反思探究升華思維，歸納猜想凸顯本質(zhì)
——兼談中考復(fù)習(xí)的習(xí)題教學(xué)

☉浙江省新昌縣南瑞實(shí)驗(yàn)學(xué)校 張建國

數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)的習(xí)題教學(xué)一直是備受教師關(guān)注、值得研究的一個(gè)課題，怎樣才能在習(xí)題教學(xué)課堂中做到既能復(fù)習(xí)所學(xué)的知識，掌握中考所關(guān)注的知識點(diǎn)，又能激發(fā)學(xué)生探究的熱情，開闊學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的解題技能呢？這需要我們不斷嘗試思考和實(shí)踐.本文以一道以一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖像為背景設(shè)計(jì)的代數(shù)與幾何的綜合題為例，談?wù)勗诹?xí)題的探究過程中，如何引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從不同的視角來反思問題的解決過程，抓住問題的本質(zhì)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)解題效益的最大化.

一、典型問題解析

（2017年廣東深圳）如圖1，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)（x＞0）交于點(diǎn)A（2，4）、B（a，1），與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、D.

（2）求證AD=BC.

解析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)（x＞0），可得m=8.

（2）由（1）的結(jié)論可求出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0）、（0，5）.

分別過點(diǎn)A、B作AE⊥y軸于點(diǎn)E，BF⊥x軸于點(diǎn)F，如圖2，所以點(diǎn)E（0，4）、F（8，0）.

AE=2，DE=1，BF=1，CF=2.

二、反思與猜想

第（1）問主要考查用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，從中我們不難發(fā)現(xiàn)：當(dāng)函數(shù)解析式中含有一個(gè)待定字母時(shí)，需要知道函數(shù)圖像上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，含有兩個(gè)待定字母時(shí)，則需要知道兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，這樣可以轉(zhuǎn)化為一元一次方程或二元一次方程組解決問題.

對于第（2）問，從計(jì)算過程中我們可以發(fā)現(xiàn)AE=CF=2，DE=BF=1，又∠AED=∠CFB=90°，顯然△CFB，所以AD=CB，根據(jù)等量代換我們可以進(jìn)一步推理得到：AC=BD.

一位數(shù)學(xué)家曾說過：學(xué)之道在于“悟”，可見在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的反思對于理解與掌握數(shù)學(xué)知識非常重要而且是必需的.只有通過反思，學(xué)生的思維才能真正啟動，思想才能得到升華，問題才能得到深化，經(jīng)過推理與猜想，才能把問題從特殊到一般進(jìn)行推廣.本題是以具體的一次函數(shù)圖像——直線與反比例函數(shù)圖像——雙曲線相交創(chuàng)設(shè)的一個(gè)數(shù)形結(jié)合問題情境中探究線段之間的相等關(guān)系的數(shù)學(xué)問題，解題的過程中體現(xiàn)出的解題思路是先確定函數(shù)的解析式，進(jìn)而確定直線與x軸、y軸的交點(diǎn)及與反比例函數(shù)的交點(diǎn)的坐標(biāo)，通過定量計(jì)算x軸、y軸上的線段CF、DE的長度和平行于y軸、x軸的線段BF、AE的長度，再借助勾股定理求得線段AD、BC的長度來證明的.辨證唯物主義告訴我們：人認(rèn)識事物的過程，是從具體到抽象，從個(gè)別特殊到一般，然后又用這一般的、共性的東西去研究新的個(gè)別的、特殊的事物，從而補(bǔ)充、豐富和發(fā)展對這種共同的本質(zhì)的認(rèn)識.任何特殊都包含著一般，一般存在于每一特殊之中.一般與特殊的這種辨證關(guān)系啟示我們，解題應(yīng)當(dāng)善于對問題從具體的、個(gè)別的入手獲得問題的結(jié)論和解決問題的方法，然后在其基礎(chǔ)上推廣猜想一般的結(jié)論，并進(jìn)行推理，證明猜想的正確性.

