基于投影法的對(duì)偶猶豫模糊多屬性決策方法及在教育評(píng)價(jià)中的應(yīng)用

李興國(guó)

(燕山大學(xué) 高等教育發(fā)展研究中心，河北 秦皇島 066004)

現(xiàn)實(shí)生活中，模糊性問(wèn)題大量存在于客觀世界，人們所接觸到的大量信息多數(shù)是模糊和不確定的，致使決策者不能給出精確的評(píng)價(jià)值。為此，美國(guó)學(xué)者Zadeh[1]創(chuàng)立了一種描述模糊現(xiàn)象的模糊集理論，應(yīng)用數(shù)學(xué)的思維和方法處理模糊性現(xiàn)象。為了解決在實(shí)際決策過(guò)程中決策者在多個(gè)評(píng)價(jià)值之間的猶豫問(wèn)題，Torra等[2-3]提出了猶豫模糊集，其元素的隸屬函數(shù)由一個(gè)可能值的集合構(gòu)成。Zhu和Xu等[4]提出了對(duì)偶猶豫模糊集，分別用隸屬函數(shù)、非隸屬函數(shù)表達(dá)確定性程度和不確定性程度。因?yàn)閷?duì)偶猶豫模糊集更加符合客觀事物不確定性的特點(diǎn)，在處理模糊性問(wèn)題上更具有一般性和靈活性。目前，國(guó)內(nèi)外關(guān)于對(duì)偶猶豫模糊信息集成算子、距離測(cè)度和相似測(cè)度的研究成果較為豐富，但是關(guān)于對(duì)偶猶豫模糊多屬性決策方法的研究成果較為缺乏，將投影分析應(yīng)用于對(duì)偶猶豫模糊多屬性決策的成果還尚未見(jiàn)到，且尚無(wú)學(xué)者將對(duì)偶猶豫模糊集應(yīng)用于大學(xué)評(píng)價(jià)體系研究。本文對(duì)屬性完全未知的對(duì)偶猶豫模糊決策問(wèn)題進(jìn)行研究，建立基于投影法的對(duì)偶猶豫模糊決策模型，將其應(yīng)用于大學(xué)評(píng)價(jià)體系研究，并基于客觀數(shù)據(jù)和統(tǒng)計(jì)學(xué)方法進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。

一、問(wèn)題描述

本文針對(duì)權(quán)重完全未知的對(duì)偶猶豫模糊集，利用熵值法確定屬性權(quán)重，建立基于投影分析法的對(duì)偶猶豫模糊集排序方法，對(duì)備選方案排序擇優(yōu)。設(shè)某一多屬性決策問(wèn)題：X={X1，X2，…，Xm}為方案集，C={C1，C2，…，Cn}為屬性集，決策者給出方案Xi關(guān)于屬性Cj的評(píng)價(jià)矩陣為R=(rij)m×n，其中rij={h(xij)，g(xij)}為對(duì)偶猶豫模糊元，表示在屬性Cj下對(duì)方案Xi的評(píng)價(jià)分值。屬性權(quán)重向量w=(w1，w2，…，wn)T完全未知，試建立對(duì)偶猶豫模糊多屬性決策模型并求解。

(一)對(duì)偶猶豫模糊集的距離測(cè)度

定義1[5]設(shè)A和B是關(guān)于集合X={X1，X2，…，Xm}的兩個(gè)對(duì)偶猶豫模糊集，則A和B之間的距離測(cè)度為d(A，B)，滿足以下條件

①0≤d(A，B)≤1;

②d(A，B)=0當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)成立;

③d(A，B)=d(B，A);

④設(shè)C是任意的對(duì)偶猶豫模糊集，如果A?B?C,則d(A，B)≤d(A，C)且d(B，C)≤d(A，C)。

根據(jù)上述距離測(cè)度定義，對(duì)偶猶豫模糊集A和B的標(biāo)準(zhǔn)Euclidean距離測(cè)度定義為

(1)

