雙端固支石英振梁力頻系數(shù)與熱彈性品質(zhì)因數(shù)分析

李 村，韓 超，趙玉龍

（西安交通大學(xué)機(jī)械制造系統(tǒng)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710054）

0 引言

雙端固支石英振梁具有力頻特性,施加在振梁軸線方向上的力能夠改變振梁的振動(dòng)頻率,此特性被廣泛應(yīng)用于力傳感器、加速度傳感器、壓力傳感器等高精度諧振式傳感器中[1-3]。傳感器內(nèi)部通過(guò)彈性元件將加速度或壓力載荷等轉(zhuǎn)換為振梁的軸向力,改變其振動(dòng)頻率并將頻率變化輸出,實(shí)現(xiàn)被測(cè)載荷的準(zhǔn)數(shù)字式測(cè)量[4]。作為傳感器的敏感元件,雙端固支石英振梁的力頻系數(shù)和品質(zhì)因數(shù)Q值（Quality Factor）對(duì)傳感器的精度具有重要的影響[5]。

力頻系數(shù)指的是單位軸向力引起的振梁頻率的變化值,對(duì)傳感器的靈敏度具有重要的影響。當(dāng)振梁受到的軸向力相同時(shí),振梁的力頻系數(shù)越高,則傳感器的靈敏度越大。振梁的力頻系數(shù)是其固有特性,由振梁材料參數(shù)和特征尺寸決定。

諧振器的Q值是影響傳感器穩(wěn)定性和分辨率的重要參數(shù),諧振器的信噪比與諧振器的Q值成正比,高的品質(zhì)因數(shù)在頻譜特性中擁有更銳利的尖峰,對(duì)噪音的抑制能力亦越高。Q值與諧振器的具體阻尼形式有關(guān),包括振動(dòng)不平衡、阻尼黏度、聲輻射損耗等。當(dāng)諧振器在真空中封裝時(shí),空氣中的氣體分子變得非常稀薄,由振動(dòng)造成的振梁-氣體分析能量損耗可以忽略不計(jì),也就是說(shuō)氣體阻尼決定的品質(zhì)因數(shù)處于次要位置,此時(shí)影響諧振器品質(zhì)因數(shù)的主要因素是熱彈性阻尼。熱彈性阻尼表征振梁振動(dòng)時(shí),受拉/受壓部位產(chǎn)生的熱量不同,由此產(chǎn)生的熱流動(dòng)引起能量損失[6]。

本文從振梁力頻系數(shù)和熱彈性品質(zhì)因數(shù)的計(jì)算模型出發(fā),分析了兩者與振梁特征尺寸之間的關(guān)系,得出了兩者之間相互制約的結(jié)論及定量影響關(guān)系。建立了目標(biāo)優(yōu)化函數(shù),綜合表征了振梁力頻系數(shù)與熱彈性品質(zhì)因數(shù)的影響,并分析了設(shè)計(jì)傳感器時(shí)如何綜合考慮諧振器的力頻系數(shù)和熱彈性品質(zhì)因數(shù)。

1 雙端固支石英振梁工作原理

雙端固支石英音叉（QDETF）諧振器由兩個(gè)平行的石英振梁構(gòu)成,兩個(gè)石英振梁在同一平面內(nèi)反相振動(dòng),作用于兩個(gè)石英振梁根部的力和力矩相互抵消,從而減小石英音叉的固定連接端與外界的能量耦合,降低了諧振時(shí)的能量損耗,從而提高了諧振器的品質(zhì)因數(shù)。通過(guò)合理設(shè)計(jì)諧振梁上的電極分布,利用石英晶體的逆壓電效應(yīng)驅(qū)動(dòng)其諧振在預(yù)設(shè)模態(tài),雙端固支石英音叉的這種振動(dòng)激勵(lì)方式具有原理簡(jiǎn)單、抗干擾能力強(qiáng)、容易形成自激振蕩、易于檢測(cè)等優(yōu)點(diǎn)。

