例談初中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

邱琦

[摘要]數(shù)學(xué)思想的教學(xué)應(yīng)貫穿在小、初、高三個階段。小學(xué)階段限于學(xué)生的思維發(fā)展還不成熟，所學(xué)內(nèi)容相對簡單，只能對數(shù)學(xué)思想方法有初步的了解;進(jìn)入初中階段，學(xué)生的思維發(fā)展日漸成熟，所學(xué)知識也逐漸深入，如果能加深數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，對于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高具有重要作用，也為他們進(jìn)入高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)打下了良好的基礎(chǔ)。

[關(guān)鍵詞]初中數(shù)學(xué);思想方法;能力提高

對于初中學(xué)生數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，教師除了在傳授學(xué)生數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，更應(yīng)該注重對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)思想方法是人類通過長期的數(shù)學(xué)活動總結(jié)概括出來的寶貴財富，是人們解決數(shù)學(xué)問題的精髓和靈魂，是人們將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁。因此，作為一名數(shù)學(xué)教師，在向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)知識的同時，一定要注重培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的運用，它更有利于學(xué)生理解所學(xué)的教材上的知識點，增強解題思路，更好地提高學(xué)生數(shù)學(xué)的綜合素養(yǎng)能力。

一、注重對學(xué)生已掌握的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用

在小學(xué)階段，教師已經(jīng)在課堂上有意識地滲透了一些比較常見的基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思想方法，而學(xué)生也通過小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對數(shù)學(xué)思想方法有了一定的認(rèn)知。首先，需要掌握他們在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，根據(jù)教材的編寫內(nèi)容，學(xué)生應(yīng)初步了解了分類思想、化歸思想、類比思想等。分類思想是小學(xué)數(shù)學(xué)中最常用的思想方法之一。如對自然數(shù)的分類，若按能否被2整除分奇數(shù)和偶數(shù);若按約數(shù)的個數(shù)分質(zhì)數(shù)和合數(shù)。又如三角形可以按邊分也可以按角分，不同的分類標(biāo)準(zhǔn)就會得到不同的分類結(jié)果，數(shù)學(xué)知識的分類有助于學(xué)生對知識的梳理和建構(gòu)?；瘹w思想在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用得比較廣泛。如在學(xué)習(xí)《圓的面積》時，就是將研究圓的面積的問題轉(zhuǎn)化成計算長方形、正方形或者梯形面積的問題，從而將陌生的問題熟悉化，可以使復(fù)雜的問題變得簡單。類比思想在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也常常出現(xiàn)，如由正整數(shù)的四則運算類比到分?jǐn)?shù)的四則運算。類比思想不僅使數(shù)學(xué)知識容易理解，而且使學(xué)生對公式的記憶清晰深刻。其次，教師在向?qū)W生傳授初中數(shù)學(xué)知識的過程中，要不斷地把他們已學(xué)過的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用其中。如在講有理數(shù)和實數(shù)的運算時，教師可以啟發(fā)學(xué)生回憶一下小學(xué)數(shù)學(xué)中整數(shù)、分?jǐn)?shù)的運算規(guī)律、加法、乘法的交換律a+b=b+a、ab=ba，結(jié)合律（a+b）+c=a+（b+c）、（ab）c=a（bc），以及乘法的分配律a（b+c）=ab+ac。在學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù)之后，也就是在有理數(shù)范圍內(nèi)，這些運算規(guī)律是否還成立呢？教師的設(shè)問，引起學(xué)生的思考，使學(xué)生的注意力轉(zhuǎn)移到問題的討論中，通過師生合作探究類比得出有理數(shù)的運算律，并從中使學(xué)生明白，運算律在運算中具有重要的作用，它是解決數(shù)學(xué)運算的基礎(chǔ)。

二、明確學(xué)生重點掌握的數(shù)學(xué)思想

進(jìn)入初中階段，隨著所學(xué)知識的不斷增加，知識面的不斷擴(kuò)展，一些重要的、常見的數(shù)學(xué)思想方法也滲透在相應(yīng)的知識體系中。從整個初中教材所編寫的內(nèi)容及課標(biāo)要求在初中階段所掌握的能力，以及學(xué)生將來升入高中后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)展來看，初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重點掌握方程思想、函數(shù)思想及數(shù)形結(jié)合的思想。

縱觀整個初中三年級的教材內(nèi)容，很容易發(fā)現(xiàn)：有理數(shù)、有理數(shù)的加減法、有理數(shù)的乘除法、整式的加減、整式的乘法與因式分解、實數(shù)、一元一次方程、二元一次方程組及一元二次方程，表面上是在教數(shù)和式子的運算解方程或方程組，實際上是無形地向?qū)W生滲透著數(shù)學(xué)上的大道理——方程思想，利用方程思想可以把一些生活中的實際問題通過設(shè)未知數(shù)解方程的方法來解決。作為教師，首先自己要明確，什么是方程思想，及其在解決數(shù)學(xué)問題中所起的作用。所謂方程思想，就是突出研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)，列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達(dá)到使問題得以解決的思路和策略。

