基于PID控制器的鋁熱連軋張力控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

(1.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083； 2.中南大學(xué) 高性能復(fù)雜制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410083； 3.中南大學(xué) 輕合金研究院，湖南 長(zhǎng)沙 410083)

在鋁熱連軋生產(chǎn)中,張力是聯(lián)系各個(gè)機(jī)架參數(shù)的橋梁和紐帶，張力的重要性不言而喻。鋁帶軋制過程中，穩(wěn)定的張力對(duì)于最終的板形有著至關(guān)重要的作用。機(jī)架間的張力兩種控制方式,一種是液壓壓下調(diào)張,一種是速度調(diào)張,本文對(duì)速度調(diào)張進(jìn)行建模與仿真[1-3]。傳統(tǒng)張力控制系統(tǒng)一般采用PID控制器，PID控制器具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于控制的優(yōu)點(diǎn)，但在張力控制系統(tǒng)中，PID控制器的參數(shù)一旦整定，在控制中是不變的，而實(shí)際工作中，由于張力控制系統(tǒng)參數(shù)是變化的，因此，常規(guī)的PID控制器難以滿足張力控制系統(tǒng)的需要，且難以獲得滿意的控制效果[4-5]。

為了解決常規(guī)PID存在的問題，文獻(xiàn)[6]～文獻(xiàn)[8]采用粒子群算法對(duì)PID控制器進(jìn)行優(yōu)化，文獻(xiàn)[9]～文獻(xiàn)[11]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)PID控制器進(jìn)行優(yōu)化，且都取得了不錯(cuò)的效果。但是對(duì)于特別復(fù)雜的問題，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)超調(diào)過大，找不到最佳控制參數(shù)，而粒子群算法則出現(xiàn)陷入局部最優(yōu)的現(xiàn)象，因此，本文采用自適應(yīng)權(quán)值粒子群算法對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值進(jìn)行尋優(yōu)，再對(duì)PID控制器的參數(shù)進(jìn)行整定，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)權(quán)值粒子群算法優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器，該控制器保持了PID控制器簡(jiǎn)單、精度高的特點(diǎn)，又發(fā)揮了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自學(xué)習(xí)、自適應(yīng)和并行處理能力強(qiáng)的特點(diǎn)，同時(shí)引用自適應(yīng)改進(jìn)的粒子群算法，使得整個(gè)控制器更加快速、精確和穩(wěn)定，從而得到控制器參數(shù)的最優(yōu)解。

1 機(jī)架間張力方程

兩機(jī)架間只存在一個(gè)張力，i機(jī)架的前張力等于i+1機(jī)架的后張力，機(jī)架間的張力由前機(jī)架板帶出口速度與后機(jī)架板帶入口速度差的積分得出：

(1)

式中，E為材料彈性模量；Li為第i機(jī)架到第i+1機(jī)架的間距。由于板帶速度是時(shí)間、張力等變量的函數(shù),故利用式(1)很難得到解析解，通常對(duì)式(1)采用數(shù)值解法。

在已知前張力初始值的情況下,可按照遞推的形式迭代求出張力值[12],即

(2)

2 速度調(diào)張法

在穩(wěn)態(tài)時(shí)，相鄰兩機(jī)架間鋁帶張力與前機(jī)架鋁帶的出口速度vh(i)和后機(jī)架鋁帶的入口速度vH(i+1)之差成正比；在動(dòng)態(tài)時(shí)，理論分析證明，當(dāng)速度vh(i)和vH(i+1)突變而產(chǎn)生速度偏差Δvi=vH(i+1)-vh(i)時(shí)，機(jī)架間的鋁帶張力呈指數(shù)規(guī)律變化。因此，可以用一個(gè)慣性環(huán)節(jié)來表示張力調(diào)節(jié)器，速度差Δvi和張力Ti之間的傳遞函數(shù)[13]可以表示為

(3)

式中，T(s)為張力變化的時(shí)間常數(shù)；λ為前滑系數(shù)；L為機(jī)架間的距離；vi為鋁板帶速度；KT為傳遞系數(shù);A=Bh。由于L為常數(shù)，故時(shí)間常數(shù)T(s)與帶鋼速度vi成反比。

張力與速差之間為一階慣性環(huán)節(jié)，張力傳遞函數(shù)模型如圖1所示，其中，KT=1/λvi，τT=L/AEλvi,當(dāng)vi不變時(shí)，KT、τT均為常數(shù)，但實(shí)際中vi是變化的，故KT、τT也在變化[3,14]。因此，張力模型參數(shù)是時(shí)變的，其兩個(gè)主要參數(shù)都受到周圍機(jī)架輥速的影響。

圖1 張力傳遞函數(shù)模型

速度調(diào)張法的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示，其中i為減速比，D為軋輥直徑，速度閉環(huán)為轉(zhuǎn)速電流雙閉環(huán)系統(tǒng)，U為張力給定，T為產(chǎn)生的張力，vH(i+1)為下一機(jī)架入口速度，vh(i)為上一機(jī)架出口速度，熱連軋張力系統(tǒng)是復(fù)雜的多環(huán)控制系統(tǒng)，應(yīng)該先設(shè)計(jì)內(nèi)環(huán)，再設(shè)計(jì)外環(huán)，從內(nèi)到外分別為電流環(huán)、速度環(huán)、張力環(huán)[15]。