由此我們能否將上述特殊問題——引例的結(jié)論，進(jìn)行推廣猜想：一般的，一次函數(shù)y=kx+b的圖像（直線）與反比例函數(shù)的圖像的兩個(gè)交點(diǎn)及與x軸、y軸的交點(diǎn)所構(gòu)成的線段之間是否同樣具有上述關(guān)系呢？下面我們再來探究如下一個(gè)命題，學(xué)生便可以一目了然，給出肯定的回答.

（2017年江蘇徐州）如圖3，直線l交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，與反比例函數(shù)的圖像交于A、E兩點(diǎn)，AG⊥x軸于點(diǎn)G，S△AOG=3.

（1）求k的值；

（2）求證AD=CE；

（3）如圖4，若點(diǎn)E為平行四邊形OABC的對角線AC的中點(diǎn)，求平行四邊形OABC的面積.

解析：（1）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y）.

（2）思路1：證明兩條線段相等，通?？梢越柚切稳葋斫鉀Q，我們不妨構(gòu)造包含AD、CE在內(nèi)的兩個(gè)三角形，然后證明兩個(gè)三角形全等.為此分別過A、E兩點(diǎn)作y軸、x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)H、F，便可以獲得Rt△DHA、Rt△EFC，如圖5所示，下面證明這兩個(gè)三角形全等.

解法1：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)的解析式為，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，則其縱坐標(biāo)為.

解法2：以上同解法1，令y=0，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a+e，0），則CF=a+e-e=a.而AH=a，則AH=CF.又∠DHA=∠EFC=90°，∠DAH=∠ECF，則△DHA△EFC，則AD=CE.

思路2：借助中間媒介——a=b，b=c，則a=c來證明.

如圖6，過點(diǎn)E作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)H，交AG于點(diǎn)F，連接GH.

思路3：利用比例線段證明線段相等——若則a=b.

如圖7，分別過A、E兩點(diǎn)作y軸、x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)N、K，兩垂線相交于點(diǎn)M，再過點(diǎn)E作y軸的垂線EH，垂足為點(diǎn)H，交AG于點(diǎn)F.

由反比例函數(shù)k的幾何意義可知：

S矩形ONAG=S矩形OHEK=6，則S矩形HNAF=S矩形FEKG.則AN·AF=FE·EK.又AF=ME，F(xiàn)E=AM，則AN·ME=AM·EK，即

（3）解法1：由AG∥OD，可知

由點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，得CE=AE.

結(jié)合（2）的結(jié)論AD=CE，得AC=2AD.

則CG=2OG.又△ACG與△AOG等高，則S△ACG=2S△AOG=6.

則S△AOC=S△ACG+S△AOG=9.

又平行四邊形OABC的對角線把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形，則S平行四邊形OABC=2S△AOC=18.

解法2：如圖8，連接OB，過點(diǎn)E、B分別作EF⊥x軸、BP⊥x軸，垂足分別為點(diǎn)F、P.

又S△BCP=S△AOG=3，則S△OBC=9.

又平行四邊形OABC的對角線把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形，則S平行四邊形OABC=2S△OBC=18.

解題過程的反思：第（1）問考查學(xué)生對反比例函數(shù)解析式中k的幾何意義的探究，如圖9，若點(diǎn)P（x0，y0）是反比例函數(shù)上任意一點(diǎn)，則有x0·y0=k，即x0與y0的積必是一個(gè)定值.過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N，則PM=ON=｜y0｜，PN=OM=｜x0｜.故S△PMO=S△PNO=，此時(shí)S矩形PMON=｜x0｜·｜y0｜=｜k｜.這就是說，過雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸和y軸的垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積等于｜k｜，或以該點(diǎn)與垂足、坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形的面積等于｜，這是比例系數(shù)k的意義.

