密度矩陣恢復(fù)的一種改進(jìn)FPCA算法

楊鑫剛

摘要：矩陣恢復(fù)是一項(xiàng)非常有意義的工作。針對(duì)量子力學(xué)中的密度矩陣，本文在近似奇異值分解基礎(chǔ)上的不動(dòng)點(diǎn)迭代算法（FPCA）的基礎(chǔ)上，提出了更適合的改進(jìn)算法。從數(shù)值實(shí)驗(yàn)來看，取得了很好的效果。

關(guān)鍵詞：密度矩陣;矩陣恢復(fù);FPCA算法;數(shù)值實(shí)驗(yàn)

中圖分類號(hào)：TP311? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2019）20-0289-02

開放科學(xué)（資源服務(wù)）標(biāo)識(shí)碼（OSID）：

Abstract： Matrix recovery is a very meaningful job. Aiming at the density matrix in quantum mechanics， this paper proposes a more suitable improved algorithm based on the fixed point iterative algorithm （FPCA） based on approximate singular value decomposition. From the numerical experiments， good results have been achieved.

Key words： density matrix;matrix recovery; FPCA algorithm;numerical experiment

1 引言

近年來，量子信息技術(shù)取得了突飛猛進(jìn)的進(jìn)展，量子科學(xué)的研究已經(jīng)成為廣大學(xué)者研究的熱點(diǎn)[8， 11， 12]。密度矩陣是量子信息和量子通訊中的一個(gè)重要概念，量子力學(xué)的全部假設(shè)都可以以密度矩陣的語言描述[3]。因此，密度矩陣的研究具有重要的理論和應(yīng)用意義。

從線性測量結(jié)果中恢復(fù)出密度矩陣是量子信息中的一個(gè)重要課題。對(duì)于任意一個(gè)[N]量子比特的密度矩陣，若是完全恢復(fù)它至少需要[2N]個(gè)測量才能完全恢復(fù)它。也就是說，測量設(shè)備的需求將會(huì)隨著量子態(tài)的比特?cái)?shù)成指數(shù)倍增長。這給量子態(tài)密度矩陣的恢復(fù)帶來巨大困難。但是，在特殊情況（譬如密度矩陣是稀疏的）下，需要測量的個(gè)數(shù)將大大減少。關(guān)于稀疏矩陣的恢復(fù)問題，近年來，已經(jīng)有不少方法出現(xiàn)[5-7]。他們都各自在不同的方面有效解決了某一類矩陣恢復(fù)問題，但是到目前為止，還沒有一種能夠很好解決所有矩陣恢復(fù)問題的方法。本文針對(duì)量子態(tài)的密度矩陣，提出一種比較先進(jìn)的恢復(fù)算法，在迭代次數(shù)方面有很大改進(jìn)。

矩陣恢復(fù)問題的本質(zhì)是通過對(duì)目標(biāo)矩陣部分元素的測量結(jié)果來恢復(fù)出目標(biāo)矩陣。通過解最優(yōu)化問題（1.1），絕大多數(shù)[r]階的[n1×n2]矩陣可以很高的概率被恢復(fù)[1]：

在基追蹤問題中，若是[b]被噪聲污染，則約束條件[ΑX=b]必須放松，于是我們得到新問題

其中[θ]和[μ]是參數(shù)。

本文在近似奇異值分解基礎(chǔ)上的不動(dòng)點(diǎn)迭代（FPCA）算法[2]的基礎(chǔ)之上，結(jié)合密度矩陣的對(duì)稱性和正定性的特點(diǎn)，對(duì)算法做出改進(jìn)，取得了較好的恢復(fù)效果。

2 近似奇異值分解基礎(chǔ)上的不動(dòng)點(diǎn)迭代算法（FPCA）

不動(dòng)點(diǎn)迭代算法是式子（1.3）的一種解法。其主要迭代過程如下：

運(yùn)行算法2.1，利用算法2.2來求解算法2.1的最后一行，并利用奇異值分解的近似算法[4]來計(jì)算算法2.2中的奇異值分解，就得到了求解問題（1.3）的近似奇異值分解基礎(chǔ)上的不動(dòng)點(diǎn)迭代（FPCA）算法。FPCA算法對(duì)于大型稀疏矩陣的恢復(fù)問題有自己的比較大的優(yōu)勢(shì)[2]，但是對(duì)于特殊的密度矩陣，需要對(duì)算法進(jìn)行修正才能得到更好的效果。

