研磨知識(shí)體系，提升復(fù)習(xí)思維
——也談初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)的教學(xué)實(shí)效

☉浙江省湖州市南潯區(qū)南潯錦繡實(shí)驗(yàn)學(xué)校 孔傳輝

初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)是畢業(yè)班教學(xué)的一個(gè)重要階段，是學(xué)生再學(xué)習(xí)、再創(chuàng)造的過(guò)程，也是全面提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)，發(fā)展學(xué)生思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的“收獲季節(jié)”.在總復(fù)習(xí)中通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，精選典型中考題型，歸納數(shù)學(xué)思想方法，設(shè)計(jì)分層鞏固練習(xí)，積累數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，每一節(jié)課都覺(jué)得時(shí)間緊，任務(wù)重.如何針對(duì)不同復(fù)習(xí)內(nèi)容選擇合理的復(fù)習(xí)方法，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段，精選優(yōu)質(zhì)的習(xí)題，使不同層次的學(xué)生都能主動(dòng)參與，有所收益，真正達(dá)到夯實(shí)基礎(chǔ)、查缺補(bǔ)漏、拓展提高呢？下面我從構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)框架，合理選題方面淺談本人的幾點(diǎn)探索.

一、自主梳理知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，知識(shí)點(diǎn)的掌握是首要的，也是關(guān)鍵的，它是解題之源、思維之本.初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)目標(biāo)是回顧、理順舊知，更好地形成知識(shí)體系，使得知識(shí)結(jié)構(gòu)更清晰化、系統(tǒng)化.知識(shí)的構(gòu)建不是簡(jiǎn)單的敘述或列舉，更不是知識(shí)、方法的簡(jiǎn)單重復(fù)，而應(yīng)是學(xué)生自主建構(gòu)、不斷更新、持續(xù)生長(zhǎng)知識(shí)的過(guò)程.

（一）妙用板塊形式梳理，清晰創(chuàng)建知識(shí)結(jié)構(gòu)

在梳理知識(shí)時(shí)，傳統(tǒng)的做法是以教師講為主，通常是知識(shí)點(diǎn)回顧，一一羅列出，耗時(shí)費(fèi)力、學(xué)生較為被動(dòng)，而學(xué)生掌握的更多的是零散、瑣碎的知識(shí).而引導(dǎo)學(xué)生厘清知識(shí)，自主創(chuàng)建知識(shí)小板塊可更好地促發(fā)學(xué)生的參與感.當(dāng)知識(shí)點(diǎn)較多時(shí)，教師可布置預(yù)學(xué)任務(wù)單，讓學(xué)生根據(jù)要求，先在課外整理，再在課堂上交流.

案例1：在“二次函數(shù)”的復(fù)習(xí)中可形成如下的知識(shí)板塊：

（1）概念：形如y=ax2+bx+c（a≠0）.

（3）二次函數(shù)的平移規(guī)律拓展到軸對(duì)稱(chēng)與旋轉(zhuǎn)變換（著重頂點(diǎn)與開(kāi)口的變化）.

（4）求拋物線(xiàn)的解析式（根據(jù)條件靈活選擇）.

①一般式：y=ax2+bx+c；②頂點(diǎn)式：y=a（x+h）2+k；③交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2）.

（5）二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：以板塊的形式提煉出二次函數(shù)的主要內(nèi)容，以結(jié)構(gòu)化的形式明晰知識(shí)，有效地促進(jìn)學(xué)生的知識(shí)建構(gòu)，有助于學(xué)生把二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)融會(huì)貫通.

（二）活用思維導(dǎo)圖創(chuàng)構(gòu)，優(yōu)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系

心理學(xué)家認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重就是給學(xué)生建立一個(gè)數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu).知識(shí)的總結(jié)，尤其一章內(nèi)容的總結(jié)，需建立知識(shí)結(jié)構(gòu)框架，在確定好復(fù)習(xí)內(nèi)容后，根據(jù)復(fù)習(xí)目標(biāo)，通過(guò)讓學(xué)生（獨(dú)立或小組合作）繪制思維導(dǎo)圖，使其參與知識(shí)的構(gòu)建，提高效率的同時(shí)，養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣.

