類氦原子體系基態(tài)單參數(shù)變分波函數(shù)

馬展榮，馮金福

（1. 中國地質(zhì)大學(xué) 地球物理與信息技術(shù)學(xué)院，北京 100083；2. 常熟理工學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

1 引言

類氦原子體系是由兩個運(yùn)動電子強(qiáng)相互關(guān)聯(lián)的最基本的庫侖三體系統(tǒng)，其薛定諤方程不能精確地解析求解，只能借助于各種近似方法來獲得體系的束縛能和波函數(shù)，例如微擾法［1］、變分法［2］、有限元法［3］等. 通過引入眾多的變分參數(shù)，變分法研究類氦原子體系可以達(dá)到很高的精度，但由于最終的變分波函數(shù)過于復(fù)雜而不便應(yīng)用. 在原子碰撞研究中，需要簡單的解析波函數(shù)來初步檢驗(yàn)理論模型的可靠性，而碰撞計(jì)算中的矩陣元涉及多維積分，若能采用解析波函數(shù)，則可降低積分的維數(shù)，因此，原子體系的簡單可靠的解析波函數(shù)是十分有用的.

在計(jì)算原子的能級結(jié)構(gòu)時，電子之間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)起十分重要的作用. 考慮了電子關(guān)聯(lián)的Hylleraas型的變分波函數(shù)［4］的基本形式為

其中s=r1+r2，t=r2-r1，u=r12，s、t和u稱Hylleraas坐標(biāo). 而r1和r2表示電子與原子核之間的距離，r12表示兩電子之間的距離，也稱關(guān)聯(lián)坐標(biāo). 本文采用僅含關(guān)聯(lián)坐標(biāo)r12的一次項(xiàng)的單參數(shù)Hylleraas型變分波函數(shù)

其中N是歸一化常數(shù)，Z是核電荷數(shù)、c是變分參數(shù)，利用變分法具體計(jì)算了類氦原子體系的基態(tài)能量和其他物理量的期望值，計(jì)算中不采用Hylleraas坐標(biāo)，而是直接采用由r1、r2和r12構(gòu)成的坐標(biāo). 計(jì)算結(jié)果表明，本文解析形式的簡單變分波函數(shù)，對類氦原子體系的基態(tài)能量和其他物理量的期望值均能給出相當(dāng)精確的結(jié)果.

2 理論方法

采用原子單位（其中能量單位為哈特里），類氦原子體系的非相對論哈密頓可寫為

其中Z是核電荷數(shù). 類氦原子基態(tài)的波函數(shù)中獨(dú)立的坐標(biāo)變量可選為r1、r2和r12，即波函數(shù)φ(r1,r2)=φ(r1,r2, r12). 根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的規(guī)則，容易得到在r1、r2和r12坐標(biāo)中類氦原子體系的哈密頓的具體表示式［5］為

而在r1、r2和r12坐標(biāo)中體積元dτ= 8π2r1r2r12dr1dr2dr12，其中積分的區(qū)域?yàn)?≤r1≤∞，0≤r2≤∞，|r1-r2|≤r12≤r1+r2.

根據(jù)Rayleigh-Ritz變分法，一個體系的基態(tài)能量E0滿足關(guān)系

把本文選定的試探波函數(shù)（2）式、在新坐標(biāo)下類氦原子體系的哈密頓（4）式以及體積元代入（5）式，可得基態(tài)能量的平均值為

其中

原則上，解出由?E(c,Z)/?c=0給出的一元非線性方程，求得c，代入（6）式即可求得體系的基態(tài)能量，而波函數(shù)的歸一化常數(shù)可由c解析地表示為

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)（2）式表示的波函數(shù)的可靠性，可推導(dǎo)出如下與坐標(biāo)變量ri(i=1,2)和關(guān)聯(lián)坐標(biāo)r12有關(guān)的物理量期望值的解析表達(dá)式：

