讓數(shù)學(xué)概念教學(xué)“慢”下來
——記一次“多邊形”的聽課、評(píng)課與再設(shè)計(jì)

☉江蘇省常熟市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 季葉紅

教研組的觀課研究是各校開展的一項(xiàng)常規(guī)教研活動(dòng)，但有些學(xué)校因?yàn)榉N種原因，聽課、評(píng)課流于形式，開課質(zhì)量不高、評(píng)課也是“無話則短”，匆匆收?qǐng)?，讓參與觀課、研究的老師感到這種教研活動(dòng)的“無趣”，對(duì)于參與其中的青年教師來說，更加沒有得到應(yīng)有的專業(yè)提升.筆者最近參與一次校級(jí)聽、評(píng)課活動(dòng)，課后除了一些空話、贊歌式的點(diǎn)評(píng)，也聽到一些有質(zhì)量的商榷性建議，本文記錄這次教研活動(dòng)，并在活動(dòng)之后繼續(xù)開展教學(xué)研究.下面整理這次教研活動(dòng)的一些聽課手記、評(píng)課觀點(diǎn)及教學(xué)再設(shè)計(jì)，供分享和研討.

一、八年級(jí)“多邊形”聽課手記

說明：這是八年級(jí)上學(xué)期一節(jié)新授課，學(xué)生之前剛剛學(xué)過三角形的內(nèi)角和、外角性質(zhì)，教師引導(dǎo)學(xué)生類比三角形的概念歸納出多邊形的定義及相關(guān)概念（邊、角、對(duì)角線），接下來是研究多邊形的內(nèi)角和性質(zhì).

教學(xué)片段（一）多邊形內(nèi)角和性質(zhì)的教學(xué)

師：同學(xué)們復(fù)習(xí)一下三角形內(nèi)角和，再觀察圖1中的三個(gè)圖形：

課堂觀察：學(xué)生在老師的“引導(dǎo)”之下，很多對(duì)圖1中三個(gè)圖形（四邊形、五邊形、六邊形）內(nèi)角和都順利解決，并總結(jié)出多邊形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和的關(guān)系，從而歸納出多邊形內(nèi)角和公式.教學(xué)進(jìn)程推進(jìn)非常高效，學(xué)生似乎也學(xué)得很有興趣.

接著，教師安排三道練習(xí)題，檢測(cè)學(xué)生對(duì)于多邊形內(nèi)角和公式的理解及應(yīng)用情況.

對(duì)于直接應(yīng)用的題目，大部分學(xué)生能夠熟練應(yīng)用公式解決，但是對(duì)于稍有變化的題目，部分學(xué)生不能靈活變通，無法獨(dú)立解決.

教學(xué)片段（二）一道練習(xí)的學(xué)生講評(píng)

例題：如圖2，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù).

教學(xué)觀察：這一環(huán)節(jié)用去近10分鐘，學(xué)生紛紛積極參與（上臺(tái)講解不同解法的學(xué)生多達(dá)5人次），很多學(xué)生愿意把自己的方法分享給其他同學(xué)，學(xué)生共同合作學(xué)習(xí).不少“學(xué)困生”參與的熱情十分高漲，學(xué)生自主學(xué)習(xí)的熱情很高.

二、評(píng)課意見摘要

課后，參與聽課的老師進(jìn)行了評(píng)課，多數(shù)評(píng)課意見是貼標(biāo)簽式、唱贊歌式的“說好話”“空泛之談”，也有一些商榷意見，以下是幾種典型建議或觀點(diǎn).

觀點(diǎn)1：探究多邊形內(nèi)角和性質(zhì)時(shí)，可以放手讓學(xué)生用不同方法探究，而不是設(shè)計(jì)好流水線式問題，禁錮學(xué)生思維活躍的空間.這里可否引導(dǎo)學(xué)生嘗試多角度分割三角形？平面上只需再找一個(gè)點(diǎn)，就可以與多邊形的頂點(diǎn)構(gòu)成三角形.這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)體現(xiàn)了從特殊到一般的研究方法，讓學(xué)生找出從一個(gè)頂點(diǎn)引出對(duì)角線條數(shù)、分成三角形的個(gè)數(shù)、內(nèi)角和與邊數(shù)的規(guī)律.但是本課教學(xué)時(shí)直接就給出了探究多邊形內(nèi)角和的方法，即分成三角形，固化了學(xué)生的思維.學(xué)生在小學(xué)時(shí)對(duì)多邊形內(nèi)角和已經(jīng)有了一點(diǎn)了解，所以在初中階段應(yīng)該更加強(qiáng)調(diào)更高層次的證明.想起自己在這個(gè)內(nèi)容教學(xué)時(shí)的一些經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能想到的研究?jī)?nèi)角和的方法還是比較多的，比如，有的學(xué)生將五邊形分成了一個(gè)四邊形和一個(gè)三角形，有的學(xué)生想要用度量的方法等.這時(shí)指出學(xué)生所提出的研究方法的利弊之處，更有利于學(xué)生發(fā)散思維的形成和對(duì)內(nèi)角和證明方法的理解.

觀點(diǎn)2：在研究了多邊形內(nèi)角和之后可否追問：同學(xué)們還想研究多邊形的什么性質(zhì)？由內(nèi)而外學(xué)生會(huì)自然由上一課時(shí)給出的外角定義提出研究多邊形的外角和.這時(shí)候讓學(xué)生大膽猜測(cè)，然后小心求證，放手讓學(xué)生探究.