案例2：在“四邊形性質(zhì)與判定”這節(jié)課的復(fù)習(xí)中，教師可以將需要復(fù)習(xí)的概念羅列清楚，厘清各個(gè)概念之間的關(guān)系，讓學(xué)生提前利用思維導(dǎo)圖來(lái)構(gòu)建知識(shí)框架，使得四邊形內(nèi)容更加系統(tǒng)化和層次化.圖2和表1是兩名學(xué)生整理的四邊形判定與性質(zhì)的思維導(dǎo)圖：

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)小組合作，用思維導(dǎo)圖的形式表征復(fù)習(xí)內(nèi)容，別出心裁，增強(qiáng)了參與感，歸納知識(shí)點(diǎn)，更加直觀(guān)，有利于記憶與理解.

表1

（三）巧用串問(wèn)以線(xiàn)帶點(diǎn)，聯(lián)動(dòng)突出知識(shí)主線(xiàn)

一般可采用一條或幾條主線(xiàn)把知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，使知識(shí)由點(diǎn)到線(xiàn)，再由線(xiàn)到面.例如“實(shí)數(shù)”的復(fù)習(xí)，概念多，較零碎，可找準(zhǔn)主線(xiàn)，引導(dǎo)聯(lián)系.可以數(shù)軸這個(gè)知識(shí)為主線(xiàn)：數(shù)軸給我們提供了哪些信息？通過(guò)數(shù)軸你能聯(lián)系到哪些知識(shí)點(diǎn)？（強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想方法）（相反數(shù)、絕對(duì)值、實(shí)數(shù)的分類(lèi)、有理數(shù)大小比較……）

這個(gè)環(huán)節(jié)的復(fù)習(xí)目的是讓學(xué)生全面、系統(tǒng)掌握初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，力求全面、扎實(shí)、系統(tǒng)，使學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容形成一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系.“過(guò)三關(guān)”：過(guò)記憶關(guān)，過(guò)基本方法關(guān)，過(guò)基本技能關(guān).

二、精選例題，建構(gòu)思維

精心選題是上好復(fù)習(xí)課的重要一環(huán)，選題得當(dāng)事半功倍，否則勞而無(wú)功，達(dá)不到預(yù)期的目的，因此教師應(yīng)結(jié)合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》《考試說(shuō)明》，從提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力出發(fā)，以課例、中考試題、學(xué)生錯(cuò)題典例為生長(zhǎng)點(diǎn)，形成生長(zhǎng)鏈，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)從知識(shí)的內(nèi)化到能力的遷移、升華.

（一）立足教材，注重例題變式的精選——引導(dǎo)生長(zhǎng)點(diǎn)

源于教材，活用教材，很多例題具有科學(xué)性、示范性、導(dǎo)向性，而且教材中的例題有規(guī)范的解答過(guò)程，控制了教材的深度和知識(shí)的輻射范圍.立足教材的基礎(chǔ)，同時(shí)挖掘一些典型例題的內(nèi)涵與外延，就是注重例題的改編與變式，讓學(xué)生在已有的基礎(chǔ)上進(jìn)行思考與衍生.

案例3：（浙教版八上）如圖3，已知點(diǎn)C為線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，△ACM和△BCN是正三角形.求證：AN=BM.

（1）將△CNB繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°、120°、180°（如圖4、圖5、圖6），AN和BM相等嗎？為什么？

（2）如果正三角形換成正方形（如圖7），AN與BM有什么關(guān)系？

（3）如果A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，在AC、BC上向外作正三角形或正方形（如圖8、圖9），這時(shí)AN與BM又有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)“形變擴(kuò)思”，以“形”設(shè)疑，以“形”引思，以“形”促思，除了能提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，圖形的多次演變，還將促使學(xué)生的思維活躍、擴(kuò)展，在信息的多次變化中，引導(dǎo)學(xué)生思維的生長(zhǎng)點(diǎn).

（二）著眼中考，注重改編精選考題——拓展發(fā)散點(diǎn)

初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)堅(jiān)持以課標(biāo)為主線(xiàn)，以考試說(shuō)明為根本，中考數(shù)學(xué)試題往往具有較強(qiáng)的熱點(diǎn)性、導(dǎo)向性、典型性，很多題目的設(shè)計(jì)都堅(jiān)持了能力立意，將數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、技能和數(shù)學(xué)思想有機(jī)結(jié)合起來(lái).精選中考試題，解析建模，應(yīng)用遷移，通過(guò)改編例題，以期舉一反三.

案例4：【模型建立】

（1）如圖10，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線(xiàn)ED經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥ED于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥ED于點(diǎn)E.求證：△BEC△CDA.

【模型應(yīng)用】

（2）如圖11，一次函數(shù)y=-2x+2的圖像與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作線(xiàn)段BC⊥AB且BC=AB，直線(xiàn)AC交x軸于點(diǎn)D.