圖2 速度調(diào)張法的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

其中電流閉環(huán)為傳遞函數(shù)為

(4)

轉(zhuǎn)速閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(5)

張力閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(6)

對(duì)各個(gè)參數(shù)合理取值可得張力閉環(huán)控制系統(tǒng)的模型為

(7)

3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器設(shè)計(jì)

PID控制器通常描述如下：

(8)

式中，KP為比例系數(shù)；KI為積分系數(shù)；KD為微分系數(shù)；Ti和Td分別為積分時(shí)間常數(shù)和微分時(shí)間常數(shù)。這些控制參數(shù)之間的關(guān)系為KI=KP/Ti，KD=KPTd。

PID控制器必須通過調(diào)整比例、微分和積分3種控制作用的線性組合才能取得良好的控制效果。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID是利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論分別建立輸入誤差、誤差變化率與PID控制器3個(gè)參數(shù)的二元函數(shù)關(guān)系，根據(jù)不同的映射關(guān)系，由誤差和誤差變化率在線調(diào)節(jié)PID的3個(gè)參數(shù)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器的結(jié)構(gòu)如圖3所示，可以看出它是一個(gè)閉環(huán)控制。

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID 控制器的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

3.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)及其學(xué)習(xí)算法

PID神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)包括輸入層、隱含層、輸出層，隱含層由比例元、積分元、微分元組成，分別對(duì)應(yīng)PID控制器中的比例控制、積分控制、微分控制。單控制量神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖4所示，圖4為一個(gè)3層前向神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為2-3-1，wij和wjk為網(wǎng)絡(luò)權(quán)值。

圖4 神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

(1) PID神經(jīng)元控制規(guī)律的計(jì)算。

輸入層有2個(gè)神經(jīng)元，輸出數(shù)據(jù)ri等于Ri，計(jì)算公式為

ri(k)=Ri(k)

(9)

隱含層有3個(gè)神經(jīng)元，分別是比例神經(jīng)元、積分神經(jīng)元和微分神經(jīng)元，神經(jīng)元的輸入計(jì)算公式為

(10)

(2) 隱含層神經(jīng)元的計(jì)算。

① 比例神經(jīng)元：

u1(k)=net1(k)

(11)

② 積分神經(jīng)元：

u2(k)=net2(k)+u2(k-1)

(12)

③ 微分神經(jīng)元：

u3(k)=net3(k)-net3(k-1)

(13)

(3) 輸出層加權(quán)和的計(jì)算。

輸出層為隱含層各個(gè)神經(jīng)元輸出值的加權(quán)和，計(jì)算公式為

(14)

式中，ri(k)為輸入層神經(jīng)元輸出值；wij和wjk分別為輸入層至隱含層、隱含層至輸出層的權(quán)值。

3.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值修正

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID按照梯度修正法來修正神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，其過程如下。

誤差計(jì)算公式：

(15)

輸入層到隱含層權(quán)值的修正公式：

(16)

輸入層到輸出層的權(quán)值修正公式：

(17)

式中，η為學(xué)習(xí)速率。

4 自適應(yīng)權(quán)值粒子群算法

粒子群算法是一種隨機(jī)優(yōu)化算法，該算法必須首先初始化一組隨機(jī)值作為粒子群，然后粒子再以一定的速度更新當(dāng)前最優(yōu)粒子和最優(yōu)種群。每次更新最優(yōu)個(gè)體pi、最優(yōu)種群pg和粒子的速度V和位置Xi，最后得到一組最為合理的結(jié)果。粒子群算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)，但是容易出現(xiàn)早熟等現(xiàn)象，以致于不能全局尋優(yōu)，因此，本文采用自適應(yīng)權(quán)值粒子群算法對(duì)張力控制系統(tǒng)進(jìn)行改進(jìn)。

自適應(yīng)權(quán)值粒子群算法[18]是一種啟發(fā)式搜索算法，能夠自適應(yīng)地更新權(quán)值，并且能夠保證粒子具有良好的全局搜索能力和較快的收斂速度。

自適應(yīng)權(quán)值粒子群算法過程為：在一個(gè)S維的目標(biāo)搜索空間中，有m個(gè)粒子，第i個(gè)粒子用一個(gè)S維的向量xi=(xi1,xi2,…,xiS)來表示，i=1,2,…，m，粒子的位置就是潛在的解。將xi代入目標(biāo)函數(shù)就可以算出其適應(yīng)值，目標(biāo)函數(shù)解的優(yōu)劣以適應(yīng)值來衡量。第i個(gè)粒子的速度是S維向量，記為V=(Vi1,Vi2,…，ViS)。第i個(gè)粒子的最優(yōu)位置為PiS=(P1S,P2S,…，PiS)，整個(gè)粒子群的最優(yōu)位置為PgS=(P1S,P2S,…，PgS)。