在石英振梁表面合理配置電極,利用石英晶體的壓電效應(yīng)激勵(lì)雙端固支石英音叉達(dá)到沿寬度方向的相反相位橫向彎曲振動(dòng)模態(tài)[7]。橫向彎曲振動(dòng)可以視作是兩個(gè)方向相反的伸縮振動(dòng)的組合,以中性面為界,振梁一半受拉伸,另一半受壓縮,如圖1所示。根據(jù)石英晶體的逆壓電效應(yīng),通過(guò)布置表面電極,只有晶體軸x方向電場(chǎng)E1才能驅(qū)動(dòng)石英音叉產(chǎn)生長(zhǎng)度y方向的伸縮振動(dòng),即E1為有效電場(chǎng)。而晶體軸y方向、z方向電場(chǎng)E2和E3均為無(wú)效電場(chǎng),無(wú)法激勵(lì)出長(zhǎng)度方向的伸縮變形。因而,為了產(chǎn)生彎曲振動(dòng),必須在xoy平面內(nèi)的中性面兩側(cè)產(chǎn)生大小相等、方向相反的有效電場(chǎng)E1和-E1。

圖1 雙端固支石英振梁電極分布及實(shí)物照片F(xiàn)ig.1 Electrode distribution and photographs of quartz double ended vibrating beam

通過(guò)有限元的壓電耦合分析方法可以仿真圖1所示的音叉在壓電驅(qū)動(dòng)力下的振動(dòng)模式,采用ANSYS 13.0命令流實(shí)體建模方法,單元選擇為具有20節(jié)點(diǎn)的SOLID226實(shí)體單元模型,仿真結(jié)果如圖2所示。音叉的幾何尺寸為：長(zhǎng) 3.7mm、寬0.09mm、厚0.1mm。由于石英晶體是各向異性材料,有限元分析中涉及晶體切型、電極、電場(chǎng)方向等矢量,因此石英晶體不能簡(jiǎn)化為各向同性材料,材料的機(jī)電參數(shù)采用數(shù)據(jù)表的形式輸入到有限元軟件中。

圖2 壓電耦合分析得到的音叉彎曲結(jié)果Fig.2 Piezoelectric coupling analysis results for the bending deformation of quartz tuning fork

2 力頻系數(shù)分析

采用雙端固支石英振梁作為敏感元件的傳感器在工作時(shí),被測(cè)量通過(guò)改變雙端固支石英音叉的軸向力來(lái)改變振梁的振動(dòng)頻率。如圖3所示,取音叉的其中一根梁作為分析對(duì)象,采用經(jīng)典的Euler-Bernoulli細(xì)長(zhǎng)梁理論,可以得到振梁一階固有頻率與軸向力的理論模型[8]。

由此,對(duì)于基頻振動(dòng),得到細(xì)長(zhǎng)梁受到軸向力時(shí)振動(dòng)頻率與一階固有頻率的關(guān)系

圖3 細(xì)長(zhǎng)梁受軸向力時(shí)的Euler-Bernoulli模型Fig.3 Euler-Bernoulli model when the slender beam is subjected to axial force

式（1）中,f0為不受軸向力作用時(shí)梁的一階固有頻率,如式（2）所示；P為軸向力；l為振梁長(zhǎng)度；E為石英楊氏模量；I為振梁極慣性矩,設(shè)梁的厚和寬分別為h和w,則慣性矩I=hw3/12。振梁的一階固有頻率表達(dá)式為

將振梁的尺寸參數(shù)（l、h、w）以及式（2）代入式（1）,取密度ρ=2.65×103kg/m3, 楊氏模量E=9×1010N/m2,可以得到細(xì)長(zhǎng)梁受到軸向應(yīng)力時(shí)固有頻率與結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)之間的關(guān)系