3 改進(jìn)的近似奇異值分解基礎(chǔ)上的不動(dòng)點(diǎn)迭代算法（改進(jìn)的FPCA）

密度矩陣是跡為1的半正定軛米矩陣[10]。若是用FPCA算法來恢復(fù)矩陣，算法迭代過程中并沒有保持密度矩陣的特性，這就造成了迭代次數(shù)的增加?；谖墨I(xiàn)[9]的啟發(fā)，進(jìn)行奇異值分解之前本文增加了矩陣的軛米化，并且用特征值分解代替奇異值分解，不但減少了算法的迭代次數(shù)而且保持了密度矩陣[X]的特性。

運(yùn)行算法2.1，利用算法3.1來求解算法2.1的最后一行，并利用奇異值分解的近似算法[4]來計(jì)算算法3.1中的奇異值分解，就得到了求解問題（1.3）的改進(jìn)的FPCA算法。算法的收斂性框架見參考文獻(xiàn)[2]。

4 數(shù)值計(jì)算實(shí)例

在本節(jié)，我們將通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)近似奇異值分解基礎(chǔ)上的不動(dòng)點(diǎn)迭代算法（[FPCA]）和修正算法[（改進(jìn)的FPCA）]進(jìn)行比較。所有的實(shí)驗(yàn)都是在相同的工作環(huán)境下進(jìn)行的。

在實(shí)驗(yàn)中，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于密度矩陣而言，在精度不降低的情況下，修正算法具有較好的恢復(fù)速度（見表1和圖1）。

5 結(jié)論

以FPCA算法為基礎(chǔ)，本文提出了針對(duì)密度矩陣的改進(jìn)算法。從數(shù)值計(jì)算結(jié)果來看，改進(jìn)FPCA算法在保持精度的條件下，收斂速度大大提高。

參考文獻(xiàn)：

[1] M. Fazel and P.A. Parrilo B. Recht. Guaranteed Minimum-Rank Solutions of Linear Matrix Equations

Via Nuclear Norm Minimization[J]. SIAM Review. 2010， 52：471-501.

[2] Shiqian Ma · Donald Goldfarb · Lifeng Chen. Fixed Point and Bregman Iterative Methods for Matrix

Rank Minimization[J]. Math. Program. 2009， DOI 10.1007/s10107-009-0306-5.

[3] Michael A. Nielsen and Isaac L. Chuang， Quantum Computation and Quantum Information （Cambridge University Press， 2000）.

[4] P. Drineas， Kannan， R.， Mahoney， M.W. Fast Monte Carlo Algorithms for Matrices Ii： Computing

Low-Rank Approximations to a Matrix[J]. SIAM J. Comput. 2006， 36：158–83.

[5] E. J. Candès and Z. W. Shen J. F. Cai. A Singular Value Thresholding Algorithm for Matrix Completion[J]. SIAM Journal on Optimization. 2010， 20（4）：1956-82.

[6] Xingang Yang Juan Geng， Xiuyu Wang and Laisheng Wang. An Accelerated Iterative Hard Thresholding Method for Tensor Completion[J]. Journal of Interdisciplinary Mathematics. 2015， 18（3）：241-56.

[7] E. J. Candès and B. Recht. Exact Matrix Completion Via Convex Optimization[J]. Foundations of Computational Mathematics. 2009， 9（6）：717-72.

[8] 叢爽， 張慧，李克之. 基于壓縮傳感的量子狀態(tài)估計(jì)算法的性能對(duì)比分析[J]. 模式識(shí)別與人工智能. 2016， 29（02）：116-21.

[9] 馬龍?zhí)铮?'對(duì)稱矩陣及對(duì)稱半正定矩陣重建的算法與實(shí)現(xiàn)' （碩士， 山西大學(xué)， 2016）.

[10] 秦欣云，許道云. 密度算子的性質(zhì)及其應(yīng)用[J]. 貴州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）. 2018， 35（02）：4-9.

[11] 楊陽， 齊波，崔巍. 量子態(tài)估計(jì)簡介及其在超導(dǎo)電路電動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中的應(yīng)用[J]. 控制理論與應(yīng)用. 2017， 34（11）：1446-59.

[12] 袁小虎， 吳熱冰，李春文. 基于分布式壓縮感知的量子過程層析[J]. 清華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）. 2017， 57（10）：1089-95.

【通聯(lián)編輯：李雅琪】