(二)屬性權(quán)重的確定

應(yīng)用熵值法確定屬性權(quán)重，在對(duì)對(duì)偶模糊集的熵作出定義時(shí)，既要充分考慮隸屬度和非隸屬度，又要體現(xiàn)出決策者在對(duì)偶猶豫模糊集中多個(gè)數(shù)值存在猶豫的特性。

設(shè)D={(h1，h2，…，hl1)，(g1，g2，…，gl2)}為一個(gè)對(duì)偶猶豫模糊值，其隸屬度φ(D)、非隸屬度φ(D)和猶豫度π(D)指標(biāo)分別定義如下

(2)

下面給出對(duì)偶猶豫模糊值的熵公理化定義：

定義2 映射E：DHFS(X)→[0，1]稱為對(duì)偶猶豫模糊集的熵，如果E滿足如下條件：

①E(A)=0當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?i∈{1，2，…，n}，D={{0}，{1}}或D={{1}，{0}}；

②E(A)=1當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?i∈{1，2，…，n}，均有φ(D)=φ(D)；

③E(A)≤E(B)如果對(duì)?xi∈X，當(dāng)φ(DB(xi))≥φ(DB(xi))時(shí)，有φ(DA(xi))≥φ(DB(xi))，φ(DB(xi))≥φ(DA(xi))；或者當(dāng)φ(DB(xi))≤φ(DB(xi))時(shí)，有φ(DA(xi))≤φ(DB(xi))，φ(DB(xi))≤φ(DA(xi))；

④E(A)=E(Ac)。

定義3設(shè)A={[xi，DA(xi)]，xi∈X}是論域X上的對(duì)偶猶豫模糊集，則

(3)

則E(A)是對(duì)偶猶豫模糊集A的熵，證明略。

(4)

(5)

二、基于投影的對(duì)偶猶豫模糊多屬性決策模型

(一)模型的構(gòu)建

設(shè)X={x1，x2，…，xm}為決策方案集，C={c1，c2，…，cn}為屬性集，屬性權(quán)重完全未知。決策者對(duì)方案xi(i=1，2，…，m)在屬性cj(j=1，2，…，n)下的評(píng)價(jià)信息用對(duì)偶猶豫模糊數(shù)D={h(x)，g(x)}的形式給出。首先要對(duì)偶猶豫模糊值進(jìn)行規(guī)范化處理，處理方法如下：

設(shè)D=(h(x)，g(x))為對(duì)偶猶豫模糊數(shù)，在集合h(x)和g(x)兩個(gè)集合中，元素次序通常是紊亂的，需對(duì)兩集合中的元素重新進(jìn)行排序。令σ：(1，2，…，m)→(1，2，…，m)為一個(gè)排列，使得hσ(s)≥hσ(s+1)，其中s=1，2，…，m-1，令δ：(1，2，…，n)→(1，2，…，n)為一個(gè)排列，使得gδ(t)≥gδ(t+1),其中t=1，2，…，n-1。

此外，在不同的對(duì)偶猶豫模糊數(shù)D=(hD(x)，gD(x))和F=(hF(x)，gF(x))中，集合hD(x)與hF(x)中及集合gD(x)與gF(x)中所包含元素個(gè)數(shù)可能會(huì)有所不同，令l=max{l(hD(x))，l(hF(x))}、k=max{k(gD(x))，k(gF(x))}。其中，l(hd(x))、l(hF(x))、k(gD(x))、k(gF(x))分別表示hD(x)、hF(x)、gD(x)、gF(x)中元素的個(gè)數(shù)。在樂(lè)觀準(zhǔn)則下，向集合中添加最大的元素，在悲觀準(zhǔn)則下，向集合中添加最小的元素，使得l(hD(x))=l(hF(x))，k(gD(x))=k(gF(x))。