在教學(xué)中，怎樣才能讓學(xué)生認(rèn)識到方程思想的重要性呢？以人教版七年級上冊教材上的一道例題為例：一輛客車和一輛卡車同時從A地出發(fā)，沿同一公路同方向行駛，客車的行駛速度是70km/h，卡車的行駛速度是60km/h，客車比卡車早1h經(jīng)過B地。求A、B兩地間的路程是多少？在講這道例題的時候，教師先不要急于讓學(xué)生設(shè)未知數(shù)列方程，應(yīng)先讓學(xué)生用小學(xué)所學(xué)的算術(shù)法解決這個問題。學(xué)生解題第一步：客車比卡車一小時多走了70-60=10km;第二步：卡車比客車多用了一小時經(jīng)過B地，在一個小時的時間里，卡車走了60km;第三步：得出客車從A到B所用時間為6h;第四步：客車從A到B的路程為420km。教師引導(dǎo)學(xué)生從設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程中得到解決問題的效果。方法一：直接設(shè)未知數(shù)。設(shè)AB兩地相距x km，因為在勻速運動中時間=路程除以速度，根據(jù)問題的條件，客車和卡車從A到B行駛的時間可以分別表示為6h和7h。因為客車比卡車早一小時經(jīng)過B地，則比小1，即解x=420，從而求出A、B兩地間的路程為420km。方法二：間接設(shè)未知數(shù)。設(shè)卡車從A到B需要x小時，則客車需要（x-1）小時，根據(jù)兩車行駛的路程相等，即都是從A到B，于是列出方程60x=70（x-1），解x=7。也就是說，卡車從A到B需要7h。那么A、B兩地的路程為420km。

用算術(shù)方法解題時，列出的算式表示用算術(shù)方法解題時的計算過程，其中只含有已知數(shù)，而方程是根據(jù)問題中的相等關(guān)系列出的等式，其中既含有已知數(shù)，又含有用字母表示的未知數(shù)，方程為我們解決許多問題帶來方便，通過之后的學(xué)習(xí)，學(xué)生會逐步認(rèn)識到從算式到方程是數(shù)學(xué)的進(jìn)步。

函數(shù)思想也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個重要內(nèi)容。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中最為重要的知識點之一，是各級各類考試的必考知識點。函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題，解決問題的一種思維策略。先來看函數(shù)的定義，它描述了自然界中數(shù)量之間的對應(yīng)關(guān)系，是在變化的事物中尋找一種不變的規(guī)律。

初中教材引入數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想滲透的開端，數(shù)軸把實數(shù)和直線上的點聯(lián)系起來，而笛卡爾平面直角坐標(biāo)系把有序?qū)崝?shù)對應(yīng)平面上的點聯(lián)系起來，有了平面直角坐標(biāo)系，幾何形狀可以用代數(shù)公式明確地表達(dá)出來，幾何圖形上的每一個點的直角坐標(biāo)必須遵守這個代數(shù)公式。幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程是比較抽象的，能不能把幾何圖形與代數(shù)方程結(jié)合起來，也就是說能不能用幾何圖形來表示方程呢？平面直角坐標(biāo)系的創(chuàng)建在代數(shù)和幾何上架起了一座橋梁，它使幾何圖形可以用代數(shù)形式來表示。笛卡爾在創(chuàng)立平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造了用代數(shù)的方法來研究幾何圖形的數(shù)學(xué)分支——解析幾何。如果把幾何圖形看成是動點的運動軌跡，那么，就可以把它看成是由具有某種共同特征的點組成的，如圓可以看做是動點到定點距離相等的點的軌跡。掌握數(shù)形結(jié)合思想有利于初、高中階段數(shù)學(xué)知識的銜接，初中數(shù)學(xué)內(nèi)容相對而言較為簡單、具體，而高中數(shù)學(xué)比較抽象、復(fù)雜，在初中學(xué)習(xí)階段如果學(xué)生能打下扎實的基本功，將會對高中的學(xué)習(xí)起到積極的作用。熟練掌握用數(shù)形結(jié)合的方法來解決問題，可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡單。

三、應(yīng)用數(shù)學(xué)思想促初高中知識銜接

在初中階段，培養(yǎng)學(xué)生具有運用數(shù)學(xué)思想解決問題的良好習(xí)慣，升入高中后，對于高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就能夠順理成章。學(xué)生在初中可以結(jié)合方程、函數(shù)思想利用一次函數(shù)、一元一次方程來求解一元一次不等式（或一元一次不等式組），進(jìn)入高中階段，學(xué)生就會很自然地利用二次函數(shù)、一元二次方程，求出相應(yīng)的一元二次不等式的解。隨著高中所學(xué)函數(shù)的種類增多，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等，學(xué)生把握了函數(shù)思想在解題過程中的重要作用后，就會更加認(rèn)真探討函數(shù)的圖象及性質(zhì)，并且有意識地應(yīng)用它們解決問題。掌握了數(shù)形結(jié)合思想，不僅在解決函數(shù)問題上帶來了很大方便，使方法更靈活更簡便，也為高中學(xué)習(xí)解析幾何方面的知識，如直線、圓、圓錐曲線打下了良好的基礎(chǔ)。

一名合格的初中數(shù)學(xué)教師，不應(yīng)當(dāng)只局限于讓學(xué)生熟記教材的知識點、公式，只滿足于在各類考試中能熟練地解答題目，取得良好成績，更應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生明白掌握數(shù)學(xué)思想方法的重要性。只有真正學(xué)會如何應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，才能在學(xué)習(xí)新知識以及解決各種各樣的問題時做到厚積薄發(fā)、觸類旁通、舉一反三。

參考文獻(xiàn)：

[1]詹丞.中學(xué)奇跡課堂[M].北京：教育科學(xué)出版社，2012.

[2]任保平.注重數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019，（01）.

（責(zé)任編輯 史玉英）