無(wú)處不在的軸對(duì)稱(chēng)

☉江蘇省南京師范大學(xué)鹽城實(shí)驗(yàn)學(xué)校 羅 俊

軸對(duì)稱(chēng)是圖形變換之一，旨在培養(yǎng)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)的角度去觀察、認(rèn)識(shí)圖形.軸對(duì)稱(chēng)有許多重要的性質(zhì)，如：對(duì)稱(chēng)軸兩旁的圖形全等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的連線被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分；對(duì)應(yīng)邊若相交，交點(diǎn)一定在對(duì)稱(chēng)軸上，對(duì)應(yīng)邊與對(duì)稱(chēng)軸的夾角相等等.利用軸對(duì)稱(chēng)的這些性質(zhì)不僅可以解決數(shù)學(xué)自身的一些問(wèn)題，而且在實(shí)際的生產(chǎn)、生活中也有廣泛的應(yīng)用，可以說(shuō)，軸對(duì)稱(chēng)在生活無(wú)處不在，隨處可見(jiàn).

一、利用軸對(duì)稱(chēng)簡(jiǎn)化計(jì)算

在數(shù)與式的混合運(yùn)算中，簡(jiǎn)化計(jì)算的方法包括：利用加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律或乘法分配律簡(jiǎn)化計(jì)算；利用平方差公式或完全平方公式簡(jiǎn)化計(jì)算；利用分組、拆項(xiàng)、添項(xiàng)簡(jiǎn)化計(jì)算等.當(dāng)一列數(shù)整齊地排列在一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形中時(shí)，我們也可以利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算.

例1如圖1，放在正方形內(nèi)的五列數(shù)，認(rèn)真觀察它們的排列規(guī)律，怎樣用簡(jiǎn)便的方法計(jì)算出它們的和？

分析：正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有四條對(duì)稱(chēng)軸.若沿著數(shù)字5所在的對(duì)角線折疊，發(fā)現(xiàn)在對(duì)稱(chēng)位置上的兩個(gè)數(shù)之和均為10，這樣就使運(yùn)算大為簡(jiǎn)化.

解：讓正方形沿?cái)?shù)字5所在的直線折疊，并讓對(duì)稱(chēng)位置上的數(shù)字相加得到圖2，于是所有數(shù)字的和等于5×5+10×10=125.

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)檎叫问禽S對(duì)稱(chēng)圖形，所以沿對(duì)稱(chēng)軸折疊后，對(duì)稱(chēng)軸兩旁的部分能夠互相重合，這是此題能簡(jiǎn)便計(jì)算的主要原因.

二、利用軸對(duì)稱(chēng)找到最短路線.

兩點(diǎn)之間的最短路徑就是這兩點(diǎn)之間的線段，點(diǎn)到直線的最短路徑就是點(diǎn)到直線的垂線段，平行線間的最短路徑是一條直線上任一點(diǎn)到另一條直線的垂線段.那么一條直線同側(cè)的兩個(gè)固定點(diǎn)到該直線上一動(dòng)點(diǎn)的最短路線又如何確定呢？利用軸對(duì)稱(chēng)可以輕松解決.

例2如圖3，OX、OY是兩條公路，在兩條公路夾角的內(nèi)部有一油庫(kù)A，現(xiàn)在想在兩條公路上建兩個(gè)加油站，為使運(yùn)油的油罐車(chē)從油庫(kù)出發(fā)先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油庫(kù)的路程最短，問(wèn)：兩加油站應(yīng)如何選址？

分析：上述問(wèn)題可化為：在銳角XOY內(nèi)部有一個(gè)點(diǎn)A，試作一個(gè)三角形，以A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在OX、OY上，且使其周長(zhǎng)最小.

解：如圖3，分別取點(diǎn)A關(guān)于OX、OY的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1、A2.連接A1A2分別交OX、OY于點(diǎn)B、C.則B、C兩點(diǎn)即為加油站的位置.