定義5D=(h(x)，g(x))為對(duì)偶猶豫模糊數(shù)，其中h(x)={hσ(1)(x)，hσ(2)(x)，…，hσ(l)(x)}、g(x)={gδ(1)(x)，gδ(2)(x)，…，gδ(k)(x)}，則D的信息能量為

(6)

則A的?？啥x為

(7)

定義6設(shè)D=(hD(x)，gD(x))和F=(hF(x)，gF(x))為兩個(gè)對(duì)偶猶豫模糊數(shù)，其中hD(x)={hDσ(1)(x)，hDσ(2)(x)，…，hDσ(l)(x)}、gD(x)={gDδ(1)(x)，gDδ(2)(x)，…，gDδ(k)(x)}、hF(x)={hFσ(1)(x)，hFσ(2)(x)，…，hFσ(l)(x)}、gF(x)={gFδ(1)(x)，gFδ(2)(x)，…，gFδ(k)(x)}，則D與F的相關(guān)性指標(biāo)定義如下

(8)

定義7 設(shè)D和F為兩個(gè)對(duì)偶猶豫模糊數(shù)，則有D與F的相關(guān)系數(shù)，即夾角余弦可定義為

(9)

結(jié)合定義6和定義7，給出對(duì)偶猶豫模糊數(shù)投影定義如下：

定義8 設(shè)D和F為兩個(gè)對(duì)偶猶豫模糊數(shù)，則D在F上的投影定義為

(10)

定義9 令D*(xi)=(h*(xi),g*(xi))為理想對(duì)偶猶豫模糊數(shù)，其中

(11)

(12)

則對(duì)偶猶豫模糊數(shù)D在理想對(duì)偶猶豫模糊數(shù)D*上的投影為

(13)

對(duì)各對(duì)偶猶豫模糊元投影的加權(quán)求和，得各方案的綜合評(píng)價(jià)分值

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

(14)

根據(jù)Zi值的大小，對(duì)各方案Xi進(jìn)行排序擇優(yōu)。

(二)模型決策程序

Step3:依據(jù)式(11)和(12)，得理想對(duì)偶猶豫模糊元D*(xi)=(h*(xi)，g*(xi))。

Step4：依據(jù)式(13)，計(jì)算對(duì)偶猶豫模糊數(shù)D在理想對(duì)偶猶豫模糊數(shù)D*上的投影矩陣α=[αij]m×n。

Step5：依據(jù)式(3)、(4)和(5)，計(jì)算各屬性Cj的權(quán)重。

Step6：依據(jù)式(14)，計(jì)算各方案的綜合評(píng)價(jià)分值Zi。

Step7：根據(jù)Zi的大小，對(duì)各方案排序擇優(yōu)。

三、實(shí)例分析

(一)案例描述

大學(xué)排名自出現(xiàn)以來(lái)，就引起了社會(huì)各界的廣泛關(guān)注。1987 年9月，中國(guó)管理科學(xué)研究院以《科學(xué)引文索引》(SCI)為指標(biāo)對(duì)我國(guó)87 所重點(diǎn)大學(xué)進(jìn)行了排名，排名結(jié)果發(fā)表在《科技日?qǐng)?bào)》上，這個(gè)大學(xué)排名是我國(guó)第一個(gè)嚴(yán)格意義的大學(xué)社會(huì)評(píng)價(jià)，具有劃時(shí)代的意義[6]。目前，國(guó)內(nèi)知名度和影響力較大的大學(xué)排行榜主要有3個(gè)：中國(guó)管理科學(xué)研究院發(fā)布的武書(shū)連中國(guó)大學(xué)排名(以下簡(jiǎn)稱“中管院榜”)、艾瑞深中國(guó)校友會(huì)網(wǎng)發(fā)布的中國(guó)大學(xué)排名(以下簡(jiǎn)稱“校友會(huì)榜”)、武漢大學(xué)中國(guó)科學(xué)評(píng)價(jià)研究中心發(fā)布的中國(guó)大學(xué)排名(以下簡(jiǎn)稱“中評(píng)榜”)。這3個(gè)中國(guó)大學(xué)評(píng)價(jià)體系的3級(jí)指標(biāo)都包含教師人數(shù)、畢業(yè)生人數(shù)等反映辦學(xué)規(guī)模的指標(biāo)。那么，這3個(gè)大學(xué)評(píng)價(jià)體系下大學(xué)評(píng)價(jià)得分與高校的辦學(xué)規(guī)模是否存在顯著的相關(guān)性，如果存在，哪個(gè)中國(guó)大學(xué)評(píng)價(jià)體系的相關(guān)性最強(qiáng)? 以上即本文要探討的問(wèn)題[7]。

