增設(shè)鋪墊與漸次生長：磨題體會與建議
——以兩道一次函數(shù)初二期中習(xí)題為例

☉江蘇省清江中學(xué) 張紹俊

期中考試常常由學(xué)校組織，很多試卷質(zhì)量不高，原因是命題組織過程中的打磨與審卷環(huán)節(jié)做得不到位，所以不少學(xué)校的期中考試的組織很嚴(yán)密、規(guī)范，但是試卷的質(zhì)量不高，影響了考試評價的信度與效度.筆者最近參與了一份期中試卷的打磨，對兩道一次函數(shù)考題有了更深的理解.本文先記錄這次磨題的經(jīng)驗，并跟進反思，供研討.

一、兩道一次函數(shù)題的磨題經(jīng)歷

案例1：一次函數(shù)圖像信息題.

考題原型：為了緬懷先烈，繼承遺志，某中學(xué)初二年級同學(xué)于4月初進行“清明雁棲湖，憶先烈功垂不朽”的定向越野活動.每個小組需要從點A出發(fā)，跑步到點B打卡（每小組打卡時間為1分鐘），然后跑步到點C……最后到達(dá)終點（假設(shè)點A、B、C在一條直線上，且在行進過程中，每個小組跑步速度是不變的）.“文藝組”最先出發(fā)，過了一段時間后，“方程組”開始出發(fā)，兩個小組恰好同時到達(dá)點C.若“方程組”出發(fā)的時間為x（單位：分鐘），在點A到點C的行進過程中，“文藝組”與“方程組”之間的距離為y（單位：米）.它們的函數(shù)圖像如圖1：

A.當(dāng)x=2時，“文藝組”恰好到達(dá)點B

B.“文藝組”的速度為150米/分鐘，“方程組”的速度為200米/分鐘，他們從點A出發(fā)的時間間隔為2分鐘

C.圖中點M表示“方程組”在點B打卡結(jié)束，開始向點C出發(fā)

D.出發(fā)點A到打卡點B的距離是600米，打卡點B到點C的距離是800米

思路簡析：對照問題情境及圖像上的數(shù)據(jù)信息，可以發(fā)現(xiàn)選項A、B、C中所解讀出來的信息都是正確的、相容的（這種題型，通過幾個選項之間的相容性審校，往往就能獲得解答）.而選項D中兩段路之和為1400米，而“方程組”總行程時間為7分鐘，但有1分鐘打卡，實際跑步時間6分鐘，解讀出“方程組”的速度是200米/分鐘，這樣總路程就是1200米，所以與選項D出現(xiàn)了矛盾、不相容的現(xiàn)象.

改編打磨：原題做下來，還是有一定的難度的.首先不是同時出發(fā)，而且先出發(fā)多長時間也不知道；另外，打卡的時間為1分鐘，這里跟我們傳統(tǒng)的行程問題的圖表題又有所不同.所以，要解決這道題，需要很清楚地把握整個運動過程.作為選擇題，使得這道考題的考查功能大打折扣，可以將這道考題研發(fā)成一道解答題，較好地體現(xiàn)學(xué)生對函數(shù)圖像信息題的理解.我們可在原題的題干基礎(chǔ)上，設(shè)計出以下一些問題：

（1）當(dāng)x=__________時，“文藝組”恰好到達(dá)點B；當(dāng)x=___________時，“方程組”從點B出發(fā)前往點C.

（2）“文藝組”和“方程組”的速度分別是多少？

（3）請你寫出線段DN的解析式.

（4）求“文藝組”和“方程組”相距100米時的時間.

改編意圖：第（1）小問做鋪墊，提醒、幫助學(xué)生理解整個運動過程.第（2）問求速度，通常的題目中都是會求這個問題的，而且建立在理解了運動過程的基礎(chǔ)上，（學(xué)生如果能答對前一問，就應(yīng)該知道x=2時，“文藝組”恰好到達(dá)點B；當(dāng)x=4時，“方程組”從點B出發(fā)前往點C.當(dāng)然還有x=3時，“方程組”恰好到達(dá)點B）就應(yīng)該知道求速度時分成兩個運動過程，A—B，B—C，去尋找等量關(guān)系.當(dāng)然，還可以求AB、BC甚至AC的距離，但是解答題的設(shè)問的數(shù)目不宜過多，而且學(xué)生能夠求出速度，距離的求解肯定沒有問題.另外（3）、（4）兩問的設(shè)置主要考查一次函數(shù)的知識，而第（3）問先求解析式是為后續(xù)求解提供鋪墊，主要是引導(dǎo)學(xué)生先求出點N的坐標(biāo)，從而求出解析式，再解決第（4）問就輕松了.如果直接給出第（4）問，恐怕學(xué)生不知道利用一次函數(shù)來解決.