點(diǎn)評(píng)：這里是利用軸對(duì)稱(chēng)化“折”為“直”，將三條線段放在同一直線上.若在OX、OY上另取兩點(diǎn)B1、C1，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：A1A2＜A1B1+B1C1+C1A2.由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得：AB+BC+AC＜AB1+B1C1+C1A.

三、利用軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)圖案

生活中許多精美圖案都是利用圖形變換設(shè)計(jì)的，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗中間的紫荊花是利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)的，三菱汽車(chē)的標(biāo)志是利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)的，一汽汽車(chē)的標(biāo)志是利用軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)的，奧迪汽車(chē)的標(biāo)志是利用平移設(shè)計(jì)的等.利用軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)圖案，應(yīng)首先確定對(duì)稱(chēng)軸，然后沿對(duì)稱(chēng)軸作軸對(duì)稱(chēng)圖形即可.對(duì)稱(chēng)軸選擇的不同，設(shè)計(jì)出的圖案也會(huì)不同.

例3請(qǐng)?jiān)谙铝腥齻€(gè)2×2的方格中，各畫(huà)出一個(gè)三角形，要求所畫(huà)三角形是圖中三角形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換后得到的圖形，且所畫(huà)三角形的頂點(diǎn)與方格中的小正方形的頂點(diǎn)重合，并將所畫(huà)三角形涂上陰影.（注：所畫(huà)的三個(gè)圖不能重復(fù)）

分析：可選擇不同的直線作為對(duì)稱(chēng)軸，如水平的、豎直的或傾斜的，分別找到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，然后連接即可得到對(duì)稱(chēng)圖形.

解：如圖5所示，以下方案可供選擇.

點(diǎn)評(píng)：上述第一個(gè)與第三個(gè)圖案以大正方形的對(duì)角線所在的直線為對(duì)稱(chēng)軸；第二個(gè)圖案以大正方形水平中軸線為對(duì)稱(chēng)軸；第四個(gè)圖案以下面矩形的水平中軸線為對(duì)稱(chēng)軸；第五個(gè)圖案以大正方形豎直中軸線為對(duì)稱(chēng)軸.從這里可以看出，對(duì)對(duì)稱(chēng)軸的選擇要靈活，這樣可培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

四、利用軸對(duì)稱(chēng)確定擊球的方向

臺(tái)球運(yùn)動(dòng)是一種室內(nèi)體育運(yùn)動(dòng)，已在國(guó)際上廣泛流行，主要是用球桿在桌面上擊球，依靠得分的多少來(lái)決定比賽的輸贏，臺(tái)球與其他球類(lèi)打法有些不同，如足球、籃球等都是把球直接送進(jìn)球門(mén)或球框，而臺(tái)球則要通過(guò)擊打母球，然后由母球把目標(biāo)球送進(jìn)球洞才能得分，不僅如此，為了能連續(xù)打進(jìn)球連續(xù)得分，必須在打進(jìn)一個(gè)球之后，考慮母球能否停在理想的位置，以方便接著打下一個(gè)球.臺(tái)球的打法有直擊、搓球、跳球、反彈等.其中反彈就是將母球先擊中桌面的邊沿兒，母球反彈后擊中目標(biāo)球，要想實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)，需要用軸對(duì)稱(chēng)確定擊球方向.

例4如圖6，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形的臺(tái)球桌面，有黑、白兩球分別位于F、E兩點(diǎn)的位置，試問(wèn)：樣撞擊黑球F，才能使黑球先碰撞桌邊DC，反彈后再擊中白球E？

分析：若在桌邊CD放上一面鏡子，則鏡中就有點(diǎn)E的影子E′，只要我們讓黑球F對(duì)著影子E′打過(guò)去，就能反彈后擊中白球E.這里的點(diǎn)E與點(diǎn)E′關(guān)于直線CD對(duì)稱(chēng).

