,應(yīng)該將器件設(shè)計(jì)在旋轉(zhuǎn)場(chǎng)的合理方向[12]。

旋轉(zhuǎn)場(chǎng)不僅改變了聲表面波波速,而且將會(huì)對(duì)聲表面波的波形存在影響。常用器件都是將傳感器放置在繞x2軸的中心位置,因此，可以進(jìn)一步分析陀螺效應(yīng)對(duì)聲表面波波形的影響[1]?；谑?10)的求解,可以進(jìn)一步定義位移為

u1=(Cekβ1x2+Cζ2ekβ2x2+Cζ3ekβ3x2+Cζ4ekβ4x2)eik(x1-ct),

u2=(Cα1ekβ1x2+Cα2ζ2ekβ2x2+Cα3ζ3ekβ3x2+Cα4ζ4ekβ4x2)

eik(x1-ct)

(12)

式中C和ζ1(ζ2,ζ3,ζ4)為重新定義的振幅和振幅比,定義如下

ζj=Bj(βj)/B1(βj),j=1,2,3,4

(13)

基于新位移表達(dá)式(12),可以繪制出位移的波形圖如圖4所示。

圖4 各向同性彈性板的位移

圖4的縱坐標(biāo)是歸一化各向同性彈性板的厚度,橫坐標(biāo)是基于式(12)的位移表達(dá)式,沒(méi)有給出振幅C的數(shù)值,因此橫坐標(biāo)不存在單位。圖4表明當(dāng)聲表面波在2個(gè)波長(zhǎng)厚度的各向同性彈性板中傳播時(shí),位移呈現(xiàn)出對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài),圖4(a)和圖4(d)是位移的反對(duì)稱模態(tài),圖4(b)和圖4(c)是位移的對(duì)稱模態(tài)。圖4也表明繞x2軸旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對(duì)聲表面波波形影響不大,沒(méi)有破壞其對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài)的基本波形[13]。這就表明在實(shí)際低轉(zhuǎn)速的聲表面波陀螺效應(yīng)感應(yīng)器設(shè)計(jì)中,可以不考慮聲表面波波形變化的影響[13]。

3 結(jié) 論

分析了陀螺效應(yīng)對(duì)聲表面波在各向同性彈性板中傳播特性的影響。研究結(jié)果表面陀螺效應(yīng)對(duì)聲表面波波速有著顯著影響,特別繞聲表面波的傳播方向旋轉(zhuǎn)時(shí),影響效應(yīng)更為明顯。隨著旋轉(zhuǎn)場(chǎng)轉(zhuǎn)速的增加,聲表面波各波速都將減小。對(duì)應(yīng)的關(guān)系可以為實(shí)際聲表面波陀螺效應(yīng)傳感器提供指導(dǎo)。通過(guò)繪制聲表面波波形圖,發(fā)現(xiàn)低轉(zhuǎn)速的陀螺效應(yīng)會(huì)輕微改變聲表面波的波形的對(duì)稱和反對(duì)稱模態(tài),但是這種影響不大。各種聲波器件一般都是層狀結(jié)構(gòu),因此,這里建立的模型更接近于實(shí)際的聲表面波陀螺效應(yīng)傳感器。