立足數(shù)學(xué)建構(gòu)，提高復(fù)習(xí)效率
——以“27.2相似三角形（復(fù)習(xí)課第1課時）”為例

☉湖北省利川市教學(xué)研究和教師培訓(xùn)中心 羅仁義

復(fù)習(xí)教學(xué)難，復(fù)習(xí)教學(xué)的整體設(shè)計更難.在新授課時，由于受教學(xué)時間的限制，我們不得不將數(shù)學(xué)整體知識拆分成幾個甚至十幾個課時進行教學(xué)，而學(xué)生在這一段時間內(nèi)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識是零散的，缺乏系統(tǒng)性.為了克服新授課時的弊端，復(fù)習(xí)教學(xué)必須及時，復(fù)習(xí)教學(xué)必須統(tǒng)籌設(shè)計.如果復(fù)習(xí)教學(xué)能使學(xué)生整體把握所學(xué)知識，建立學(xué)生自己的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，那么，這樣的復(fù)習(xí)教學(xué)一定能夠提高復(fù)習(xí)的效率.本文以利川市團堡初級中學(xué)龔志老師執(zhí)教的“27.2相似三角形（復(fù)習(xí)課第1課時）”為例，與同行探討基于建構(gòu)論的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)方法.

一、教學(xué)過程

1.復(fù)習(xí)引入

師生活動：

（1）構(gòu)建知識框圖（本課以對比表和對比圖的方式給出）.

表1

（2）在知識框圖的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生回顧和梳理知識點.

（3）學(xué)生結(jié)合圖表，敘述相似三角形判定定理.

（4）引導(dǎo)學(xué)生對知識進行回顧和梳理，回答不了的請看書后再回答.

教學(xué)點評：

（1）知識框圖由師生共同較快給出，讓學(xué)生從新的角度整體感知本節(jié)的知識點，避免知識的簡單重復(fù)，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu).

（2）通過全等三角形和相似三角形的對比，引導(dǎo)學(xué)生對知識進行回顧和梳理，復(fù)習(xí)相似三角形的定義、判定及性質(zhì)，比較新、舊知識的異同，促成新、舊知識間的正遷移.讓學(xué)生從記憶中提取知識，回答不了的看書后再回答，進一步理解、記憶相似三角形的相關(guān)知識.

2.問題探究

問題1：如圖2，要使△ABC與△ACD相似，需補充的條件是_________（只要寫出一種）.

師生活動：

（1）分析：已有∠A=∠A，要使△ABC與△ACD相似，可以添加一角相等或夾這角的兩邊對應(yīng)成比例.

（2）提問：怎樣添加與角有關(guān)的條件使三角形相似？怎樣添加與邊有關(guān)的條件使三角形相似？

（3）師生交流思考過程.

（4）學(xué)生獨立思考添加的條件及解題依據(jù).

教學(xué)點評：

（1）教師引導(dǎo)學(xué)生回顧已學(xué)知識，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)三角形相似的判定方法，形成新的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu).

（2）學(xué)生經(jīng)歷思考和解決開放問題的過程，逐步領(lǐng)會解決開放型問題的方法.

問題2：如圖3，一條直線分別與△ABC的邊AB和AC交于點D和E，請?zhí)砑右粋€條件，使△ABC與△ADE相似，有幾種添法？并說明理由.

師生活動：

（1）類比問題1的學(xué)習(xí)方法，引導(dǎo)學(xué)生分別從角和邊的角度添加條件，使兩三角形相似.

（2）學(xué)生先思考，然后小組討論，最后小組展示.

（3）學(xué)生回答添加的條件和證明的依據(jù)，教師做相應(yīng)的點評和小結(jié).

教學(xué)點評：

（1）解決問題2時，讓學(xué)生再次對復(fù)習(xí)的知識進行回顧，有利于進一步鞏固復(fù)習(xí)的知識.

（2）類比問題1分析問題2，找到添加不同的條件使三角形相似的多種方法，復(fù)習(xí)三角形相似的判定方法.引導(dǎo)學(xué)生利用多種方法判定三角形相似，體會方法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力.

3.典型例題

例1在△ABC中，D、E分別是AB、AC反向延長線上的點，BC∥DE，求證：AB·AE=AC·AD.

師生活動：

（1）審題.分析題目中的已知條件和隱含條件，明確要求解答的問題.

（2）厘清解題思路.師生互動共同歸納：要證明AB·AE=AC·AD，先把等積式變?yōu)楸壤?要證明比例式，就是要證明三角形相似，而由平行可以得到三角形相似.

（3）寫出解題過程.學(xué)生獨立完成例1的解答，教師根據(jù)學(xué)生展示的解題過程，逐步規(guī)范解題格式.

（4）反思并總結(jié)解題方法.

教學(xué)點評：

（1）鞏固由平行得到三角形相似的判定方法，由三角形相似的性質(zhì)得到對應(yīng)線段成比例等知識點.

（2）師生共同分析，讓學(xué)生知道由已知條件獲取有用信息的方法，引導(dǎo)學(xué)生體會根據(jù)結(jié)論步步逆推，直至所需條件能與題中已知條件建立聯(lián)系的思維方法，進而獲得解題的思路，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

（3）教師根據(jù)學(xué)生展示的解題過程，規(guī)范解題的書寫格式，為學(xué)生后面的學(xué)習(xí)做示范.

（4）根據(jù)解決問題的一般過程，引導(dǎo)學(xué)生反思本題的解題過程，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.

