巷道圍巖塑性軟化區(qū)粘聚力變化規(guī)律理論新解

經(jīng) 緯，張 坤，楊 簡(jiǎn)，馬芹永,3，徐輝東

(1.安徽理工大學(xué)土木建筑學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.中煤礦山建設(shè)集團(tuán)有限責(zé)任公司安全科學(xué)與工程博士后科研工作站，安徽 合肥 230000；3.安徽理工大學(xué)安全科學(xué)與工程博士后科研流動(dòng)站，安徽 淮南 232001；4.深部煤礦采動(dòng)響應(yīng)與災(zāi)害防控國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 淮南 232001)

長(zhǎng)期以來(lái)，關(guān)于圍巖變形分區(qū)的研究成果很多[1-17]，但可用的解析成果很少，關(guān)鍵原因在于巷道圍巖塑性軟化階段內(nèi)摩擦角和粘聚力隨環(huán)向應(yīng)變變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)方面存在分歧。關(guān)于內(nèi)摩擦角方面，文獻(xiàn)[18]18-30以大量的國(guó)內(nèi)外的試驗(yàn)結(jié)果已經(jīng)給予了論證，此處不再分析。但時(shí)至今日，粘聚力方面的爭(zhēng)論依然不休。關(guān)于塑性軟化階段粘聚力隨環(huán)向應(yīng)變變化規(guī)律的描述除了非線性和線性兩種情況之外，還有一種觀點(diǎn)認(rèn)為該階段的粘聚力是常量。之所以會(huì)出現(xiàn)多種觀點(diǎn)并存的現(xiàn)象，根本原因在于解析解的不足，另外，多種觀點(diǎn)并存也表明了該問題尚有進(jìn)一步研究的必要。本文的研究就是基于這樣一個(gè)背景展開的，目的就是為了給出一個(gè)較為符合實(shí)際且科學(xué)合理的變化規(guī)律的解答。

圍巖變形分區(qū)解析分析中的另一個(gè)關(guān)鍵制約因素是塑性軟化區(qū)徑向上環(huán)向應(yīng)力與徑向應(yīng)力之間的關(guān)系，同時(shí)這一關(guān)系也是研究該區(qū)域粘聚力隨環(huán)向應(yīng)變變化規(guī)律的基礎(chǔ)，下面首先對(duì)此展開研究。

1 塑性軟化階段環(huán)向與徑向應(yīng)力關(guān)系

塑性軟化階段環(huán)向與徑向應(yīng)力之間關(guān)系是圍巖塑性軟化階段粘聚力隨環(huán)向應(yīng)變變化規(guī)律的研究基礎(chǔ)，下面首先依據(jù)圍巖應(yīng)變軟化模型對(duì)其進(jìn)行剖析。

(1)圍巖應(yīng)變軟化模型介紹

依據(jù)文獻(xiàn)[18]34-40可知圍巖應(yīng)變軟化模型有兩種(見圖1)，其中一種以應(yīng)力差(σ1-σ3)為縱坐標(biāo)，另一種以σ1為縱坐標(biāo)，前者來(lái)源于以(σ1-σ3)為縱坐標(biāo)的全應(yīng)力——應(yīng)變曲線及相應(yīng)的穩(wěn)定蠕變終止軌跡線[19-20]，后者來(lái)源于以σ1為縱坐標(biāo)的全應(yīng)力——應(yīng)變曲線及相應(yīng)的穩(wěn)定蠕變終止軌跡線。

關(guān)于模型的形成機(jī)理在文獻(xiàn)[18]34-40中已有詳細(xì)描述，此處僅給予簡(jiǎn)單介紹。

圖1所示的兩模型均為基本模型，所謂基本模型是指圍巖所有變形破壞形式均發(fā)生情況下的對(duì)應(yīng)模型。由于圍巖所有的變形破壞形式共有4種：彈性變形、塑性硬化(源于穩(wěn)定蠕變)、塑性軟化(部分源于強(qiáng)度破壞、部分源于不穩(wěn)定蠕變，并且變形穩(wěn)定后在卸載路徑上的位置位于對(duì)應(yīng)圍壓下的全應(yīng)力——應(yīng)變曲線峰后階段中長(zhǎng)期強(qiáng)度與殘余強(qiáng)度之間)、破碎(源于強(qiáng)度破壞或部分源于不穩(wěn)定蠕變且在卸載路徑上位于相應(yīng)的全應(yīng)力——應(yīng)變曲線峰后階段中殘余強(qiáng)度之后)。正是因?yàn)閲鷰r中最多會(huì)出現(xiàn)4中變形破壞形式，故圍巖的基本變形分區(qū)類型必然是4分區(qū)，相應(yīng)的圍巖應(yīng)變軟化模型必然是4階段模型。值得強(qiáng)調(diào)的是圖2所示的模型是對(duì)應(yīng)于圍巖沿徑向的應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系曲線的圍巖應(yīng)變軟化模型，與源于全應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系曲線的3階段應(yīng)變軟化模型具有本質(zhì)上的差異。