觀點(diǎn)3：這是一種典型的應(yīng)試教學(xué)下的習(xí)題課教學(xué)，屬于應(yīng)該拋棄的“一個(gè)定義，三項(xiàng)注意，大量練習(xí)”（章建躍語）教學(xué)方式.從定理教學(xué)或概念教學(xué)來看，應(yīng)該注意概念、定義的生成、歸納與證明，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的邏輯、理性精神，即理解“客從何處來”.

觀點(diǎn)4：這節(jié)課的備課要注意查閱、研習(xí)“教參”旁白、腳注上大量的說明，如類比、推廣、特殊到一般、從簡(jiǎn)單出發(fā)、化未知為已知等，這些都是具體細(xì)節(jié)處理時(shí)的立意.

三、多邊形教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)與教學(xué)建議

多邊形的教學(xué)值得研究和推敲，因?yàn)橐还?jié)課容量有限，學(xué)生需要學(xué)習(xí)什么，教師該把什么教給學(xué)生，把重點(diǎn)環(huán)節(jié)放在哪里，這些都非常關(guān)鍵.

1.明辨多邊形的教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

多邊形是接續(xù)在三角形之后學(xué)習(xí)的，所以它的生長(zhǎng)點(diǎn)在三角形.比如，三角形是按圖形定義、三角形要素（邊與角的關(guān)系）、三角形相關(guān)要素（如三角形中的重要線段，三角形外角，三角形的周長(zhǎng)與面積等）展開學(xué)習(xí)的，這是研究一個(gè)新圖形的基本套路.我們完全可以類比三角形學(xué)習(xí)的方法和重點(diǎn)，想清多邊形的教學(xué)重點(diǎn)也應(yīng)該是多邊形的定義、多邊形要素之間關(guān)系、多邊形相關(guān)要素之間的關(guān)系，并在這樣的路徑下漸次生長(zhǎng)、豐富知識(shí)結(jié)構(gòu)，而不是快速推進(jìn)，搞“一個(gè)定義、三項(xiàng)注意、大量習(xí)題”的教學(xué)方式，雖然上文記錄的習(xí)題教學(xué)片段也有學(xué)生精彩的表現(xiàn)，但那是多邊形后續(xù)習(xí)題課教學(xué)時(shí)可以有的課堂表現(xiàn)，不應(yīng)該成為多邊形新授課的教學(xué)重點(diǎn).

多邊形教學(xué)的難點(diǎn)則在新元素——對(duì)角線的介入，會(huì)引發(fā)很多新的功能或性質(zhì)，比如，在探究多邊形內(nèi)角和性質(zhì)時(shí)，對(duì)角線就起到很大的作用，成為有效轉(zhuǎn)化的重要工具；而多邊形對(duì)角線還涉及如何“有序”計(jì)數(shù)的方法滲透，這些都是多邊形教學(xué)中的難點(diǎn)，處理得當(dāng)，不但可讓學(xué)生對(duì)與對(duì)角線有關(guān)的知識(shí)有較深的理解，還能通過研究一個(gè)新的幾何對(duì)象的相關(guān)要素，使學(xué)生學(xué)會(huì)研究方法，并向?qū)W生傳遞“成果擴(kuò)大”的研究取向.

2.多邊形的學(xué)程導(dǎo)進(jìn)與操作建議

對(duì)于本節(jié)課，我們?yōu)槭裁匆芯慷噙呅蔚膬?nèi)角和與外角和？教師可以引導(dǎo)學(xué)生類比已學(xué)的三角形相關(guān)知識(shí)去思考這一部分的知識(shí)框架，從而明確學(xué)習(xí)目標(biāo).因此，第一個(gè)環(huán)節(jié)可以圍繞我們已經(jīng)學(xué)過三角形的哪些相關(guān)知識(shí)（定義、邊、角、“三線等”），思考對(duì)于多邊形我們已經(jīng)掌握了什么（定義、對(duì)角線、正多邊形等），還可以研究什么.這種對(duì)于知識(shí)體系的整體把握能夠培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探索的能力，對(duì)學(xué)生來說將是受益無窮的.

接下來，可以引導(dǎo)學(xué)生尋求一種方法歸納出多邊形的內(nèi)角和公式，作為工具方便使用.這個(gè)環(huán)節(jié)不可操之過急，問題的設(shè)計(jì)也應(yīng)該更具開放性.

因此，如圖3，有三個(gè)圖形，不添加對(duì)角線，學(xué)生小組進(jìn)行合作探究，看能否探討出方法.如果學(xué)生沒有思路，可以提示學(xué)生思考四邊形與三角形的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過分割的方法求出四邊形的內(nèi)角和，請(qǐng)一組學(xué)生展示完整探究過程，再請(qǐng)其他小組同學(xué)類比此方法，探究并歸納出多邊形內(nèi)角和的一般計(jì)算公式.

在學(xué)習(xí)得出四邊形內(nèi)角和之后，可以跟進(jìn)提問：如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么大小關(guān)系呢？你能證明嗎？通過剛才的探究過程，學(xué)生對(duì)于這個(gè)問題大致有兩種思路，第一種是延續(xù)前面的方法，連接對(duì)角線進(jìn)行分割；第二種方法是直接應(yīng)用多邊形內(nèi)角和公式.一方面，學(xué)生會(huì)加深對(duì)復(fù)雜圖形進(jìn)行分割研究的方法的理解；另一方面，可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)本節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)的熟練掌握及應(yīng)用.

課堂小結(jié)時(shí)，安排總結(jié)這節(jié)課我們是如何研究多邊形的，學(xué)到了什么內(nèi)容，又學(xué)到了哪些方法，對(duì)于多邊形后續(xù)還可以研究什么問題，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)，不光是知識(shí)的傳遞，也應(yīng)該是方法或套路的傳遞.