改進(jìn)的冗余捷聯(lián)慣組故障檢測(cè)與隔離主成分析法

葉 松，袁艷艷

（北京航天自動(dòng)控制研究所，北京，100854）

0 引 言

慣性器件利用硬件冗余的方式，可以提高運(yùn)載火箭制導(dǎo)系統(tǒng)的可靠性，如果某個(gè)慣性器件出現(xiàn)故障，需要對(duì)冗余慣性測(cè)量組合進(jìn)行故障檢測(cè)與隔離。

基于主成分析法（Principal Component Analysis，PCA）的故障檢測(cè)與隔離技術(shù)已經(jīng)得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，其實(shí)質(zhì)是一種向量空間變換，將多變量空間轉(zhuǎn)化為子空間，該子空間可以在最小維數(shù)下保持原空間的最大方差。從變量?jī)?yōu)化的角度會(huì)發(fā)現(xiàn)子空間維數(shù)小于原空間的維數(shù)，且相互獨(dú)立。Feng Xu等人提出了一種基于區(qū)間觀測(cè)器和不變集的傳感器故障檢測(cè)與隔離方法[1]，故障檢測(cè)用于實(shí)時(shí)故障報(bào)警，故障隔離用于檢測(cè)瞬態(tài)性能，仿真結(jié)果表明了該方法的有效性。Mania Navi等人研究了主成分析法用于自主水下航行器傳感器的故障檢測(cè)與隔離[2]，仿真結(jié)果表明，該方法能用于非線性系統(tǒng)。Walton R. Williamson等人提出了一種用在深空探測(cè)衛(wèi)星上的故障檢測(cè)與隔離算[3]法，該方法需要通過(guò) Shiryayev序列概率比來(lái)測(cè)試并計(jì)算故障發(fā)生的可能性。Kim等人做了開(kāi)創(chuàng)性研究，提出了兩種冗余系統(tǒng)的故障檢測(cè)方法[4]，一種是結(jié)合小波變換的奇偶空間法，另一種是利用閾值確定故障時(shí)間間隔并基于模型的故障檢測(cè)與隔離方法，通過(guò)擴(kuò)展卡爾曼濾波器來(lái)估計(jì)殘差作為檢測(cè)故障的參考值，仿真結(jié)果表明：這兩種方法都能用于冗余系統(tǒng)的故障診斷。Alvarez利用主成分析法對(duì)廢水處理廠的機(jī)械進(jìn)行故障診斷[5]。Daniel Skoogh提出了一種能同時(shí)檢測(cè)不同振幅故障的檢測(cè)與隔離方法[6]，傳感器信號(hào)的測(cè)量矢量被投影到配置矩陣的正交補(bǔ)空間，通過(guò)觀察投影點(diǎn)的分布來(lái)進(jìn)行故障診斷。Oliveira在故障檢測(cè)的數(shù)據(jù)處理過(guò)程中加入中值濾波來(lái)消除噪聲的影響[7]，仿真結(jié)果表明該方法能夠檢測(cè)出微小的階躍故障信號(hào)。Sérgio Brás提出利用狀態(tài)觀測(cè)器提供的狀態(tài)信息來(lái)確定不同模型的故障[8]，然而該方法需要箭載計(jì)算機(jī)具有強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力。張昱君和劉愛(ài)倫針對(duì)化工生產(chǎn)過(guò)程中故障提出了一種改進(jìn)的主元分析方法[9]，可以檢測(cè)出對(duì)于過(guò)程影響較小的故障。考慮到傳統(tǒng)的主成分析法對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集之外的數(shù)據(jù)異常敏感，Yvon Tharrault建立了一個(gè)穩(wěn)健的主成分析模型并使用多故障檢測(cè)和隔離的結(jié)構(gòu)化殘差[10]。主成分析法應(yīng)用在冗余慣組故障檢測(cè)研究較少。近年來(lái)，Lee and Park提出了一種結(jié)合了奇偶向量法的改進(jìn)主成分析法[11]，該方法能夠檢測(cè)動(dòng)態(tài)環(huán)境下的故障信息，但不能進(jìn)行故障隔離。

