擴(kuò)散過程遍歷性判別準(zhǔn)則的注記

吳炳耀，梁明杰

（1.福建師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，福建 福州 350007；2.三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明 365004）

本文考慮半直線上[0，∞）以0 為反射邊界的一維擴(kuò)散過程，該過程對應(yīng)的無窮小生成元為

其中a（x）＞0。 擴(kuò)散過程遍歷性的研究有很長的歷史，相關(guān)結(jié)論已經(jīng)豐富且完善，具體可以參考著作[1-2]和文獻(xiàn)[3-10]。 著作[1]給出如下半直線上[0，∞）以0 為反射邊界的一維擴(kuò)散過程遍歷性相關(guān)性質(zhì)的判別準(zhǔn)則，見表1。

表1 中“(*)+…”表示第一行中唯一性成立的判別條件再加上條件“…”，而最后一行的Nash 不等式僅限制于v＞2 的情形。一般，表中所列出來的性質(zhì)從上到下逐行增強(qiáng)，但也有例外，對數(shù)Sobolev不等式和強(qiáng)遍歷通常是不可比的，參見著作[2]第275～276 頁例子5.8.1～5.8.2。

表1 一維擴(kuò)散過程若干遍歷性的判別準(zhǔn)則

在實際的應(yīng)用當(dāng)中，通常情況下，已經(jīng)知道擴(kuò)散過程遍歷，所以該如何給出遍歷擴(kuò)散過程滿足更強(qiáng)遍歷性質(zhì)的充分條件是有意義且值得探討的問題。 本文的目的就在于填補(bǔ)上述問題的空白，特別是給出遍歷擴(kuò)散過程何時滿足指數(shù)遍歷、離散譜存在、強(qiáng)遍歷等性質(zhì)的充分條件，進(jìn)一步逐一舉例說明這些充分條件的必要性。 最后，給出半直線[0，∞）上以0 為反射邊界的一維擴(kuò)散過程和上Ζ+生滅過程無窮小生成元形式上的對應(yīng)關(guān)系。 關(guān)于生滅過程和擴(kuò)散過程的一些重要性質(zhì)可以參見著作[11-12]。

1 主要結(jié)果和證明

命題1 設(shè)半直線[0，∞）上以0 為反射邊界的一維擴(kuò)散過程遍歷，則下面的結(jié)論成立：

（I）若

那么該過程指數(shù)遍歷。

（II）若

則過程的離散譜存在。

（III）若

那么該擴(kuò)散過程滿足對數(shù)Sobolev 不等式。

（IV）若

那么過程滿足Nash 不等式。

（V）若

那么過程強(qiáng)遍歷。

證明：由于結(jié)論(I)～(IV)的證明方法類似，為了簡便起見，只給出結(jié)論(I)的證明過程。 結(jié)論(V)的證明方法有別于結(jié)論(I)～(IV)，將單獨給出結(jié)論(V)的詳細(xì)證明。

即過程指數(shù)遍歷。

（V）對任意 n≥1

根據(jù)柯西定理可知，存在 ξ∈（n-1，n），使得

給出5 個例子來逐一說明命題1 中各個充分條件的必要性，這些例子受文獻(xiàn)[1]，第154 頁表8.3的啟發(fā)。

例 1 設(shè) a（x）=（1+x）γ，b（x）=0，其中 1＜γ＜0，則 C（x）=0

而

故過程不是指數(shù)遍歷的。 注意到，此時

故條件(I)不滿足。

例 2 設(shè) a（x）=（1+x）2，b（x）=0，則

另一方面，由于

即過程離散譜不存在。

進(jìn)一步

故條件(II)不成立。

例 3 設(shè) a（x）=（1+x）2lg1/2（x+e），b（x）=0，那么，C（x）=0，且

即過程的離散譜存在。

這樣對數(shù)Sobolev 不等式不成立。

而

故(III)不成立。

例 4 設(shè) a（x）=（1+x）2lgγ（x+e），b（x）=0，其中 γ＞1，那么，C（x）=0，

另一方面，根據(jù)

可知

因此Nash 不等式不成立。

此時

故(IV)不成立。

例 5 令 a（x）=（x+1）2lg（x+e），b（x）=0，則 C（x）=0，且

此時，

故條件(V)不成立。

下面給出半直線上以為反射邊界的一維擴(kuò)散過程和上生滅過程生成元形式對比的一個注記。

注1 一維擴(kuò)散過程的無窮小生成元為

其中 a（x）＞0。 Z+上生滅過程的無窮小生成元為

其中 ai＞0 和 bi＞0。

如果將Z+取值上函數(shù)的一階變差理解為

而將函數(shù)f 的二階變差理解為

那么(7)可化為

對比(6)和(8)可知，a（x）與 ai∧bi相互對應(yīng)，b（x）與 bi-ai相互對應(yīng)。 特別的，當(dāng) ai-bi=0 即 ai=bi時，生滅過程對應(yīng)于擴(kuò)散過程b（x）=0 的情形。上述系數(shù)關(guān)系在著作[1]，第154 頁表8.2，表8.3]中例子中得以充分體現(xiàn)。