開拓學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想
——以二次函數(shù)的圖像為案例

☉浙江省桐廬縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 周建洪

初三學(xué)生已經(jīng)有了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但是數(shù)學(xué)思想的構(gòu)建仍然是一大難點(diǎn).回憶自己的中學(xué)階段，數(shù)學(xué)教材分為《代數(shù)》、《幾何》、《三角函數(shù)》，當(dāng)時(shí)的學(xué)習(xí)情境歷歷在目，各部分內(nèi)容都是孤立的體系，教師也很少“灌輸”數(shù)學(xué)思想，試題的知識(shí)點(diǎn)也是無滲透的.現(xiàn)如今筆者成為一名教育工作者，對(duì)教數(shù)學(xué)有了深刻的理解：教給學(xué)生的是數(shù)學(xué)的思想方法，是數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng).

一、對(duì)數(shù)、形的理解是課堂教學(xué)的前提條件

近來授課的內(nèi)容是“二次函數(shù)的圖像”，是學(xué)習(xí)過二次函數(shù)的概念之后的一節(jié)內(nèi)容，知識(shí)內(nèi)容就是代數(shù)向幾何的滲透，是數(shù)形結(jié)合思想的真實(shí)展現(xiàn).作為這節(jié)課的集體備課中心發(fā)言人，筆者有著渲染“數(shù)學(xué)思想”義不容辭的責(zé)任.在研究過程中筆者提出了三個(gè)觀點(diǎn)：

第一，二次函數(shù)是一種自變量與函數(shù)對(duì)應(yīng)的關(guān)系，按照教材的設(shè)計(jì)，可以讓學(xué)生在課堂上完成最簡單的二次函數(shù)y=x2，在x的取值范圍內(nèi)列出函數(shù)對(duì)應(yīng)值表：

表1

第二，讓學(xué)生建立直角坐標(biāo)系（準(zhǔn)備好坐標(biāo)紙），在直角坐標(biāo)系中將相應(yīng)的點(diǎn)標(biāo)出來，然后用光滑的曲線連接起來.將數(shù)標(biāo)成對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，繪成二次函數(shù)圖像，這正是數(shù)形結(jié)合思想，在課堂教學(xué)中對(duì)初中生傳遞這樣的思想，有利于他們數(shù)學(xué)的能力發(fā)展和素質(zhì)的提升.

第三，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的圖像的具體特點(diǎn)，引出拋物線的概念、拋物線的頂點(diǎn)的概念和拋物線開口的方向等.在課堂上，必須讓學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的圖像的具體特點(diǎn)，預(yù)設(shè)具有針對(duì)性的課堂填空練習(xí).通過拋物線的基本特征讓學(xué)生由形轉(zhuǎn)化為數(shù)，明確拋物線上的任一點(diǎn)如頂點(diǎn)等都是滿足二次函數(shù)表達(dá)式的，也就是說，在拋物線圖像上取兩個(gè)點(diǎn)代入二次函數(shù)的一般表達(dá)式，就可以得出函數(shù)表達(dá)式.學(xué)生經(jīng)過反復(fù)敲打錘煉，數(shù)學(xué)思想就會(huì)潛移默化，就會(huì)成為素質(zhì).

筆者的建議很快得到了學(xué)科組教師的認(rèn)為.大家一致認(rèn)為，從“數(shù)”出發(fā)，拓展到“形”，是一種無形成為有形的過程；從“形”出發(fā)，回歸到“數(shù)”，是一種有形成為無形的過程，這都是數(shù)學(xué)最基本的思想方法.形成數(shù)形轉(zhuǎn)換的思想方法是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，如果在這方面有所缺失，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)就是一些孤立的碎片，就無法完善他們數(shù)學(xué)思維的學(xué)科素養(yǎng).

二、創(chuàng)設(shè)數(shù)形轉(zhuǎn)換的情境是拓展課堂教學(xué)的引燃劑

如何在“二次函數(shù)的圖像”教學(xué)過程中引出數(shù)形結(jié)合的思想呢？筆者提出了自己的看法.在課堂上創(chuàng)設(shè)一個(gè)將二次函數(shù)與圖像緊密結(jié)合在一起的生活實(shí)際問題情境，從抽象的函數(shù)式轉(zhuǎn)換為直觀的圖像，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為課堂的學(xué)習(xí)探究奠定扎實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ).

在集體備課組討論課堂情境創(chuàng)設(shè)這一點(diǎn)上，有的教師認(rèn)為開門見山是司空見慣的一種做法，可以不創(chuàng)設(shè)；有的教師則認(rèn)為先復(fù)習(xí)二次函數(shù)概念，再導(dǎo)入新課；也有教師和筆者同感，認(rèn)為情境創(chuàng)設(shè)是一種組織課堂教學(xué)的形式，是引導(dǎo)學(xué)生在課堂上對(duì)知識(shí)進(jìn)行探究拓展的出發(fā)點(diǎn)，是厚積薄發(fā).如介紹大多數(shù)橋梁是根據(jù)二次函數(shù)的圖像設(shè)計(jì)的，在課堂上展示一些橋梁圖片，如圖1.