本文提出了一種基于廣義似然比的改進(jìn)主成分析法，廣義似然算法用來(lái)進(jìn)行故障檢測(cè)，主成分析法用來(lái)進(jìn)行故障隔離。考慮到加入濾波器能夠降低系統(tǒng)的噪聲，因此在故障檢測(cè)前先對(duì)奇偶向量進(jìn)行濾波預(yù)處理，目的是能夠檢測(cè)到小幅值故障并具有故障隔離能力。數(shù)學(xué)仿真結(jié)果表明：該方法能夠檢測(cè)小幅值故障并提高故障檢測(cè)與隔離的效果。

1 經(jīng)典主成分析法

主成分析法可以被定義為原始數(shù)據(jù)到新數(shù)據(jù)的線性變換，并且這些新的數(shù)據(jù)集相互線性無(wú)關(guān)。眾所周知，傳統(tǒng)的主成分析法進(jìn)行故障檢測(cè)的方法是將統(tǒng)計(jì)量Q和 T2分別與其閾值進(jìn)行比較，當(dāng)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值超過(guò)了控制限，就可以判定過(guò)程中出現(xiàn)了異常情況。然而這樣僅僅能判定在這個(gè)時(shí)間點(diǎn)出現(xiàn)了故障，而無(wú)法判定是哪個(gè)部分的異常導(dǎo)致。能夠幫助確定哪個(gè)部分出現(xiàn)故障工具就是貢獻(xiàn)圖，它通過(guò)每個(gè)過(guò)程變量對(duì)統(tǒng)計(jì)量的貢獻(xiàn)值來(lái)確定。

1.1 T 2統(tǒng)計(jì)量

T2統(tǒng)計(jì)量反映的是主成分在變化趨勢(shì)和變化幅值上與模型的偏差程度，計(jì)算公式如下：

式中 ti為測(cè)量樣本的第i個(gè)主元得分；λi為協(xié)方差矩陣的第i個(gè)特征值；Xi為第i時(shí)刻的采樣值；為主元模型的載荷矩陣T2為統(tǒng)計(jì)量，是多個(gè)變量共同累加的標(biāo)量，表示數(shù)據(jù)點(diǎn)到模型中心的距離（建模是經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后中心在原點(diǎn)），因此它的大小反映了新數(shù)據(jù)偏離正常狀態(tài)的程度。

如果實(shí)際協(xié)方差未知，則T2統(tǒng)計(jì)量服從F分布，T2統(tǒng)計(jì)量閾值為

當(dāng)一個(gè)過(guò)程變量的信息沒(méi)有被很好的反映在主元模型中，這個(gè)變量出現(xiàn)數(shù)據(jù)異常情況后通過(guò) T2統(tǒng)計(jì)量無(wú)法檢測(cè)到故障，因此在這種情況下需要通過(guò)分析測(cè)量數(shù)據(jù)的殘差來(lái)計(jì)算Q統(tǒng)計(jì)量。

1.2 Q統(tǒng)計(jì)量

Q統(tǒng)計(jì)量是平方預(yù)測(cè)誤差，它代表測(cè)量值與主元模型的偏差程度。Q統(tǒng)計(jì)量的分布如下：

式中 ?P為由最小二乘法計(jì)算得到的載荷矩陣；e為由剩余載荷矩陣生成的誤差矢量。

1.3 載荷矩陣計(jì)算

載荷矩陣算法也稱(chēng)非線性迭代部分最小二乘算法（Non-linear Iterative Partial Least Squares，NIPALS）。

a）從X中任選一列 Xj，并記為t1，即t1= Xj；

b）計(jì)算 P1： P

c）將 P1的長(zhǎng)度歸一化；

e）將步驟a中的t1與步驟d作比較，如果他們幾乎一樣，則算法收斂，計(jì)算停止，如果它們不一樣，回到步驟a；

f） X = X - t1p1T，得到新的誤差矩陣，計(jì)算其他主元即可。

1.4 主元個(gè)數(shù)選擇方法

采用基于平均特征值的累計(jì)方差貢獻(xiàn)率法來(lái)確定主元個(gè)數(shù)。累計(jì)方差貢獻(xiàn)率的定義：矩陣X的協(xié)方差矩陣的前k個(gè)特征值的和除以它的所有特征值的和（特征值要按由大到小順序排列），它表示了前k個(gè)主元所解釋的數(shù)據(jù)變化占全部數(shù)據(jù)變換的比例。