如前所述,石英振梁通過(guò)表面布置電極,配合石英的壓電特性進(jìn)行振動(dòng)激勵(lì)與檢測(cè),因此梁的寬度不應(yīng)太小,否則影響電極寬度進(jìn)而引起振梁起振困難。本文取振梁寬度70μm～110μm范圍進(jìn)行分析,振梁長(zhǎng)度則選擇2mm～5mm范圍進(jìn)行分析。根據(jù)式（3）得到石英振梁在考慮的尺寸范圍內(nèi),力頻系數(shù)隨振梁長(zhǎng)度和寬度關(guān)系如表1和圖4所示。

圖4 振梁力頻系數(shù)隨長(zhǎng)度和寬度的變化曲線Fig.4 Variation curves of force-frequency coefficient with length and width

從計(jì)算結(jié)果可以得出,在振梁寬度不變時(shí),雙端固支石英振梁的力頻系數(shù)隨振梁長(zhǎng)度增加而提高。當(dāng)振梁長(zhǎng)度從2mm增加到5mm時(shí),力頻系數(shù)分別提升了 8.8%（w=70μm 時(shí)）、4.3%（w=80μm 時(shí)）、2.5%（w=90μm 時(shí)）和 1.6%（w=100μm時(shí)）。同時(shí)也可以得出,在振梁長(zhǎng)度不變時(shí),雙端固支石英振梁的力頻系數(shù)隨振梁寬度的減小而提高。當(dāng)振梁寬度從100μm降低到70μm時(shí),振梁的力頻系數(shù)分別提升了43%（l=2mm時(shí)）、43.8%（l=3mm 時(shí)）、46%（l=4mm 時(shí)）、53%（l=5mm 時(shí)）。

通過(guò)分析,可以得出以下結(jié)論：1）雙端固支石英振梁的力頻系數(shù)隨著振梁長(zhǎng)度的增加、寬度的減小而不斷提高；2）振梁寬度對(duì)力頻系數(shù)影響大于振梁長(zhǎng)度；3）振梁寬度越大,振梁長(zhǎng)度對(duì)力頻系數(shù)的影響越弱。

3 熱彈性阻尼分析

石英振梁工作時(shí)處于彎曲振動(dòng)狀態(tài),雙端固支梁的彎曲振動(dòng)造成了梁的一部分處于受拉另一部分處于受壓。根據(jù)熱彈性阻尼可知,當(dāng)梁受拉時(shí),振梁的溫度下降；當(dāng)梁受壓時(shí),振梁的溫度升高。石英振梁的振動(dòng)狀態(tài)被振梁長(zhǎng)度的0.224倍和0.776倍分為三部分,且每一部分沿著梁寬度方向一半受拉另外一半受壓。由此,造成振梁工作時(shí)梁內(nèi)部由振動(dòng)引起的溫度不同,引起熱能的流動(dòng),從而造成振動(dòng)能量損失,降低了石英振梁的品質(zhì)因數(shù)。

由熱彈性阻尼引起的振梁品質(zhì)因數(shù)的理論計(jì)算公式如下[9]

式（4）中,E為楊氏模量；α為熱膨脹系數(shù)；ω為諧振角頻率,可以根據(jù)式（2）計(jì)算得到；Ta為絕對(duì)溫度；ρ0為石英密度；Cp為熱容量；τ為系統(tǒng)熱馳豫時(shí)間常數(shù),可表示為

式（5）中,h為振梁厚度,κ為熱傳導(dǎo)率。

采用有限元分析軟件COMSOL Multiphysics進(jìn)行熱彈性阻尼的仿真計(jì)算,得到雙端固支石英振梁在振動(dòng)時(shí)的溫度場(chǎng)分布,其相對(duì)溫度變化如圖5所示。

仿真過(guò)程中,采用的石英材料參數(shù)為泊松比λ=0.08、熱膨脹系數(shù)α=1.337×10-5K-1、熱容cp=744J/（kg·K）、熱傳導(dǎo)率κ=6.5W/（m·k）。 通過(guò)圖5可以看出,當(dāng)雙端固支石英振梁工作于基頻狀態(tài)時(shí),振梁上受拉變形區(qū)域溫度降低,受壓變形的區(qū)域溫度升高,與理論分析結(jié)構(gòu)一致。改變仿真過(guò)程中振梁的尺寸,得到振梁熱彈性品質(zhì)因數(shù)Q與振梁尺寸的關(guān)系如表2和圖6所示。仿真過(guò)程中,振梁尺寸取值與第上一節(jié)相同。