(二)建立模型及求解

如果在某個(gè)大學(xué)評(píng)價(jià)體系下，一所高校的規(guī)模越大(用教師和學(xué)生人數(shù)衡量)，其排名越靠前，則稱該大學(xué)評(píng)價(jià)體系具有規(guī)模效應(yīng)。大學(xué)評(píng)價(jià)體系的規(guī)模效應(yīng)越強(qiáng)，其排名結(jié)果越有利于規(guī)模較大的綜合性高校，不利于特色型和專業(yè)型高校。中管院榜、校友會(huì)榜和中評(píng)榜是國(guó)內(nèi)最知名的3個(gè)大學(xué)評(píng)價(jià)體系，其3級(jí)評(píng)價(jià)指標(biāo)均包含專任教師和畢業(yè)學(xué)生人數(shù)。為研究3個(gè)中國(guó)大學(xué)評(píng)價(jià)體系是否具有規(guī)模效應(yīng)及相對(duì)強(qiáng)度，應(yīng)用對(duì)偶猶豫模糊決策方法進(jìn)行檢驗(yàn)。

構(gòu)造模型如下：方案集A={A1，A2，A3}：A1為中管院榜，A2為校友會(huì)榜，A3為中評(píng)榜；屬性集C={C1，C2，C3，C4}：C1為專任教師數(shù)，C2為本科畢業(yè)生數(shù)，C3為碩士畢業(yè)生數(shù)，C4為博士畢業(yè)生數(shù)。請(qǐng)專家對(duì)其進(jìn)行評(píng)價(jià)，受認(rèn)知思維模糊性的影響，專家給出的是對(duì)偶猶豫模糊評(píng)價(jià)信息?；谠u(píng)價(jià)信息建立對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣，見(jiàn)表1。

表1 原始的對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣DA

表2 規(guī)范化的對(duì)偶猶豫模糊決策矩陣

其次，根據(jù)公式(11)和(12)，得到理想對(duì)偶猶豫模糊元D*(xi)，分別為：({0.8,0.6},{0.2,0.1,0.1})、({0.7,0.6},{0.2,0.2})、({0.9,0.7,0.6},{0.1,0.1})、({0.8,0.7},{0.2,0.1})。

然后，根據(jù)熵值法，計(jì)算屬性集C的權(quán)重向量w=(w1,w2,w3,w4)T，得到：w1=0.289 4,w2=0.145 6,w3=0.252 8,w4=0.312 2。

最后，根據(jù)公式(14)，計(jì)算各方案的綜合評(píng)價(jià)分值Zi：Z1=0.617 6，Z2=0.492 8，Z3=0.716 4 決策結(jié)果：因?yàn)閆3>Z1>Z2，所以A3>A1>A2。即中評(píng)榜的規(guī)模效應(yīng)最強(qiáng)，其次為中管院榜，校友會(huì)榜的規(guī)模效應(yīng)最弱。

四、實(shí)證檢驗(yàn)

