小概率原理及其應(yīng)用

秦秉杰

(山西藥科職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部,山西 太原 030031)

0 引言

生活中我們通常習(xí)慣于關(guān)注發(fā)生可能性較大的事情,其中原因在于概率論源于對賭博問題研究,在這種問題里我們當(dāng)然關(guān)心那些勝率較大的策略。相應(yīng)地,在考察概率分布時,我們重點關(guān)注的也是這個分布的峰值,概率統(tǒng)計諸多理論就是在研究“峰值”,大數(shù)定律和中心極限定理都使得人們習(xí)慣于相信隨機(jī)現(xiàn)象在大尺度下的穩(wěn)定性,因此人們關(guān)注大概率事件是有理論依據(jù)的。

但是我們在重視大概率事件的時候,也不能忽視小概率事件。我們工作和生活中就有一些事件,它們發(fā)生的可能性很小,但一旦發(fā)生危害卻非常大。比如2011年溫州動車相撞事件、2015年長江游輪傾覆事件、2017年九寨溝的地震事件等,這些事件發(fā)生概率很小,危害卻很大,因此不能忽視,對這些問題的研究也非常必要。

1 小概率事件的概念及小概率原理

1.1 小概率事件的概念

我們知道,自駕出行有可能出交通事故,坐飛機(jī)可能遭遇失聯(lián),可為什么我們沒有裹足不前,還要出游呢?我們知道,抓彩票可能中大獎,可為什么我們沒有一哄而上、趨之若鶩呢?這是因為我們知道,這些事情發(fā)生的可能性太小了!

可能性也即概率,那么多小的概率算小呢?這個不能一概而論。比如某工廠生產(chǎn)一批燈管,不合格率是1%都可以出售,而醫(yī)藥企業(yè)生產(chǎn)的藥品,不合格率是0.1%都不能出售,這是因為醫(yī)藥產(chǎn)品事關(guān)人類的生命健康,標(biāo)準(zhǔn)自然要高一些。

不過,在數(shù)學(xué)上,一般將發(fā)生概率小于0.05的事件稱為小概率事件。

小概率事件還具有突發(fā)性和誘惑性兩個特點,比如地震、海嘯的發(fā)生等往往比較突然,而各種賭博游戲往往是利用豐厚的大獎來誘惑人們參與。

1.2 小概率原理

概率很小的事件在一次試驗中幾乎是不會發(fā)生的,這就是小概率原理;反之,如果事件發(fā)生了,有理由懷疑原假設(shè)是錯誤的,這也稱為實際推斷原理。

根據(jù)概率論中的伯努利(Jakob Bernoulli)大數(shù)定律,在試驗條件不變的情況下,事件A發(fā)生的頻率依概率收斂于事件A發(fā)生的概率,即在大量重復(fù)試驗時,可以用事件A發(fā)生的頻率來代替事件A發(fā)生的概率。這時如果事件A發(fā)生的概率很小,則在大量重復(fù)試驗中它出現(xiàn)的頻率也會很小。例如,假設(shè)事件A發(fā)生的概率P(A)=0.01,那么在100次試驗中,大約只有1次出現(xiàn)A。

表 摸球游戲規(guī)則及輸贏概率Table Rules and probability of winning or losing in touch ball game

2 小概率原理在實際生活中的應(yīng)用

2.1 在規(guī)避街頭騙局方面的應(yīng)用

日常生活中,我們經(jīng)常遭遇一些街頭騙局,譬如下面的摸獎騙局。莊家在一個袋子里放6個紅球和6個白球,這些球除了顏色不一樣以外,其它完全一樣。游戲規(guī)則為,每次任意從袋子中摸6個球,輸贏規(guī)則如表所示。

這個規(guī)則看上去對顧客有利,因為7種情形只有一種是輸錢的,其它6種情形你不用投資,均能賺錢。很多人禁不住誘惑,難免心動去試一試,但結(jié)局往往卻是掃興而歸,輸?shù)腻X從幾十到幾百不等。問題出在哪呢?我們不妨計算一下:

由此可以算得各種情況輸贏的概率如表所示。

可以看到,贏100元和贏50元對應(yīng)概率都小于0.05,是小概率事件,在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生,因此可以忽略。觀察的重點是贏20元概率總計是0.487,而輸100元概率是0.433,因此從平均下來輸錢可能性更大。莊家就是利用小概率原理,設(shè)計使得贏錢的概率很小,因此賭的越多,輸?shù)木驮蕉唷?/p>

2.2 在風(fēng)險投資方面的應(yīng)用

1994年成立的美國長期資本管理公司(LTCM),曾經(jīng)是世界上著名的對沖基金。該基金聚集了一大批世界高智商精英,專門從事金融市場套利,是當(dāng)時與量子基金、歐米伽基金、老虎基金齊名的國際四大“對沖基金”之一。

LTCM的投資模型是“不正常市場價差套利”。他們利用計算機(jī)追溯大量的歷史交易數(shù)據(jù),通過獨特的算法,得出兩種標(biāo)之間“正?！钡臍v史價差,如果現(xiàn)有價格與正常歷史價差出現(xiàn)了“非理性”的偏差,計算機(jī)便隨之建立標(biāo)的組合,大舉入市套利。

LTCM所遵循的就是“市場中性”原則,無多無空,主要以尋求標(biāo)的效率落差形成的套利空間,并通過對沖化解市場風(fēng)險。公司成立后的幾年,這套交易模型取得了輝煌的交易成績:3 a間其資產(chǎn)凈值從12.5億美元上升到48億美元,增長了2.84倍。

然而1998年這個巨人卻轟然倒塌,公司一夜之間倒閉了,這是為什么呢?