圖5 振梁的熱彈性變形分析結(jié)果Fig.5 Analysis results of thermal elastic deformation

表2 振梁熱彈性品質(zhì)因數(shù)與尺寸的關(guān)系Table 2 Relationship between thermal elastic quality factor and dimension

圖6 振梁熱彈性品質(zhì)系數(shù)隨長(zhǎng)度和寬度的變化曲線Fig.6 Variation curves of thermal elastic quality factor with length and width

由分析結(jié)果可以看出,雙端固支石英振梁的熱彈性品質(zhì)因數(shù)隨振梁長(zhǎng)度增加而減小（振梁寬度不變時(shí)）,隨振梁寬度的增加而增大（振梁長(zhǎng)度不變時(shí)）。當(dāng)振梁長(zhǎng)度從2mm增加到5mm時(shí),品質(zhì)因數(shù)損失了 83.7%（w=70μm 時(shí)）、83.3%（w=80μm時(shí)）、82.4% （w=90μm 時(shí)）和 81.9% （w=100μm時(shí)）；同時(shí),當(dāng)振梁寬度從70μm增加到 100μm時(shí),品質(zhì)因數(shù)提升了155%（l=2mm時(shí)）、181%（l=3mm 時(shí)）、175%（l=4mm 時(shí)）、184%（l=5mm 時(shí)）。由此可以得出,振梁長(zhǎng)度和寬度對(duì)熱彈性品質(zhì)因數(shù)的影響均比較大。其中,長(zhǎng)度的影響大于寬度的影響。

4 石英振梁力頻系數(shù)與熱彈性品質(zhì)因數(shù)之間的矛盾關(guān)系及目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)的分析

通過(guò)前面分析可得出,對(duì)等截面細(xì)長(zhǎng)石英振梁來(lái)說(shuō),振梁長(zhǎng)度和寬度尺寸對(duì)力頻系數(shù)與熱彈性品質(zhì)因數(shù)的影響相反,兩者之間存在一定的矛盾關(guān)系。

在分析的范圍內(nèi),當(dāng)振梁長(zhǎng)度增加時(shí),力頻系數(shù)提高了約1.6%～8.8%,而熱彈性品質(zhì)因數(shù)卻損失了82%～83%。因此,雙端固支石英振梁的長(zhǎng)度對(duì)力頻系數(shù)的提升不太明顯,但是對(duì)熱彈性品質(zhì)因數(shù)的影響卻很大。在只考慮振梁力頻系數(shù)和熱彈性品質(zhì)因數(shù)的因素下,振梁的長(zhǎng)度要短。但是,振梁變短的情況下,對(duì)于整個(gè)傳感器而言,在同等載荷下,振梁內(nèi)的軸向應(yīng)力也會(huì)變小。

當(dāng)振梁寬度增加時(shí),力頻系數(shù)降低了30%～34%,熱彈性品質(zhì)因數(shù)增加了155%～184%,振梁寬度對(duì)熱彈性品質(zhì)因數(shù)的影響略大于力頻系數(shù)。值得一提的是,如果振梁寬度增加,不僅力頻系數(shù)降低,振梁強(qiáng)度也會(huì)相應(yīng)增加,同樣導(dǎo)致傳感器內(nèi)載荷引起的軸向力變小,造成靈敏度降低。

為綜合評(píng)價(jià)雙端固支石英振梁長(zhǎng)度和寬度對(duì)力頻系數(shù)與熱彈性品質(zhì)因數(shù)的影響,構(gòu)建目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)