第（2）問探究兩條線段相等的問題，常見的證明思路是通過證明三角形全等來證明.思路1為此構(gòu)造了Rt△DHA、Rt△EFC，容易證明這兩個(gè)直角三角形相似，因此只要再證明有一條直角邊相等即可得出兩條線段相等，而說明直角邊相等則利用了解析法，即先用點(diǎn)A、E的坐標(biāo)求出直線CD的解析式，接著求出點(diǎn)D或點(diǎn)C的坐標(biāo)，最后借助坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)間距離完成證明.計(jì)算量較大，且涉及的字母較多，非一般的計(jì)算推理能力所企及，這是本思路一個(gè)難以逾越的鴻溝，所以造成多數(shù)學(xué)生雖有證明全等的欲望，卻半途而廢，形成的思路夭折.

思路2，怎樣想到轉(zhuǎn)化線段AD、CE使其都與GH發(fā)生關(guān)系，確是本思路的難點(diǎn)之一，通過說明GH∥CD是第二個(gè)難點(diǎn)，利用解析法計(jì)算出兩邊對應(yīng)成比例也是較為棘手的一個(gè)方面，所以本思路相對于思路1，學(xué)生更加感到困難.從所閱試卷答案來看，沒有發(fā)現(xiàn)學(xué)生證明的蹤跡.

至于思路3，不少學(xué)生想到了通過三角形相似，利用比例線段來證明，但推理路途崩潰，主要原因是沒有構(gòu)造出適當(dāng)?shù)南嗨迫切?，沒有巧妙地利用k的幾何意義得出S矩形HNAF=S矩形FEKG，進(jìn)而得到，造成比例線段中間比不能有效傳遞，思維受阻，同樣這種解法在考生的答卷中，僅有極少數(shù)學(xué)生獲得成功.從學(xué)生的答題情況看，這道題的信度和效度是不盡如人意的.

三、發(fā)現(xiàn)結(jié)論

由引例1、2我們發(fā)現(xiàn)：一次函數(shù)的圖像（直線）與反比例函數(shù)的圖像的一支的兩個(gè)交點(diǎn)，分別到直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)之間的距離相等.由于反比例函數(shù)圖像是雙曲線，由此我們不難聯(lián)想：任意一條直線與反比例函數(shù)圖像的兩支曲線的交點(diǎn)，到與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)之間的距離是否相等呢？答案是肯定的，證明過程留給讀者完成.

綜合引例1、2的結(jié)論及推廣猜想與證明，我們可以歸納出如下一個(gè)重要的正確命題：經(jīng)過反比例函數(shù)圖像上兩點(diǎn)的直線與兩坐標(biāo)軸相交，這兩點(diǎn)到不在同一坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)的距離相等.

四、教學(xué)啟示

上面習(xí)題的探究過程啟發(fā)我們在中考復(fù)習(xí)的習(xí)題教學(xué)過程中，應(yīng)精心挑選一些具有典型性、值得研究的中考試題作為例題，以學(xué)生原有的知識和經(jīng)驗(yàn)作為新知識的生長點(diǎn)，使設(shè)計(jì)的問題永遠(yuǎn)處于維果斯基提出的“學(xué)生最近發(fā)展區(qū)”.有意識地將原問題拓展延伸，引導(dǎo)學(xué)生從簡單的問題入手，通過對數(shù)學(xué)問題多角度、多層次、多方位的討論和思考，層層推進(jìn)，不斷揭示問題的本質(zhì)，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思，在學(xué)生具有親身感悟的基礎(chǔ)上，進(jìn)行突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的提煉和數(shù)學(xué)思想的概括.使學(xué)生在解題中學(xué)會解題，強(qiáng)化學(xué)生的思維能力，達(dá)到解題技能的游刃有余，學(xué)會以不變應(yīng)萬變.進(jìn)而使學(xué)生的認(rèn)知能力更上一層樓，為全面提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)課堂的有效教學(xué)添磚加瓦.