圖1 兩種圍巖應(yīng)變軟化模型示意圖

模型中共有4段折線：OD(OD′)、DM(D′M′)、MQ(M′Q′)和QG(Q′G′)，分別對(duì)應(yīng)著彈性變形區(qū)、塑性硬化區(qū)、塑性軟化區(qū)和塑性流動(dòng)區(qū)(破碎區(qū))。

由于MQ對(duì)應(yīng)的塑性軟化區(qū)沿徑向的環(huán)向應(yīng)力與徑向應(yīng)力之間的關(guān)系直接影響到該區(qū)域巖石粘聚力沿徑向變化規(guī)律的確定，故需首先進(jìn)行分析。

值得強(qiáng)調(diào)的是圖1是4階段圍巖應(yīng)變軟化模型，也有文獻(xiàn)給出了3階段應(yīng)變軟化模型和2階段應(yīng)變軟化模型的研究成果，雖然存在有三種圍巖應(yīng)變軟化模型，但在塑性軟化階段的“線性”規(guī)律方面都表現(xiàn)出了高度一致性，相關(guān)的理論研究在文獻(xiàn)[21]就給予了剖析。

(2)塑性軟化區(qū)沿徑向的環(huán)向應(yīng)力與徑向應(yīng)力之間關(guān)系

圖1中的兩個(gè)模型是同一巷道圍巖應(yīng)變軟化模型的兩種表示形式，兩模型中的D與D′對(duì)應(yīng)于圍巖中的同一點(diǎn)、M與M′對(duì)應(yīng)于圍巖中的同一點(diǎn)、Q與Q′對(duì)應(yīng)于圍巖中的同一點(diǎn)、G與G′對(duì)應(yīng)于圍巖中的同一點(diǎn)。由于表示縱坐標(biāo)軸的應(yīng)力變量的差異，故MQ和M′Q′兩直線的斜率以及縱軸上的截距必然都不一致，相應(yīng)的線性方程式也不一致，具體見式(1)和(2)。

σ1-σ3=k1ε1+b1

(1)

σ1=k2ε1+b2

(2)

式中：σ1、σ3分別是塑性軟化區(qū)的環(huán)向應(yīng)力和徑向應(yīng)力，MPa；k1是MQ的斜率、k2是M′Q′的斜率；b1是MQ在縱軸上的截距，m；b2是M′Q′在縱軸上的截距，m；ε1是塑性軟化區(qū)的環(huán)向應(yīng)變。

聯(lián)立求解(1)和(2)并經(jīng)整理即可獲得徑向應(yīng)力隨環(huán)向應(yīng)變變化規(guī)律的表達(dá)式(3)。

σ3=(k2-k1)ε1+(b2-b1)

(3)

聯(lián)立求解(2)和(3)，并消除其中的環(huán)向應(yīng)變?chǔ)?后即可獲得沿圍巖徑向環(huán)向應(yīng)力與徑向應(yīng)力之間的關(guān)系式(4)。

(4)

對(duì)于一個(gè)既定巷道，圖1中的兩個(gè)圍巖應(yīng)變軟化模型一定是既定的，因此相關(guān)的參數(shù)k1、k2、b1、b2均是常數(shù)，于是得到結(jié)論：塑性軟化區(qū)沿巷道徑向方向上環(huán)向應(yīng)力與徑向應(yīng)力之間呈線性關(guān)系，徑向應(yīng)力與環(huán)向應(yīng)變之間也呈線性關(guān)系。

2 塑性軟化階段粘聚力變化規(guī)律分析

圍巖塑性軟化階段粘聚力隨環(huán)向應(yīng)變的變化規(guī)律，涉及因素較多，解析分析難度較大，與此相關(guān)的因素主要包括：相應(yīng)階段的內(nèi)摩擦角、單軸抗壓強(qiáng)度、圍巖沿徑向的環(huán)向應(yīng)力與徑向應(yīng)力之間的關(guān)系等，下面就從這些相關(guān)因素入手來(lái)逐漸剖析這一規(guī)律。

(1)粘聚力與單軸抗壓強(qiáng)度之間關(guān)系

依據(jù)庫(kù)侖準(zhǔn)則可知，處于某一破壞狀態(tài)的巖石粘聚力取決于兩個(gè)因素：巖石單軸抗壓強(qiáng)度和內(nèi)摩擦角，具體數(shù)值可依據(jù)(5)式計(jì)算獲得。

(5)