式中 control為人為設(shè)定的控制限，一般選取 85%，此時(shí)滿(mǎn)足條件的最大主元個(gè)數(shù)記為 k1。

接著，計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣所有特征值的均值，選取大于平均特征值作為主元特征值，同時(shí)舍棄掉那些小于均值的特征值，對(duì)應(yīng)的最小的主元特征值的序號(hào)記為 k2。

最后，取 k1， k2兩者中的最大值為主元個(gè)數(shù)，即

2 改進(jìn)的主成分析法

傳統(tǒng)主成分析法只能檢測(cè)出較大幅值故障，本文提出將最大廣義似然法應(yīng)用到傳統(tǒng)的主成分析法中，目的是檢測(cè)小幅值故障。方法的具體流程如圖 1所示（以典型的正六面體結(jié)構(gòu)為例）。

圖1 故障檢測(cè)與隔離流程Fig.1 Flowchart of Fault Detection and Isolation

步驟1：通過(guò)安裝測(cè)量矩陣計(jì)算解耦矩陣V，采集正常工作訓(xùn)練數(shù)據(jù)TZ，得到訓(xùn)練等價(jià)向量TP，并標(biāo)準(zhǔn)化后計(jì)算計(jì)算投影向量W。

步驟 2：應(yīng)用是將傳感器采集得到的數(shù)據(jù)Z，計(jì)算得到等價(jià)向量P，再通過(guò)投影向量得到Ty。

步驟3：對(duì)Ty進(jìn)行濾波處理。

步驟 4：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)統(tǒng)計(jì)量的貢獻(xiàn)值進(jìn)行故障檢測(cè)。

2.1 廣義似然法

冗余捷聯(lián)慣組含有n個(gè)傳感器，測(cè)量輸出只包含測(cè)量噪聲，那么其測(cè)量方程為

因此，利用矩陣 V可得到等價(jià)向量P = V Z = Vε+Vf， P ∈ Rn-3。即等價(jià)向量與被測(cè)量X是線性無(wú)關(guān)的，只與誤差ε和故障f相關(guān)。

根據(jù)等價(jià)空間原理，解耦矩陣V位于安裝測(cè)量矩陣H的左零空間，V的秩為 n -3。為了確定V的元素，Potter和Suman建議將V陣選擇為具有正對(duì)角元的上三角陣，然后通過(guò)正交化，便可確定V陣的元素。具體的算法為

2.2 數(shù)字濾波

流程中對(duì)Ty進(jìn)行濾波預(yù)處理。眾所周知低通濾波器可以降低系統(tǒng)噪聲帶來(lái)的不利影響，而且可以對(duì)外來(lái)數(shù)據(jù)不敏感，因此設(shè)計(jì)的低通濾波器的傳遞函數(shù)為

式中1T為濾波器的時(shí)間常數(shù)。

將式（5）進(jìn)行Z變換可得：

對(duì)式（6）左右進(jìn)行簡(jiǎn)化，可以得到一階濾波器[16]的最終表達(dá)式為

濾波器的參數(shù)影響濾波器性能的關(guān)鍵因素，如何選取一個(gè)合適的濾波器參數(shù)是非常重要的。一方面濾波器參數(shù)反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，另一方面反映的是系統(tǒng)對(duì)于高頻信號(hào)的衰減，因此濾波器參數(shù)的選取是一個(gè)需要折中的問(wèn)題。文獻(xiàn)[16]里面的相關(guān)研究，選取的一階濾波器的參數(shù)為 0.434。此時(shí)濾波器的差分方程如下：

