中職一元二次不等式應(yīng)用題教學(xué)初探

洪麗莉

[摘? ? ? ? ? ?要]? 一元二次不等式應(yīng)用題的教學(xué)不僅應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的學(xué)情，而且應(yīng)用題的設(shè)置要緊貼生活實(shí)際。中職學(xué)生通過學(xué)習(xí)一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用，一方面可以加強(qiáng)學(xué)生對一元二次不等式解題步驟的鞏固，另一方面通過實(shí)際應(yīng)用學(xué)生可以體會到實(shí)際生活和數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系，從而達(dá)到學(xué)以致用的目的。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 一元二次不等式;應(yīng)用題;教學(xué)

[中圖分類號]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號]? 2096-0603（2019）19-0072-02

在實(shí)際生活中存在著很多的不等量關(guān)系，這些都需要用不等式來進(jìn)行解決。在中職數(shù)學(xué)中，一元二次不等式的解法占有很重要的內(nèi)容，同時這也是我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式的重要基礎(chǔ)。通過教學(xué)，學(xué)生已經(jīng)能初步掌握解一元二次不等式ax2+bx+c>0，ax2+bx+c<0的基本步驟：（1）化成標(biāo)準(zhǔn)形式;（2）判定△的符號;（3）求出方程ax2+bx+c=0的實(shí)根;（4）寫出不等式的解集。整個過程可以簡記為：一化、二判、三求、四寫。

基于學(xué)生已經(jīng)初步掌握一元二次不等式解法的基礎(chǔ)上，筆者結(jié)合生活中的實(shí)際問題，借助數(shù)學(xué)建模的思想，將實(shí)際問題用一元二次不等式模型來建立，讓學(xué)生了解一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用，不僅可以鍛煉學(xué)生的解題能力，同時也能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。由于涉及一元二次不等式的解法和應(yīng)用題的題型，作為教師，如何很好地將一元二次不等式與應(yīng)用題結(jié)合起來進(jìn)行教學(xué)，同時培養(yǎng)學(xué)生一元二次不等式應(yīng)用題的解題能力，我覺得應(yīng)該從以下幾個方面入手：

一、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用題的審題能力

由于中職學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識不牢固，加上平時的閱讀量較少，而應(yīng)用題的文字描述較多，數(shù)學(xué)符號也多，涉及范圍較廣，因此很多學(xué)生一看到應(yīng)用題心里的第一反應(yīng)就是放棄。事實(shí)上閱讀能力是所有基礎(chǔ)學(xué)科的要求，但是單單培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，不足以讓學(xué)生明白應(yīng)用題的要求，因為數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，而一道應(yīng)用題里可能就包含分類、比較、推理等活動。因此，要培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用題讀題能力，對應(yīng)用題的分析要求學(xué)生不能急于計算，要留有思考的余地。首先得認(rèn)真仔細(xì)地審題，找到題目中的關(guān)鍵字句和數(shù)字，排除干擾信息，把握題目的設(shè)計意圖，抓住題目條件內(nèi)在聯(lián)系，將所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識與題目的問題聯(lián)系起來，只有理解了題目所表達(dá)的意思，才能進(jìn)一步借助數(shù)學(xué)建模，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題。

二、應(yīng)用題的選取應(yīng)具備生活化

為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，筆者認(rèn)為一元二次不等式應(yīng)用題的選取應(yīng)注重生活化，在學(xué)生初步掌握了一元二次不等式的解法后，應(yīng)用題的出現(xiàn)實(shí)際上對學(xué)生提出了更高的要求，很多學(xué)生一聽到應(yīng)用題內(nèi)心會自動排斥，認(rèn)為應(yīng)用題肯定會很難，很偏離生活。因此，為了讓學(xué)生切實(shí)體會到一元二次不等式的應(yīng)用，教師在設(shè)置題目時應(yīng)將題目盡量生活化，消除學(xué)生對應(yīng)用題的恐懼感，拉近學(xué)生與應(yīng)用題的距離。一元二次不等式的應(yīng)用題很多都與利潤問題有關(guān)，作為中職教師可以從這點(diǎn)入手，利潤題也是中職學(xué)生會感興趣的題目，尤其對財會相關(guān)專業(yè)的學(xué)生來講，這類型題目與他們的專業(yè)課有一定的聯(lián)系，因此，應(yīng)用題的設(shè)置應(yīng)從學(xué)生熟悉的事物入手，讓學(xué)生感受到身邊的數(shù)學(xué)，體驗了數(shù)學(xué)的實(shí)際作用并體會到數(shù)學(xué)的魅力。