式中：σcS為圖1中S或S′對(duì)應(yīng)的單軸抗壓強(qiáng)度，MPa。CS為對(duì)應(yīng)于S點(diǎn)(或S′點(diǎn))的巖石粘聚力，MPa。φS為對(duì)應(yīng)于S點(diǎn)(或S′點(diǎn))的巖石內(nèi)摩擦角，度。由于不同圍壓下全應(yīng)力——應(yīng)變曲線峰后階段的內(nèi)摩擦角基本一致[22]2 203，故針對(duì)圖1中的塑性軟化階段，φS可視為一常量。

(5)式顯示圍巖塑性軟化階段的粘聚力與對(duì)應(yīng)的單軸抗壓強(qiáng)度值呈正比例關(guān)系，因此，圍巖塑性軟化階段粘聚變化規(guī)律的研究可以借助圍巖塑性軟化階段單軸抗壓強(qiáng)度變化規(guī)律的研究間接獲得。

(2)強(qiáng)度擬合直線與塑性軟化階段σ1-σ3關(guān)系直線

依據(jù)文獻(xiàn)[18，22]80-98，2 208的研究，在圖2所示的坐標(biāo)平面內(nèi)，峰值強(qiáng)度擬合直線① 、長(zhǎng)期強(qiáng)度擬合直線② 與殘余強(qiáng)度擬合直線④ 呈近似平行關(guān)系。

對(duì)比圖1和圖2，圖2中的長(zhǎng)期強(qiáng)度擬合直線② 上一定有一個(gè)點(diǎn)與圖1中的M點(diǎn)呈一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為了便于分析，圖2中的該一一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也用M表示。同理，圖2中的殘余強(qiáng)度擬合直線④ 上也有一個(gè)點(diǎn)與圖1中的Q點(diǎn)呈一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，該對(duì)應(yīng)點(diǎn)也用Q表示。顯然，圖2中MQ之間的連線⑤ 對(duì)應(yīng)的方程正是公式(4)表示的方程，在圖2所示的坐標(biāo)平面內(nèi)，公式(4)也可表示為式(6)所示的形式。

σ1=k3σ3+σBo

(6)

(7)

對(duì)于圖1中的任意點(diǎn)S(或S′)點(diǎn)，顯然其在圖2中的MQ直線上有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，為了便于對(duì)比分析，該點(diǎn)也用符號(hào)S表示。由于圖1中S(或S′)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的巖石內(nèi)摩擦角與M、Q兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的巖石內(nèi)摩擦角相等，故圖2中過S點(diǎn)且與直線①、②、④ 相平行的直線也必是一條擬合直線，該直線上其它各點(diǎn)對(duì)應(yīng)圍壓下的巖石的變形破壞性質(zhì)必與S(或S′)點(diǎn)的變形破壞性質(zhì)一致，如同峰值強(qiáng)度擬合直線上的所有點(diǎn)的變形破壞性質(zhì)都是巖石發(fā)生極限抗壓強(qiáng)度破壞一樣，雖然圍壓不同，但極限抗壓強(qiáng)度破壞的性質(zhì)都是一樣。

于是圖2中的直線① 、② 、③ 、④ 都是強(qiáng)度擬合直線，只不過對(duì)應(yīng)于不同程度的變形破壞而已。如此一來(lái)，根據(jù)圖2所示的坐標(biāo)平面的性質(zhì)，4條擬合直線在縱坐標(biāo)軸上的截距就是相應(yīng)變形性質(zhì)所對(duì)應(yīng)的單軸抗壓強(qiáng)度(σcb、σcm、σcs、σcw)，其中σcm、σcs和σcw分別一一對(duì)應(yīng)于圖1中的M、S和Q點(diǎn)。

因不穩(wěn)定蠕變的存在，圍巖中最大的環(huán)向應(yīng)力值只可能是相應(yīng)圍壓下的長(zhǎng)期強(qiáng)度值，故峰值強(qiáng)度擬合直線對(duì)應(yīng)的單軸抗壓強(qiáng)度σcb不會(huì)出現(xiàn)在圍巖塑性軟化階段對(duì)應(yīng)的單軸抗壓強(qiáng)的集合內(nèi)。

圖2 塑性軟化階段粘聚力變化規(guī)律分析示意圖

(3)塑性軟化階段粘聚力變化規(guī)律

現(xiàn)在通過數(shù)學(xué)理論先求解σcs隨圍巖環(huán)向應(yīng)變的變化規(guī)律，然后再進(jìn)一步確定粘聚力CS的變化規(guī)律。

首先，圖2中過點(diǎn)Mo(直線②與縱向坐標(biāo)軸的交點(diǎn))作水平直線MoH與直線⑤ 相交于H點(diǎn)，過So點(diǎn)(直線③與縱向坐標(biāo)軸的交點(diǎn))作水平直線SoP與直線⑤ 相交于P點(diǎn)，兩水平直線的方程分別為