其中一個主要因素是這一年出現(xiàn)了罕見的小概率事件!

1998年,由于國際油價下跌,導(dǎo)致國內(nèi)經(jīng)濟(jì)下滑、政局不穩(wěn),俄羅斯政府不得不采取“非?！钡呐e動,宣布盧布貶值,國債交易也隨之停止。這一舉動,導(dǎo)致國債市場出現(xiàn)空前極端的波動,疊加LTCM投資杠桿很高,短期內(nèi)就產(chǎn)生了巨額損失,無力支撐,最終被監(jiān)管機(jī)構(gòu)接收。

LTCM案例給我們的啟示是,歷史數(shù)據(jù)和規(guī)律并不能等同未來,歷史不會簡單重復(fù),市場環(huán)境的變化可能導(dǎo)致出現(xiàn)小概率事件,而這可能導(dǎo)致以前規(guī)律的失效。因此在投資中,對小概率事件的忽視可能導(dǎo)致極其嚴(yán)重的后果[1]。

2.3 在保單設(shè)計方面的應(yīng)用

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學(xué)科,而保險就是利用隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性來化解風(fēng)險的,保險與概率論密切相關(guān),概率論是保險的數(shù)理基礎(chǔ)。下面我們以一個保單設(shè)計案例看看概率論在其中的應(yīng)用。

案例1:根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù),某年齡段人的死亡概率為0.001?，F(xiàn)有某保險公司要據(jù)此設(shè)計一份人壽保單,具體條款是:投保人每年繳納300元保費,如果投保人當(dāng)年死亡,保險公司負(fù)責(zé)賠付受益人10萬元?，F(xiàn)有1萬人投保,問保單的設(shè)計合理嗎?

分析:假設(shè)投保者1 a內(nèi)死亡人數(shù)為x人,則x～B(10000,0.001),公司一年的收入為1萬×200=200萬,賠付金額為10萬×x=10x萬元。若保險公司虧損，需200<10x,即x>20,即賠付人數(shù)大于20人。

投保人數(shù)n=10000數(shù)值很大,而死亡概率p=0.001數(shù)值很小,因此該分布可以用泊松分布近似,其中泊松分布的參數(shù)λ=np=10。

2.4 在質(zhì)量管理方面的應(yīng)用

小概率原理在藥物研發(fā)、疫苗接種、藥品生產(chǎn)等方面都有廣泛的應(yīng)用。

圖1 正態(tài)分布的3σ準(zhǔn)則Fig.1 Normal distribution 3σ criteria

案例2:某個藥品生產(chǎn)企業(yè)生產(chǎn)一種片劑,其質(zhì)量服從正態(tài)分布,設(shè)質(zhì)量為xmg,x～N(1000,202)。抽檢時發(fā)現(xiàn)有某一片劑質(zhì)量為1 080 mg,問該藥品能否通過質(zhì)量檢查?

解析:根據(jù)正態(tài)分布的3σ準(zhǔn)則(圖1),該片劑質(zhì)量落在(μ-3σ,μ+3σ)區(qū)域的概率幾乎為1,也就是落在(940,1060)內(nèi)的概率幾乎為1。但是現(xiàn)在抽檢結(jié)果為1 080 mg,并沒有落在這個區(qū)域,這就說明發(fā)生了小概率事件。而小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的,現(xiàn)在發(fā)生了,就懷疑該批產(chǎn)品可能有問題,因此藥品不能通過質(zhì)量檢測[3]。

3 如何正確理解小概率事件

對于小概率事件,人們通常會有兩種極端反應(yīng)。

一種極端反應(yīng)是麻痹大意,把小概率事件等同于不可能事件。要注意,小概率事件并不是不可能事件。不可能事件是發(fā)生概率為0,是必然不會發(fā)生的事件,而小概率事件概率雖然小,在一次試驗中發(fā)生的可能性也很小,但大量重復(fù)試驗后,其發(fā)生的可能性卻幾乎是必然的。

生活中,我們也有很多諺語講的是這樣的道理,比如“瓦罐不離井邊破,只怕來的遭數(shù)多”“常在河邊走,哪能不濕鞋”等[5]。

另一種極端反應(yīng)是過分放大。比如2011年的動車相撞事件,民間反應(yīng)很大,甚至導(dǎo)致官方被動降低高鐵速度;還比如有些人經(jīng)?？窜嚨溡曨l,心理產(chǎn)生陰影,對高速路出行產(chǎn)生了恐懼心理等。其實這些情況本質(zhì)上是一種小樣本認(rèn)知偏差,即在夸大了小樣本條件下事件的概率對總體概率的代表性,這也是不對的。

總之,小概率事件反映了生活中一類特殊而重要的現(xiàn)象。全面正確認(rèn)識這類事件,既可以避免無謂的損失,又可以在矛盾時找到有利的取舍依據(jù)。我們應(yīng)該認(rèn)識和把握好這個工具,讓它更有效地為我們服務(wù)。