例2如圖5，D為△ABC內(nèi)一點，E為△ABC外一點，且∠1=∠2，∠3=∠4.求證：

師生活動：

（1）學(xué)生舉手回答證明第（1）問.

（2）對于第（2）問，引導(dǎo)學(xué)生先找∠ABC=∠DBE，再找夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例，從而證明三角形相似.

（3）學(xué)生寫出證明過程.

教學(xué)點評：

（1）在例1的基礎(chǔ)上，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，讓學(xué)生體會證明“旋轉(zhuǎn)型”三角形相似的方法，復(fù)習(xí)三角形相似的判定和性質(zhì).

（2）證明第（1）問的條件容易找到，證明第（2）問的條件較難發(fā)現(xiàn).證明第（2）問要利用證明第（1）問所得對應(yīng)線段的比例式，交換兩內(nèi)項（或外項）得到新的對應(yīng)線段的比例式，這也是在證明相似三角形的過程中尋找條件時常用的方法.例2的難度逐漸加大，讓學(xué)生“跳一跳，摘到桃”，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

例3如圖6，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高.

（1）圖中有幾個直角三角形？

（2）圖中有哪幾對相似三角形？找出其中一對并加以證明；

（3）若AB=10cm，BC=4cm，求BD的長.

師生活動：

（1）先由學(xué)生參照例1和例2，分析本題的解題思路，然后由學(xué)生獨立完成，再由小組交流，最后由學(xué)生代表展示解題步驟.教師在此過程中注意引導(dǎo).

（2）在此題中，教師要注意強調(diào)相似三角形對應(yīng)的頂點要寫在對應(yīng)的位置.

教學(xué)點評：

（1）進一步訓(xùn)練證明三角形相似的思路和方法，提高學(xué)生分析和解決問題的能力.

（2）利用三角形相似的知識解決數(shù)學(xué)問題，體現(xiàn)知識的應(yīng)用價值.

（3）回顧解題思路，總結(jié)解題方法，提升分析問題和解決問題的能力.

4.課堂監(jiān)測：

如圖7，等邊△ABC的邊長為3，P為BC上一點，且BP=1，D為AC上一點，∠APD=60°.

（2）求CD的長.

教學(xué)點評：

學(xué)生獨立完成，檢查復(fù)習(xí)效果，為復(fù)習(xí)課第2課時的教學(xué)做鋪墊.

5.課堂小結(jié)

師生活動：你學(xué)到了什么？

（1）說說三角形相似的判定和性質(zhì).

（2）你是如何找出并證明兩個三角形相似的？

（3）說說幾種相似的基本圖形，并說說如何運用相似三角形的判斷和性質(zhì)解決問題.

（4）談?wù)劷鉀Q問題的主要步驟有哪些.

教學(xué)點評：

通過對相似三角形知識的再次梳理，有利于學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)呈螺旋式結(jié)構(gòu)發(fā)展；通過對解題思路的分析和敘述，有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和推理論證能力；通過對解題方法和過程的回憶，有利于學(xué)生積累解決問題的方法；通過對解題步驟的歸納和總結(jié)，有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

二、教學(xué)立意的進一步闡釋

1.基于數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，積極引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)

如何上好數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課？這是教師一直感到困惑的教學(xué)問題，原因在于很容易把復(fù)習(xí)課上成“炒現(xiàn)飯”式的簡單重復(fù)課，這樣的課學(xué)生覺得淡而無味，教師也感到毫無新意，更重要的是難以達到“鞏固提高”的復(fù)習(xí)教學(xué)目標.本課的教學(xué)設(shè)計，特別是“復(fù)習(xí)引入”部分基于建構(gòu)教學(xué)理論的設(shè)計，讓我們看到了復(fù)習(xí)教學(xué)的有效途徑和策略——教師從新、舊知識間的區(qū)別和聯(lián)系入手，基于建構(gòu)的教學(xué)設(shè)計，這樣的復(fù)習(xí)課具有了新的內(nèi)涵；學(xué)生從整體出發(fā)自主復(fù)習(xí)已學(xué)知識，進一步理解知識的本質(zhì)，這樣的復(fù)習(xí)課具有了新的意義；學(xué)生從新的角度去比較和思考已學(xué)知識，建立自己的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，這樣的復(fù)習(xí)課具有了新的高度.

2.注重復(fù)習(xí)的及時性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

當新學(xué)知識積累到一定量的時候，有計劃地組織復(fù)習(xí)教學(xué)是必須的，按認知理論的觀點，復(fù)習(xí)應(yīng)貫穿于學(xué)習(xí)過程的始終.本節(jié)課是“27.2相似三角形”的復(fù)習(xí)課，通過相似三角形與全等三角形相關(guān)知識的對比，巧妙地促成了知識間的正遷移，既復(fù)習(xí)了三角形相似的判定和性質(zhì)，又進一步鞏固了三角形全等的相關(guān)知識.學(xué)生先后學(xué)習(xí)的知識得以重新建構(gòu)，有利于優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.引導(dǎo)反思解題過程，力爭做到舉一反三

在典型例題的教學(xué)中，重點強調(diào)解題的思路和方法.分析思路時，除綜合分析方法外，直觀猜想、逆向分析、合情推理等也是行之有效的分析方法，能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的品質(zhì).問題解決后，引導(dǎo)學(xué)生回顧解題過程，讓學(xué)生總結(jié)和體會解題的一般步驟：審清題意—分析解題的思路—寫出解題過程—反思并總結(jié)解題方法，體現(xiàn)了解決問題的一般規(guī)律.