三、題目的設(shè)置應(yīng)盡量簡單化

由于中職生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，再加上學(xué)生面對應(yīng)用題存在畏難情緒，筆者認(rèn)為一元二次不等式應(yīng)用題的設(shè)置應(yīng)簡單化、貼合學(xué)生的實(shí)際能力，簡單的應(yīng)用題能讓學(xué)生找回學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，提高他們的積極性。所以教師在初步設(shè)置一元二次不等式應(yīng)用題時，可以事先將變量之間的關(guān)系在題目當(dāng)中交代清楚，學(xué)生只要根據(jù)變量的關(guān)系相應(yīng)地列出不等式即可。在學(xué)生對一元二次不等式的應(yīng)用題有了一定了解后，教師可加大一點(diǎn)難度，在題目中函數(shù)關(guān)系不直接給出，而讓學(xué)生試著根據(jù)題目要求找出函數(shù)關(guān)系，并列出不等式，循序漸進(jìn)，讓學(xué)生先產(chǎn)生自信心，繼而讓學(xué)生化被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)。

比如以下三道一元二次不等式應(yīng)用題的設(shè)置就很好地體現(xiàn)了以上幾個特點(diǎn)：

（一）一元二次不等式在利潤方面的應(yīng)用題

例1.某水果店銷售的一款進(jìn)口櫻桃正在做特價，已知銷售的這款櫻桃重量x（公斤）與創(chuàng)造的利潤y（元）之間有如下的關(guān)系：y=-x2+50x，如果這家水果店計劃一天內(nèi)通過銷售這款櫻桃產(chǎn)生不低于600元的利潤，那么一天內(nèi)大約應(yīng)該銷售這款櫻桃多少公斤？

【題目分析】本道題目是一道典型的利潤題，題目當(dāng)中已經(jīng)明確列出y和x之間的關(guān)系，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生抓住題目中的關(guān)鍵句y=-x2+50x，學(xué)生通過審題，可以自行找出函數(shù)式和600之間的不等式關(guān)系。

解：設(shè)一天內(nèi)銷售這款櫻桃x公斤，依題意得

-x2+50x≥600

整理，得x2-50x+600≤0

∵△=（-50）2-4×600=100>0

∴方程x2-50x+600=0有兩個實(shí)數(shù)根x1=20，x2=30。

所以不等式的解為20≤x≤30。

當(dāng)這家水果店在一天內(nèi)銷售這款櫻桃的重量不小于20公斤且不大于30公斤時，這家水果店能夠獲得不低于600元的利潤。

【評析】這是一道很典型的利用一元二次不等式來解決的應(yīng)用題，對這種題目學(xué)生只要按照四個步驟來做題，基本就可以獲得相應(yīng)的解題思路。這四個步驟分別為：（1）審題，找出關(guān)鍵量和不等關(guān)系;（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，用不等式表示不等關(guān)系;（3）解不等式;（4）回到實(shí)際問題。對中職的學(xué)生而言，要將一道應(yīng)用題用數(shù)學(xué)語言描述出來是有一定難度的，所以這道題目的設(shè)置，將y與x之間的函數(shù)關(guān)系寫在題目中，這樣在一定程度上就降低了題目的難度，學(xué)生只需要根據(jù)題目的要求將不等式列出即可。在解題過程中，由于本道題a<0，因此在解答時需將不等式化成標(biāo)準(zhǔn)式，這個轉(zhuǎn)化的過程對個別學(xué)生來說會忘記做，從而導(dǎo)致計算出錯，因此教師在講解時，應(yīng)強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化的步驟。

例2.某制鞋廠生產(chǎn)一款運(yùn)動鞋，日銷貨量x雙與貨價P元/雙之間的關(guān)系為P=200-3x，生產(chǎn)x雙所需成本為C=400+20x元，問：該廠日產(chǎn)量多少雙時，日獲利不少于2000元？

【題目分析】通過第一遍審題，學(xué)生第一反應(yīng)會無從下手，此時，教師應(yīng)從旁進(jìn)行引導(dǎo)，抓住關(guān)鍵句：日銷貨量x雙與貨價P元/雙之間的關(guān)系，將兩者相乘，算出日銷售額，接著讓學(xué)生進(jìn)行第二遍讀題分析，引導(dǎo)學(xué)生注意觀察題目的問題與利潤有關(guān)，因此，日獲利=日銷售額-成本，這個關(guān)系學(xué)生可以自行發(fā)現(xiàn)，并能順利地列出不等式。