3 仿真分析

3.1 仿真條件

分別對(duì)兩種配置結(jié)構(gòu)（正六面體結(jié)構(gòu)和三正交二斜置[15]結(jié)構(gòu)）進(jìn)行仿真分析。

陀螺儀的誤差參數(shù)如表1所示。

表1 慣組誤差Tab.1 Error Parameter

仿真條件如下：在400 s的時(shí)候給第5支陀螺儀加入1（°）/h的常值故障。

3.2 PCA方法仿真

3.2.1 正六面體

利用圖 1的流程，對(duì)正六面體冗余慣組進(jìn)行仿真分析，結(jié)果如圖2、圖3所示。

圖2 特征平面的投影點(diǎn)的分布Fig.2 Projection of Feature Plane

圖3 各個(gè)變量對(duì)統(tǒng)計(jì)量Q的貢獻(xiàn)值Fig.3 Contribution of Each Variable to Statistics

3.2.2 三正交二斜置

同樣三正交二斜置的慣組配置進(jìn)行了仿真，結(jié)果如圖4、圖5所示。

圖4 特征平面的投影點(diǎn)的分布Fig.4 Projection of Feature Plane

圖5 各個(gè)變量對(duì)統(tǒng)計(jì)量Q的貢獻(xiàn)值Fig.5 Contribution of Each Variable to Statistics

從圖2和圖4可以看出：待檢測(cè)數(shù)據(jù)和正常數(shù)據(jù)在特征平面上的投影沒(méi)有完全分開(kāi)，說(shuō)明原PCA方法檢測(cè)出1（°）/h幅值的故障困難。并且投影點(diǎn)在X軸的位置和Y軸的位置隨時(shí)間變化曲線可以看出有故障發(fā)生，但是不明顯，然而圖3和圖5表明故障隔離效果較好。

3.3 改進(jìn)PCA算法仿真

3.3.1 正六面體

為了檢驗(yàn)加入濾波器之后的故障檢測(cè)性能，得到的仿真結(jié)果如圖6、圖7所示。

圖6 特征平面上的投影Fig.6 Projection of Feature Plane

圖7 各個(gè)變量對(duì)統(tǒng)計(jì)量Q的貢獻(xiàn)值Fig.7 Contribution of Each Variable to Statistics

3.3.2 三正二斜

三正交二斜置的慣組配置的仿真結(jié)果如圖8、圖9所示。

圖8 特征平面上的投影Fig.8 Projection of Feature Plane

圖9 各個(gè)變量對(duì)統(tǒng)計(jì)量Q的貢獻(xiàn)值Fig.9 Contribution of Each Variable to Statistics

圖6 代表的是投影位置，可以看出過(guò)程中是否發(fā)生了故障，可看出正常數(shù)據(jù)的投影點(diǎn)和待檢測(cè)數(shù)據(jù)的投影點(diǎn)分開(kāi)，說(shuō)明已經(jīng)檢測(cè)到了故障，沒(méi)有完全分開(kāi)是因?yàn)楣收现话l(fā)生了一段時(shí)間而非整個(gè)過(guò)程（在400 s處發(fā)生故障）。從圖7可以看出第5個(gè)傳感器對(duì)統(tǒng)計(jì)量Q的貢獻(xiàn)值最大，因此可以斷定第5個(gè)傳感器發(fā)生了故障。圖3和圖7有細(xì)微的差異（各個(gè)變量對(duì)統(tǒng)計(jì)量Q的貢獻(xiàn)量數(shù)值不完全一致），這是由于陀螺儀誤差項(xiàng)包含有隨機(jī)誤差，而故障隔離的結(jié)果是正確的。同理，對(duì)于三正交二斜置的安裝方式也有相同的結(jié)論。

4 結(jié) 論

傳統(tǒng)的主成分析法應(yīng)用在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的故障診斷時(shí)，會(huì)存在故障檢測(cè)效果略差但故障隔離效果很好的問(wèn)題。本文提出了一種基于廣義似然比算法的改進(jìn)主成分分析法，并使用濾波器進(jìn)行預(yù)處理，新方法能夠克服傳統(tǒng)主成分析法只能檢測(cè)大幅值故障的不足。