解：作點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，連接FE′，與CD的交點(diǎn)P即為撞擊點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：這是軸對(duì)稱(chēng)在打臺(tái)球運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用，它為我們擊球確定了方向，當(dāng)然在實(shí)戰(zhàn)中不可能在邊沿放一面鏡子，然后我們對(duì)著鏡子里的影子打，但其中的道理學(xué)生應(yīng)該明白，使用反彈擊球時(shí)，發(fā)揮空間想象能力，在腦海里作軸對(duì)稱(chēng)，然后對(duì)著目標(biāo)球的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)擊球.

五、利用軸對(duì)稱(chēng)構(gòu)造＂回文＂修辭和對(duì)聯(lián)

文學(xué)中的“回文”修辭手法，是指把相同的字或詞，在后文中倒過(guò)來(lái)放置，從而產(chǎn)生正讀與反讀都一樣的效果，如風(fēng)扇能扇風(fēng)、奶牛產(chǎn)牛奶、清水池里池水清、霧鎖山頭山鎖霧等.它們就像是一個(gè)個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，距離對(duì)稱(chēng)軸等距離的位置上的字相同.古代還有回文對(duì)聯(lián)，如：心清可品茶，茶品可清心；人過(guò)大佛寺，寺佛大過(guò)人等.原來(lái)文學(xué)家為了語(yǔ)言的精彩，還借用數(shù)學(xué)中的軸對(duì)稱(chēng)呢！

例5下列四句話中的文字有三句具有對(duì)稱(chēng)規(guī)律，其中沒(méi)有這種規(guī)律的一句是（）.

A.上海自來(lái)水來(lái)自海上 B.有志者事競(jìng)成

C.清水池里池水清 D.蜜蜂釀蜂蜜

分析：根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)的特點(diǎn)，分析出與其他三個(gè)不同的即為正確選項(xiàng)：A.上海自來(lái)水來(lái)自海上，可將“水”理解為對(duì)稱(chēng)軸，故A選項(xiàng)具有軸對(duì)稱(chēng)性；B.有志者事競(jìng)成，五字均不相同，所以不對(duì)稱(chēng)；C.清水池里池水清，可將“里”理解為對(duì)稱(chēng)軸，故本選項(xiàng)具有軸對(duì)稱(chēng)性；D.蜜蜂釀蜂蜜，可將“釀”理解為對(duì)稱(chēng)軸，故本選項(xiàng)具有軸對(duì)稱(chēng)性.故選B.

點(diǎn)評(píng)：漢語(yǔ)里的“回文”修辭，就是正著讀與倒著讀是一樣的，如果從數(shù)學(xué)角度看就是具有軸對(duì)稱(chēng)的規(guī)律.其實(shí)，中國(guó)的傳統(tǒng)文化——對(duì)聯(lián)何嘗不是對(duì)稱(chēng)呢？ 如：“萬(wàn)瓦千磚百匠造成十佛寺，一舟二櫓四人搖過(guò)八仙橋”，數(shù)字對(duì)數(shù)字，事物對(duì)事物，對(duì)稱(chēng)美十分和諧；“青山有幸埋忠骨，白鐵無(wú)辜鑄佞臣”，“青山”對(duì)“白鐵”，“有幸”對(duì)“無(wú)辜”，“埋忠骨”對(duì)“鑄佞臣”.以這樣工整的對(duì)稱(chēng)表達(dá)了人民的愛(ài)和恨.可見(jiàn)，對(duì)稱(chēng)美在文學(xué)方面也有生動(dòng)、深刻的體現(xiàn).

從上述事例中，我們可以看到，軸對(duì)稱(chēng)在數(shù)學(xué)運(yùn)算、工程選址、臺(tái)球運(yùn)動(dòng)、美術(shù)設(shè)計(jì)、語(yǔ)言文學(xué)等方面有重要的應(yīng)用，因?yàn)檩S對(duì)稱(chēng)從美學(xué)角度，就給人以平衡的美、勻稱(chēng)的美，它也符合中國(guó)古代建筑設(shè)計(jì)中的中軸線原則.只要大家在生活中注意留心觀察，其實(shí)軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)用的事例遠(yuǎn)不止這些.