解：設(shè)該廠日獲利為y元，則

y=Px-C

=（200-3x）x-（400+20x）

=-3x2+180x-400

由題意y≥2000知，-3x2+180x-400≥2000

整理，得x2-60x+800≤0

∵△=（-60）2-4×800=400>0

∴方程x2-60x+800=0有兩個實(shí)數(shù)根x1=20，x2=40。

所以不等式的解集為：{x∈N* 20≤x≤40}

當(dāng)日產(chǎn)量不小于20雙且不大于40雙時，日獲利不少于2000元。

【評析】這道題目解題的關(guān)鍵是將利潤y表示為日銷量x的函數(shù)，根據(jù)日利潤=單價×日銷售量-成本，就可以將y與x之間的函數(shù)關(guān)系列出，最后下結(jié)論時要注意x的取值為正整數(shù)。本題比例1稍微復(fù)雜一點(diǎn)，在題目難度的設(shè)置上，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，循序漸進(jìn)，由淺入深，化難為易，慢慢引導(dǎo)學(xué)生層層深入，體現(xiàn)了知識結(jié)構(gòu)的科學(xué)性、條理性和嚴(yán)密性。

（二）一元二次不等式在長度方面的應(yīng)用題

例3.某集團(tuán)公司打算在長為40米，寬為30米的一塊長方形地面建造一個長方形兒童游樂園，要求游樂園四周余下的空地修建成同樣寬的通道，如果游樂園的面積不小于總面積的一半，求通道的寬度范圍。

【題目分析】學(xué)生從題目的描述不一定能明白“游樂園四周余下的空地修建成同樣寬的通道”這句話的意思，因此教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將題目再讀一遍，同時邊審題邊畫圖，只要把圖畫出來，那么這題也就成功了一半，本題還涉及長方形的面積公式，有了圖形，假設(shè)通道寬度為x，利用x算出游樂園的長和寬，學(xué)生就可以自然而然地列出不等式。

解：設(shè)通道寬度為x米，依題意得

（40-2x）（30-2x）≥（1/2）×40×30，其中0

整理，得x2-35x+150≥0

∵△=（-35）2-4×150=625>0

∴方程x2-35x+150=0有兩個實(shí)數(shù)根x1=5，x2=30。

解得0

故所求通道的寬度范圍為（0，5]

【評析】這是一道先建立函數(shù)與不等式的模型后解不等式的題目，本道題通過圖示可以直觀地看出游樂園場地和通道之間的關(guān)系。在計算游樂園的長度和寬度時，學(xué)生容易出錯，因此，教師在講解時應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生畫好關(guān)系圖，通過關(guān)系圖的直觀演示，學(xué)生才能順利列出游樂園長度為（40-2x）米，寬度為（30-2x）米。本題還有個容易出錯的地方是通道的取值范圍，在列完不等式之后，由于游樂園面積是正數(shù)，所以要先注明通道的范圍是0

由此可見，一元二次不等式的應(yīng)用題可以提高學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力，通過提出問題、分析問題、解決問題，學(xué)生在這個過程中學(xué)會數(shù)學(xué)建模，學(xué)會用數(shù)學(xué)知識來解決生活中的問題，這對學(xué)生的能力來講是一種很好的鍛煉。而教師在設(shè)置題目當(dāng)中切忌不可將題目設(shè)置得太難或者太脫離實(shí)際，學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提高沒辦法一蹴而就，而應(yīng)該先立足于學(xué)生的興趣和能力，以此為基礎(chǔ)，為學(xué)生量身定制出屬于他們的例題。

總的來講，應(yīng)用題的教學(xué)一定要跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)讀題的重要性，不可貪快，應(yīng)該認(rèn)真研讀題目當(dāng)中的關(guān)鍵字句，這些都是解題的關(guān)鍵步驟，同時也是培養(yǎng)學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的基礎(chǔ)。而一元二次不等式的應(yīng)用題是學(xué)生在中職數(shù)學(xué)當(dāng)中初步接觸到的綜合型題目，教師在教學(xué)中要充分發(fā)揮引導(dǎo)的作用，不僅要引導(dǎo)學(xué)生讀懂應(yīng)用題，在解題過程中還要引導(dǎo)學(xué)生回想一元二次不等式的解題技巧，從而引起學(xué)生主動學(xué)習(xí)的興趣，形成良好的課堂學(xué)習(xí)氣氛，提高課堂的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)：

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