式（6）中,fσ,max[lmin∶lmax,wmin∶wmax]和QT,max[lmin∶lmax,wmin∶wmax]為優(yōu)化尺寸內(nèi)力頻系數(shù)和熱彈性品質(zhì)因數(shù)的最大值,fσ和QT的計(jì)算方法見(jiàn)式（1）和式（4）。力頻系數(shù)和熱彈性品質(zhì)因數(shù)分別除以其優(yōu)化范圍內(nèi)的最大值,目的是進(jìn)行歸一化處理,使力頻系數(shù)和熱彈性品質(zhì)因數(shù)的影響系數(shù)一致,從而可以更全面的表征兩者對(duì)傳感器性能的影響。

采用式（6）計(jì)算本文的音叉尺寸范圍內(nèi)目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)的PF值。將離散計(jì)算的16個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)帶入式（6）的性能因數(shù)計(jì)算函數(shù),得到的PF值如圖7所示。從計(jì)算結(jié)果可以看出,隨著振梁尺寸的變化,PF值從0.064增加到0.64,且變化趨勢(shì)與振梁品質(zhì)因數(shù)的變化趨勢(shì)相類似。也就是說(shuō),振梁尺寸對(duì)品質(zhì)因數(shù)的影響大于對(duì)力頻系數(shù)的影響。為獲得最優(yōu)的PF值,得到最佳的力頻系數(shù)和品質(zhì)因數(shù),需要將設(shè)計(jì)的振梁長(zhǎng)度變短,寬度變寬。

圖7 目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)隨振梁尺寸的變化曲線Fig.7 Variation curves of target optimization function with the dimension of vibration beam

在設(shè)計(jì)采用雙端固支石英振梁作為敏感元件的傳感器時(shí),力頻系數(shù)是影響靈敏度的因素之一。如果能夠通過(guò)優(yōu)化彈性元件彌補(bǔ)振梁力頻系數(shù)的降低,可以優(yōu)先考慮熱彈性品質(zhì)因數(shù)的優(yōu)化。但是,隨著振梁長(zhǎng)度降低、寬度增加,振梁的一階固有頻率也會(huì)相應(yīng)增加,對(duì)應(yīng)的諧振電路亦需要進(jìn)行改進(jìn)。同時(shí),振梁長(zhǎng)度降低、寬度增加,說(shuō)明振梁的剛度也增加,由彈性元件引起的振梁內(nèi)軸向力也會(huì)損失,造成靈敏度的降低。為了獲得高的靈敏度和熱彈性品質(zhì)因數(shù),在設(shè)計(jì)雙端固支石英振梁及其傳感器時(shí),需要綜合考慮振梁尺寸、彈性元件結(jié)構(gòu)等,在相互矛盾和制約中取最優(yōu)解。

5 結(jié)論

本文詳細(xì)分析了雙端固支石英振梁的尺寸對(duì)力頻系數(shù)與熱彈性阻尼的影響,并且發(fā)現(xiàn)兩者存在一定的相互制約和矛盾。在分析的尺寸范圍內(nèi),當(dāng)振梁長(zhǎng)度增加時(shí),力頻系數(shù)增加了約1.6%～8.8%,而熱彈性品質(zhì)因數(shù)卻損失了82%～83%；當(dāng)振梁寬度增加時(shí),力頻系數(shù)降低了30%～34%,熱彈性品質(zhì)因數(shù)增加了155%～184%。綜合考慮力頻系數(shù)和熱彈性品質(zhì)因數(shù)的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)PF值從0.064增加到0.64,且變化趨勢(shì)與振梁的品質(zhì)因數(shù)相類似,說(shuō)明振梁尺寸對(duì)品質(zhì)因數(shù)的影響大于對(duì)力頻系數(shù)的影響。為獲得最優(yōu)的PF系數(shù),得到最佳的力頻系數(shù)和品質(zhì)因數(shù),需要將設(shè)計(jì)的振梁長(zhǎng)度變短,寬度變寬。在設(shè)計(jì)雙端固支石英振梁及其傳感器時(shí),需要綜合考慮振梁尺寸、彈性元件結(jié)構(gòu)等,以獲得最優(yōu)的雙端固支石英振梁尺寸。