3 計(jì)算結(jié)果及討論

若試探波函數(shù)（2）式中取變分參數(shù)c=0，則可得不含變分參數(shù)的波函數(shù)

相應(yīng)地，類氦原子體系的基態(tài)能量表達(dá)式（6）退化為

表1 類氦體系基態(tài)能量的理論計(jì)算值及實(shí)驗(yàn)值 單位：哈特里

表1中列出了利用變分法計(jì)算的類氦原子的基態(tài)能量的理論數(shù)據(jù). 公式（17）中的試探波函數(shù)中不含變分參數(shù)，但由于顯式地包含了關(guān)聯(lián)坐標(biāo)r12，計(jì)算的氦原子的基態(tài)能量（對應(yīng)表1中列E(0,Z)）與實(shí)驗(yàn)值的相對誤差為0.92%，說明了在計(jì)算類氦原子體系的基態(tài)能量時，考慮電子之間關(guān)聯(lián)效應(yīng)的重要性. 文獻(xiàn)［5］中的波函數(shù)含有兩個變分參數(shù)，分別考慮了電子對原子核的庫侖引力的屏蔽效應(yīng)和兩電子之間關(guān)聯(lián)效應(yīng)，相對誤差降低到0.42%. 而公式（2）中的試探波函數(shù)與公式（17）中的相比增加了一項(xiàng)c(r1+r2)2，包含一個變分參數(shù)，計(jì)算的相對誤差降低到0.437%，是單參數(shù)變分波函數(shù)下理想的結(jié)果.

表2 用3種波函數(shù)計(jì)算的類氦原子體系基態(tài)各種物理量的期望值

表2中列出了用3種波函數(shù)計(jì)算的類氦原子體系基態(tài)的與坐標(biāo)變量ri(i=1,2)和關(guān)聯(lián)坐標(biāo)r12有關(guān)的各種物理量的期望值，并與文獻(xiàn)［8］給出的“精確”數(shù)值結(jié)果比較. 由于波函數(shù)都是解析的，各種期望值均可得到解析表示式. 用公式（17）給出的波函數(shù)計(jì)算的期望值與精確值相比有較大偏差，用文獻(xiàn)［5］的波函數(shù)計(jì)算的結(jié)果與精確值的偏差有所減小，而用本文公式（9）~（16）計(jì)算的期望值與精確值的偏差最小，最大相對誤差在9%以內(nèi). 平均值和＜1/ri＞對于靠近原子核附近的試探波函數(shù)的行為比較敏感，而平均值r12和＜1/r12＞對于試探波函數(shù)在電子-電子融合點(diǎn)附近的性質(zhì)比較敏感，本文計(jì)算的這些平均值與精確值符合較好，說明目前的波函數(shù)比較好地描述了雙電子體系在這些區(qū)域的運(yùn)動. 波函數(shù)在距離原子核較遠(yuǎn)處的值在平均值中所占權(quán)重較大，本文給出的與精確值亦符合較好，表明目前的波函數(shù)具有相對正確的漸進(jìn)行為.

4 結(jié)語

本文構(gòu)造了類氦原子雙電子體系的單參數(shù)基態(tài)解析波函數(shù)，通過變分法計(jì)算出了參數(shù)值c，并解析地給出了波函數(shù)的歸一化常數(shù). 由本文波函數(shù)計(jì)算的類氦原子體系的基態(tài)能量與實(shí)驗(yàn)值的相對誤差小于0.5%，而由本文波函數(shù)計(jì)算的類氦原子體系基態(tài)的與坐標(biāo)變量ri(i=1,2)和關(guān)聯(lián)坐標(biāo)r12有關(guān)的各種物理量期望值與精確值亦符合較好，說明目前的簡單解析的試探波函數(shù)比較正確地描述了基態(tài)雙電子體系在全空間的運(yùn)動，可以方便地應(yīng)用到激光輔助電子-原子碰撞以及電子-原子碰撞激發(fā)等物理模型中.