案例2：以一次函數(shù)為背景的新定義考題的打磨.

考題原型：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意點P（a，b）和直線y=ax+b，我們稱直線y=ax+b為點P（a，b）的伴隨直線，反之稱點P（a，b）為直線y=ax+b的伴隨點.特別的，直線y=b（b為常數(shù)）的伴隨點為（0，b）.

如圖2，已知△ABC三個頂點A、B、C 的坐標(biāo)分別為（-2，-1）、（1，5）、（3，-1）.

（1）點A（-2，1）的伴隨直線的解析式為_________（直接寫出答案）；

（2）若直線AB的伴隨點是D，直線BC的伴隨點是E，點F為x軸上的動點，當(dāng)△DEF的周長最小時，求點F的坐標(biāo)；

（3）點P是折線段A-B-C上的動點（包括端點A、C），若直線l是點P的伴隨直線，當(dāng)直線l與△ABC有且僅有兩個公共點時，請直接寫出點P的橫坐標(biāo)t的取值范圍.

思路簡析：第（1）、（2）問都是初步理解新定義，并不太難，第（3）問比較晦澀、難懂，而且需要考慮多個變量的取值范圍，有較明顯的區(qū)分作用.

打磨改編：對于第（1）問，新定義中有“特別的，直線y=b（b為常數(shù)）的伴隨點為（0，b）”，所以我設(shè)想增加一個簡單的小問，直線y=3的伴隨點為_________，也為后面設(shè)想的第（2）問和第（3）問服務(wù).

對于這題的第（2）問，有這樣幾個設(shè)想：

（1）若直線AB的伴隨點是D，直線BC的伴隨點是E，直線AC的伴隨點是F，求△DEF的面積.

意圖：考查學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中利用割補法求三角形的面積.

（2）若直線AB的伴隨點是點D，直線BC的伴隨點是點E，點F為x軸上的動點，求|DE-DF|的最大值.

意圖：考查學(xué)生對三角形三邊關(guān)系的掌握.

（3）若直線AB的伴隨點是點D，直線BC的伴隨點是點E，點F為x軸上的動點，求|DE-DF|的最小值.

意圖：絕對值的最小值為0，即當(dāng)三角形為等腰三角形時即為所求.

（4）對于原題的第（3）問，點P是折線段B-A-C上的動點（包括端點A、C），若直線l是點P的伴隨直線，設(shè)直線l與y軸的交點為M，求點P在折線段B-A-C上運動的過程中，點M運動的路徑長.

當(dāng)然原題最后一問對“動”直線經(jīng)過“定點”的要求較高，如果學(xué)生對這種解題策略有所了解，也可一試，畢竟切入后續(xù)思路需要依靠這個狹窄的通道，如果不能順利通過，則后續(xù)分析變量的取值范圍就無從下手.命題打磨時對這類通道狹窄的設(shè)問要保持警惕，對于命題者來說，一定要防范出現(xiàn)個性化的理解或“命題任性”.

三、進一步的思考

1.習(xí)題改編功夫重在平時修煉精進

很多教師在“上級部門”安排一份試卷命題工作時，才會覺得自己的命題改編、磨題的基本功不足，又覺得這樣的機會也不是很多，于是平時就放松對命題改編功夫的修煉與精進.事實上，命題功夫主要還是來源于教師日常教學(xué)、備課與作業(yè)設(shè)計上，因為備課過程中必然涉及對例、習(xí)題的改編呈現(xiàn)，而不是“照本宣科”“照講義講題”，這時就會深入理解習(xí)題的深層結(jié)構(gòu)，習(xí)題考查或訓(xùn)練的重點，明辨難點，并有針對性地增設(shè)鋪墊式問題或成果擴大式的解讀.

2.考試命題考慮“時長”研判學(xué)情

考試命題不同于日常教學(xué)設(shè)計中的例、習(xí)題的變式改編，或者作業(yè)設(shè)計中的成果擴大式的改編與追問.因為考試是限時獨立完成，不是課堂上可以有學(xué)生分組的討論、全班交流研究、教師的適時和相機點撥，而且目前初中階段的考試題量大、時間緊，有些所謂的好題（特別是占版面很大的研究性習(xí)題就不太適合選用），學(xué)生并不是解答不出來，很多情況下是因為前面的題量大、運算量大，到了最后的兩道大題，絕大多數(shù)學(xué)生都沒有時間去“看一眼”，這種試題安排在試卷上往往達(dá)不到診評、區(qū)分或選拔的效果，是值得很多命題者反思的.