①求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出直線(xiàn)AC的函數(shù)關(guān)系式；

②若點(diǎn)Q是圖11中坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A、D、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)三垂直的全等三角形這一基本模型生長(zhǎng)問(wèn)題，進(jìn)一步拓展到函數(shù)圖像中求點(diǎn)的坐標(biāo)，讓學(xué)生積累識(shí)別、應(yīng)用模型的經(jīng)驗(yàn)，理解問(wèn)題本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)化歸思想.

（三）析錯(cuò)糾誤，注重錯(cuò)題精選典例——明晰錯(cuò)誤點(diǎn)

引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)作業(yè)中建立錯(cuò)題檔案.要求學(xué)生準(zhǔn)備錯(cuò)題本，收集摘錄平時(shí)作業(yè)、測(cè)驗(yàn)中經(jīng)常性出錯(cuò)的題目和給自己留下深刻印象的錯(cuò)題，建立錯(cuò)題檔案.對(duì)于每道錯(cuò)題，都要分析錯(cuò)誤原因，列出正確的解法，并且得到體驗(yàn)和啟發(fā).表2是錯(cuò)題本的模板.

表2

摘用學(xué)生錯(cuò)題時(shí)，通常選取同一解法中同一知識(shí)點(diǎn)的不同錯(cuò)題，也注重選擇比較典型的題目，一題多解的各種解法及對(duì)解法進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)，通過(guò)討論和評(píng)析，互相學(xué)習(xí)他們的經(jīng)驗(yàn)和方法，進(jìn)行對(duì)比分析，舉一反三，觸類(lèi)旁通，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵與外延的理解，提煉數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

解題時(shí)應(yīng)讓學(xué)生掌握概念的實(shí)質(zhì)，嚴(yán)格審題，周密思考，訓(xùn)練思維的嚴(yán)密性.

案例5：（1）若關(guān)于x的分式方程有一個(gè)正數(shù)解，則k的取值范圍是______.

分析：先解方程得x=6-k.因?yàn)閤＞0，所以k＜6.x≠3這個(gè)條件很容易被忽略.

（2）已知函數(shù)y=（m-1）x2-2mx+4.證明：不論m取何值，此函數(shù)總與x軸相交.

分析：對(duì)二次函數(shù)來(lái)說(shuō)，a≠0的條件至關(guān)重要，不可忽視.但第（2）題未強(qiáng)調(diào)是二次函數(shù)，應(yīng)分m-1=0和m-1≠0兩種情況討論求解.

設(shè)計(jì)意圖：以上兩例說(shuō)明不掌握數(shù)學(xué)概念的實(shí)質(zhì)，命題結(jié)論成立的條件、適應(yīng)范圍，運(yùn)用時(shí)就容易產(chǎn)生錯(cuò)誤，在復(fù)習(xí)中，教師要有意識(shí)地設(shè)計(jì)一些類(lèi)似的“陷阱”，以訓(xùn)練學(xué)生思維的嚴(yán)密性.

三、反思提煉，升華思維

反思是一條能夠有效地使學(xué)生學(xué)習(xí)能力得到升華的途徑，失去了反思，也就失去了創(chuàng)造力，同時(shí)會(huì)陷入題海中，教師要通過(guò)題后小結(jié)、課堂小結(jié)用心地培養(yǎng)學(xué)生反思的良好習(xí)慣.

（一）課堂互動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生反思、內(nèi)化

課堂是教育教學(xué)工作的靈魂.課堂上的45分鐘是教師完成教學(xué)任務(wù)的主陣地，是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的前線(xiàn).課堂效率也決定著學(xué)生學(xué)習(xí)的效率.學(xué)生的反思往往不是與生俱來(lái)的，而是通過(guò)教師的教學(xué)及啟發(fā)，然后結(jié)合自己的主觀(guān)意識(shí)和自身的能力得到技能的提升.在課堂中，教師多結(jié)合習(xí)題給予指導(dǎo)，留出時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行反思，并對(duì)反思的結(jié)果進(jìn)行交流，教師給予補(bǔ)充，確實(shí)提升學(xué)生的概括能力、抽象能力、表達(dá)能力，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)構(gòu)建，使學(xué)生更好地把握課堂知識(shí)的全貌.