(一)研究數(shù)據(jù)的選取

為了驗(yàn)證上節(jié)的結(jié)果，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的相關(guān)分析法，基于2013年中管院排行榜、校友會(huì)排行榜和中評(píng)榜下“985高?！薄?11高?！焙汀?00強(qiáng)高校”的排名數(shù)據(jù)，對(duì)各大學(xué)排行榜的排名數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)。分別計(jì)算在3個(gè)不同的中國(guó)大學(xué)評(píng)價(jià)體系下，一所大學(xué)的總得分與本科畢業(yè)生數(shù)、碩士畢業(yè)生數(shù)、博士畢業(yè)生數(shù)和專任教師數(shù)等4項(xiàng)指標(biāo)的相關(guān)系數(shù)，結(jié)果分別見(jiàn)表3、表4和表5。

表3 中管院榜大學(xué)評(píng)價(jià)總得分與高校規(guī)模的相關(guān)分析

注：**表示在0.01的水平上顯著相關(guān)。

表4 校友會(huì)榜大學(xué)評(píng)價(jià)總得分與高校規(guī)模的相關(guān)分析

注：**表示在0.01的水平上顯著相關(guān)。

表5 中評(píng)榜大學(xué)評(píng)價(jià)總得分與高校規(guī)模的相關(guān)分析

注：**表示在0.01的水平上顯著相關(guān)。

(二)實(shí)證分析結(jié)論

在中管院、校友會(huì)、中評(píng)榜3個(gè)不同的中國(guó)大學(xué)評(píng)價(jià)體系下，本科生培養(yǎng)得分與本科生人數(shù)之間并不存在顯著的相關(guān)性，表明在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上沒(méi)有充分證據(jù)表明本科生規(guī)模對(duì)本科培養(yǎng)得分和大學(xué)評(píng)價(jià)總分有顯著影響。

研究生培養(yǎng)得分與研究生數(shù)存在顯著的正相關(guān)，在3個(gè)中國(guó)大學(xué)評(píng)價(jià)體系下的大學(xué)評(píng)價(jià)總分與碩士生人數(shù)的相關(guān)系數(shù)為0.506～0.779，大學(xué)評(píng)價(jià)總分與博士生人數(shù)的相關(guān)系數(shù)為0.821～0.927之間，且均在0.01的水平上顯著。并且博士生數(shù)與研究生培養(yǎng)得分的相關(guān)系數(shù)大于碩士生，說(shuō)明研究生規(guī)模對(duì)研究生培養(yǎng)得分、大學(xué)評(píng)價(jià)總分均具有顯著影響。

中評(píng)榜辦學(xué)規(guī)模對(duì)大學(xué)評(píng)價(jià)的影響效應(yīng)最強(qiáng)，中管院榜居中，校友會(huì)榜最弱。且辦學(xué)規(guī)模影響效應(yīng)與高校辦學(xué)層次成反比?！?11高校”辦學(xué)規(guī)模影響效應(yīng)最強(qiáng)，其次是“100強(qiáng)”高校，“985高?！鞭k學(xué)規(guī)模影響效應(yīng)最低。表明高校綜合實(shí)力越強(qiáng)，辦學(xué)規(guī)模對(duì)大學(xué)評(píng)價(jià)得分影響越弱。統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果與模糊多屬性決策模型所得分析結(jié)果一致，從而證明了本文所建模型的有效性。

五、結(jié)語(yǔ)

本文主要構(gòu)建了基于投影分析法和熵權(quán)法的對(duì)偶猶豫模糊多屬性決策模型，并應(yīng)用該模型對(duì)3個(gè)不同的中國(guó)大學(xué)評(píng)價(jià)體系下高校辦學(xué)規(guī)模影響效應(yīng)進(jìn)行了分析。為驗(yàn)證模型的有效性，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的相關(guān)分析法，基于2013年中國(guó)大學(xué)評(píng)價(jià)的事實(shí)數(shù)據(jù)，對(duì)3個(gè)不同的中國(guó)大學(xué)評(píng)價(jià)體系的辦學(xué)規(guī)模效應(yīng)進(jìn)行實(shí)證檢驗(yàn)，所得結(jié)論與模型研究結(jié)論一致，從而證明了本文所建決策模型的有效性。