如果f(x)為最小目標(biāo)函數(shù)，那么粒子i的最優(yōu)位置為

(18)

Kennedy和Eberhart用下列公式對(duì)粒子進(jìn)行操作：

vis(t+1)=vis(t)+c1r1s(t)(pis(t)-xis(t))+

c2r2s(t)(pgs(t)-xis(t))

(19)

xis(t+1)=xis(t)+vis(t+1)

(20)

式中，i=[1,m]，s=[1,S]；c1和c2為非負(fù)的學(xué)習(xí)因子；r1和r2為相對(duì)的隨機(jī)數(shù)，服從[0,1]均勻分布；vis∈[-vmax,vmax]，vmax為常數(shù)，視情況而定。

由式(19)和式(20)可知，c1和c2分別控制粒子向自身最優(yōu)位置和全局最優(yōu)位置移動(dòng)的步長(zhǎng)。vis∈[-vmax,vmax]，vmax為最大速度，如果搜索空間在[-xmax,xmax]中，則可以設(shè)定vmax=kxmax，0.1≤k≤1.0。Y.Shi和Eberhart對(duì)式(19)進(jìn)行了改進(jìn)：

vis(t+1)=w·vis(t)+c1r1s(t)(pis(t)-xis(t))+

c2r2s(t)(pgs(t)-xis(t))

(21)

式中，w為動(dòng)力常量，非負(fù)。w較大時(shí)，前一速度對(duì)當(dāng)前速度的影響較大，全局搜索能力較強(qiáng)；w較小時(shí)，前一速度對(duì)當(dāng)前速度的影響較小，局部搜索能力較強(qiáng)。通過調(diào)整動(dòng)力常量w值能夠跳出局部極小值。

為了平衡算法的搜索能力，w引入非線性的動(dòng)態(tài)權(quán)重，其表達(dá)式為

(22)

式中，wmax和wmin為w的最大值和最小值；f、favg和fmin分別為目標(biāo)函數(shù)值、平均目標(biāo)值和最小目標(biāo)值。w因慣性權(quán)重隨目標(biāo)函數(shù)值自動(dòng)改變，因此稱為自適應(yīng)權(quán)重。

當(dāng)目標(biāo)值集中時(shí)，慣性權(quán)重增大，而當(dāng)目標(biāo)函數(shù)分散時(shí)，相應(yīng)的慣性權(quán)重將減少，當(dāng)粒子的目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于平均目標(biāo)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的慣性權(quán)重因子較小，從而保留該粒子。相應(yīng)地，當(dāng)粒子的目標(biāo)函數(shù)值差于平均目標(biāo)值，其對(duì)應(yīng)的慣性權(quán)重因子較大，使粒子向較好的搜索區(qū)域靠攏。

自適應(yīng)粒子群算法對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和閾值按照上述規(guī)律進(jìn)行尋優(yōu)，最后找到最優(yōu)的PID參數(shù)。

5 仿真

由上文可知鋁合金熱連軋張力控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(23)

自適應(yīng)粒子群算法的參數(shù)設(shè)置為：c1=2，c2=2，種群總數(shù)為100，wmax=0.9，wmin=0.4，迭代次數(shù)為100，最小適應(yīng)度值為0.1，最大速率為1。用單位信號(hào)對(duì)張力控制系統(tǒng)分別進(jìn)行常規(guī)PID、自適應(yīng)粒子群優(yōu)化的PID、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID和PSO優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID進(jìn)行仿真，其結(jié)果如圖5所示。

圖5為鋁熱連軋張力控制系統(tǒng)在幾種PID控制器下的輸出結(jié)果，由圖可見，相比常規(guī)PID，自適應(yīng)權(quán)值粒子群PID和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID都能夠較快地達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，并且超調(diào)量較小，自適應(yīng)權(quán)值優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID的性能優(yōu)勢(shì)更加明顯，其超調(diào)量和穩(wěn)定時(shí)間均較小。由此可見，經(jīng)過改進(jìn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID優(yōu)化效果十分明顯，響應(yīng)速度快，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，幾乎沒有超調(diào)，因此控制精度更高，而常規(guī)PID調(diào)節(jié)時(shí)間長(zhǎng)，超調(diào)大，并且對(duì)非線性和復(fù)雜的張力控制系統(tǒng)難以滿足其控制要求，容易產(chǎn)生不良板形，造成資源浪費(fèi)。

圖5 仿真結(jié)果

6 結(jié)束語

針對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器在鋁熱連軋過程中收斂速度慢的問題，提出一種粒子群優(yōu)化算法，該算法引入自適應(yīng)權(quán)重，能夠通過目標(biāo)函數(shù)值的改變而自動(dòng)改變，從而調(diào)節(jié)全局搜索能力和收斂速度，能夠保證算法有較好的全局搜索能力和較快的收斂速度，從而提高計(jì)算效率。通過仿真對(duì)比，在鋁熱連軋張力控制系統(tǒng)中自適應(yīng)權(quán)值粒子群算法優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID控制器比其他PID控制器性能更佳，能夠很好地改善板形。