MoH：σ1=σcm

(8)

SoP：σ1=σcs

(9)

聯(lián)立求解式(4)和式(8)，即可獲得H點(diǎn)的水平坐標(biāo)，即線段MoH的長(zhǎng)度。

(10)

同理，聯(lián)立求解式(4)和式(9)，即可獲得P點(diǎn)的水平坐標(biāo)，即線段SoP的長(zhǎng)度。

(11)

下面依據(jù)相似三角形關(guān)系確定σcs。

圖2中，因ΔBoSoP∽ΔBoMoH，故存在下列比例關(guān)系

(12)

整理得到

(13)

由于((σ3)P，σcs)是圖3中直線⑤ 上P點(diǎn)的坐標(biāo)，而直線⑤ 上的每一點(diǎn)在圖2的塑性軟化階段上都有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其中S點(diǎn)有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)S((σ1-σ3)S，(ε1)S)或點(diǎn)S′((σ1)S，(ε1)S)，P點(diǎn)同樣有一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P((σ1-σ3)P，(ε1)P)或P′((σ1)P，(ε1)P)。顯然，圖2中的P點(diǎn)既滿足式(1)，也滿足式(2)，自燃也滿足式(3)，于是可得式(14)

(σ3)P=(k2-k1)(ε1)P+(b2-b1)

(14)

將上式代入(13)式即可獲得σcs的進(jìn)一步表達(dá)式如式(15)

(15)

將上式代入公式(5)并經(jīng)整理后可得塑性軟化階段粘聚力的表達(dá)式

(16)

由于(ε1)P并不是CS對(duì)應(yīng)的S點(diǎn)的應(yīng)變值，故下面還需繼續(xù)對(duì)上式進(jìn)行演化。

首先，聯(lián)立求解圖2中直線③ 和⑤ ⑤ 的方程，即下列方程組。

方程組中k′為直線① ② ④ 的斜率。對(duì)上述方程組進(jìn)行求解，即可獲得S點(diǎn)的環(huán)向應(yīng)力如式(17)

(17)

將(17)減去(15)得

{(k2-k1)·(ε1)P+(b2-b1)}-σBo

(18)

然后，依據(jù)圖2和公式(2)可得如下兩方程(19)和(20)。

(σ1)S=k1(ε1)S+b2

(19)

(σ1)P=k1(ε1)P+b2

(20)

將(19)式減去(20)式可得式(21)

(σ1)S-(σ1)P=[k1(ε1)S+b2]-[k1(ε1)P+b2]

(21)

聯(lián)立求解式(18)和(21)并結(jié)合式(5)即可獲得(ε1)S和(ε1)P之間的關(guān)系如式(22)

(22)

將上式代入公式(16)并經(jīng)整理即可獲得Cs與(ε1)s之間的關(guān)系式(23)。

(23)

式中，

(24)

再次化簡(jiǎn)后，(24)式可簡(jiǎn)化成如下表達(dá)式。

CS=ko(ε1)S+bo

(25)

對(duì)于既定巷道圍巖，因σcm、σBo、b1、b2、k1、k2、φs和k′都是常量，故Eo、Fo、Io、Jo、Mo、No、To、ko、和bo都是常量，所以Cs與(ε1)s之間呈線性關(guān)系，即圍巖塑性軟化階段，粘聚力隨環(huán)向應(yīng)變呈線性規(guī)律變化。

4 結(jié)論

(1)揭示了圍巖塑性軟化階段環(huán)向應(yīng)力與徑向應(yīng)力之間的線性關(guān)系。這一關(guān)系的揭示不僅為圍巖塑性軟化階段粘聚力的變化規(guī)律的分析奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)也為圍巖變形分區(qū)范圍的量化確定奠定了基礎(chǔ)。

(2)給出了圍巖塑性軟化階段粘聚力隨環(huán)向應(yīng)變的線性變化規(guī)律。這一規(guī)律的揭示不僅對(duì)當(dāng)前各種觀點(diǎn)的正確與否給出了一個(gè)客觀且科學(xué)的評(píng)價(jià)，而且為圍巖變形分區(qū)范圍的量化確定及圍巖應(yīng)力變化規(guī)律的分析奠定了理論基礎(chǔ)。

(3)作為一個(gè)解析解，從理論上揭示了巖石粘聚力的一個(gè)重要性質(zhì)，不僅對(duì)完善巖石力學(xué)的基礎(chǔ)理論研究具有重要價(jià)值，對(duì)礦山地下工程、隧道和水利硐室的穩(wěn)定性研究具有重要的基礎(chǔ)理論意義。