圖1

學(xué)生一定會(huì)提出質(zhì)疑，為什么說這些橋梁與二次函數(shù)的圖像有關(guān)系呢？二次函數(shù)的圖像又是怎樣的圖像呢？及時(shí)疏導(dǎo)尤為重要.可以讓學(xué)生自主作出二次函數(shù)y=x2與y=-x2的圖像.

第一步引導(dǎo)是列表：在x的取值范圍內(nèi)列出函數(shù)對(duì)應(yīng)值表：

表2

第二步引導(dǎo)是描點(diǎn)、連線、作圖，結(jié)果如圖2.

盡管初中生已經(jīng)對(duì)數(shù)從有理數(shù)、無理數(shù)等方面進(jìn)行了認(rèn)識(shí)，但對(duì)數(shù)與形的認(rèn)識(shí)還是很膚淺的，如果在學(xué)習(xí)二次函數(shù)圖像時(shí)教師用心引導(dǎo)，在導(dǎo)入新課之前創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生明確、吸納并能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法的情境，在課堂探究二次函數(shù)圖像的過程中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的步驟、解題方法等，何嘗不是激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)探究產(chǎn)生興趣的一種有效途徑呢？

圖2

三、動(dòng)手實(shí)踐，讓課堂成為學(xué)生勤于思考的主戰(zhàn)場

在設(shè)計(jì)課堂例題時(shí)，筆者提出以教材例題為線，但例題必須是學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦的結(jié)果，學(xué)科組成員一致同意這個(gè)意見.但如何引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦，是獨(dú)立思考還是合作探究，則出現(xiàn)分歧.

教材中的例題1：已知二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-2，-3）.

（1）求a的值，并寫出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）說出這個(gè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、開口方向和圖像位置.

在集體備課的研討過程中，筆者對(duì)教材例題進(jìn)行了細(xì)致分析：題干給出的y=ax2（a≠0）是簡單二次函數(shù)的一般表達(dá)式，而圖像經(jīng)過點(diǎn)（-2，-3）體現(xiàn)的是形對(duì)應(yīng)數(shù)的思想，這正是例題第（1）問要解決的問題；而第（2）問“說出這個(gè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、開口方向和圖像位置”則是由數(shù)轉(zhuǎn)形的思想.因此，例題有著代表性和實(shí)用性.

為了讓學(xué)生明確二次函數(shù)圖像在生活實(shí)際中的應(yīng)用，還建議預(yù)設(shè)搶答的形式處理一些課堂問題，看看如下案例：

某建筑工程師在1000米的河道上設(shè)計(jì)了一座拱橋，其高為15米，設(shè)計(jì)圖紙如圖3：

圖3

（1）拱橋的下沿是什么形狀？怎樣建立坐標(biāo)系？

（2）這條曲線的一般表達(dá)式是什么？

（3）你認(rèn)為該曲線經(jīng)過了什么點(diǎn)？

（4）寫出該曲線的函數(shù)式.

設(shè)計(jì)這類練習(xí)的目的在于對(duì)例題進(jìn)行變式和拓展，學(xué)生在例題的基礎(chǔ)上進(jìn)行搶答，既渲染了課堂氣氛，解決了初中生由于課堂時(shí)間過長而引起的倦怠，同時(shí)鞏固了學(xué)生所學(xué)新知，體驗(yàn)了數(shù)形轉(zhuǎn)換思想在生活實(shí)際中的應(yīng)用.

有的教師提出，學(xué)生動(dòng)手還可以采用教材中的課內(nèi)練習(xí)，這當(dāng)然是可以實(shí)施的.但筆者認(rèn)為，教材的課內(nèi)練習(xí)與生活實(shí)際還是有差距的，學(xué)生的練習(xí)仿佛純理論的東西，不利于學(xué)生開闊視野，結(jié)合生活實(shí)際才能讓學(xué)生更感興趣，有決心去挑戰(zhàn)自己的極限，用數(shù)學(xué)的眼光看世界.在各抒己見的集體備課活動(dòng)中，有爭議是難免的.教材編寫專家自有道理，而讓學(xué)生的激情迸發(fā)出來是教師應(yīng)具有的專業(yè)素養(yǎng)，是教師駕馭課堂的能力.這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)還是因人而異吧，不再評(píng)價(jià)各位教師預(yù)設(shè)的好壞，還是讓課堂實(shí)踐給出證明吧.

還有一個(gè)課后環(huán)節(jié)需要簡單地說明一下，那就是課后練習(xí)，是課堂知識(shí)的延伸，教材習(xí)題就很不錯(cuò)，也可以補(bǔ)充兩道近年來的中考試題.

總之，這次集體備課給了筆者一個(gè)中心發(fā)言的機(jī)會(huì)，也可以說是因此再提升教育教學(xué)能力的機(jī)會(huì).沒有過程的辨析，就沒有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的升華.筆者在集體備課時(shí)也只不過將數(shù)形結(jié)合思想娓娓道來，而初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想如繁星滿天.數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生在二次函數(shù)圖像問題中解題的基本點(diǎn)，唯有教師在課堂上靈活地“灌輸”數(shù)形結(jié)合思想，才能激發(fā)出學(xué)生數(shù)學(xué)思維的潛能，才能幫助學(xué)生開拓?cái)?shù)學(xué)領(lǐng)域知識(shí)素養(yǎng).