（二）典例解析生成中引導(dǎo)學(xué)生拓展提升

初三學(xué)生具備了一定的反思能力.有的自我反思意識(shí)較強(qiáng)，反思力較強(qiáng)，有的自我反思意識(shí)薄弱，反思力不足.所以在教學(xué)過(guò)程中，要有意識(shí)、有目的、有計(jì)劃地教給學(xué)生自我反思的方法，提供各種載體和平臺(tái)培養(yǎng)學(xué)生自我反思的能力，培養(yǎng)學(xué)生的反思性學(xué)習(xí)習(xí)慣，這不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且有助于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，其主要表現(xiàn)為：善于從多方面、多角度、不依常規(guī)地去思考問(wèn)題、發(fā)散思維，善于多方探求，對(duì)于一個(gè)問(wèn)題，能通過(guò)聯(lián)想、類(lèi)比、遷移，獲得解題的方向，尋求解決問(wèn)題的最佳方案，從而自主提高自己的綜合素質(zhì)，挖掘自己的潛能，不斷提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例6：在專(zhuān)題復(fù)習(xí)圖形的折疊問(wèn)題時(shí)，可以說(shuō)2017年金華中考第23題非常經(jīng)典，如圖12，將△ABC紙片沿中位線(xiàn)EH折疊，使點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D落在BC邊上，再將紙片分別沿等腰△BED和等腰△DHC底邊上的高線(xiàn)EF、HG折疊，折疊后的三個(gè)三角形拼合形成一個(gè)矩形.類(lèi)似地，對(duì)多邊形進(jìn)行折疊，若翻折后的圖形恰能拼合成一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的矩形，這樣的矩形稱(chēng)為疊合矩形.

（1）將?ABCD紙片按圖13所示的方式折疊成一個(gè)疊合矩形AEFG，則操作形成的折痕分別是線(xiàn)段________、________；S矩形AEFG：S?ABCD=________.

（2）ABCD紙片還可以按圖14所示的方式折疊成一個(gè)疊合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的長(zhǎng).

（3）如圖15，四邊形ABCD紙片滿(mǎn)足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10.小明把該紙片折疊，得到疊合正方形.請(qǐng)你幫助畫(huà)出疊合正方形的示意圖，并求出AD、BC的長(zhǎng).

問(wèn)題1：折疊問(wèn)題中首要抓住什么？重疊的是哪些圖形？

問(wèn)題2：要折成正方形，有什么折法？小組合作并展示.

兩種折法：如圖16與17.

設(shè)計(jì)意圖：本題是由較為常見(jiàn)的折紙而引入的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)折痕的不斷變化，從特殊到一般，從而生長(zhǎng)成層次性較強(qiáng)的問(wèn)題鏈，形成思維場(chǎng)，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生抓住基本支架——折疊后的等量，從不同視角（勾股定理、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例）建立方程，再結(jié)合示例動(dòng)手操作得到正方形，感悟數(shù)學(xué)思想的靈動(dòng)，促進(jìn)思維的迸發(fā).

本例講述完后，讓學(xué)生點(diǎn)評(píng)悟與得，幾何好像推理斷案，從基本圖形中找到蛛絲馬跡，合并條條線(xiàn)索，通過(guò)層層剖析，由淺入深，自現(xiàn)象而本質(zhì)，從具體而抽象，一步步深入思考和探究，做出科學(xué)的推理和正確的判斷，培養(yǎng)了思維的邏輯性，鍛煉探索問(wèn)題的能力，從而產(chǎn)生“深者得其深，淺者得其淺”的效果.數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課不僅僅是刷題的程序化教學(xué)，更多的是激發(fā)學(xué)生思考、拓展學(xué)生思維的師生互動(dòng)教學(xué).

教學(xué)實(shí)踐表明，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)框架，精心選題，反思提煉是提高復(fù)習(xí)質(zhì)量的保障，三者缺一不可.在初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中，把分散的知識(shí)點(diǎn)連成線(xiàn)、結(jié)成網(wǎng)，使所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、條理化，挖掘教材，夯實(shí)基礎(chǔ)是根本；精選習(xí)題，提質(zhì)減負(fù)是核心；強(qiáng)化訓(xùn)練，發(fā)展能力是目的.反思總結(jié)，深化思維，關(guān)注知識(shí)關(guān)聯(lián)生長(zhǎng)，只有這樣，才能以不變應(yīng)萬(wàn)變，以一題帶一片，融會(huì)貫通，開(kāi)發(fā)學(xué)生的思維空間，真正提高學(xué)生的綜合能力及水平，提高初三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)的針對(duì)性和實(shí)效性.