基于變步長LMS算法的交流阻抗測鋼筋腐蝕

(青島理工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，山東 青島 266000)

鋼筋混凝土在樓宇、橋梁等建筑中有著極其重要的作用，鋼筋銹蝕是導(dǎo)致混凝土結(jié)構(gòu)劣化的最主要因素[1-2]。鋼筋腐蝕會嚴(yán)重破壞混凝土結(jié)構(gòu)的耐久性，鋼筋腐蝕問題必須引起足夠的重視。在多種鋼筋腐蝕測量方法中，交流阻抗法精度較高，影響因素小，可以實現(xiàn)無損檢測，所以應(yīng)用比較廣泛。史美倫[3]等人提出用兩個不同的阻抗函數(shù)來描述鋼筋腐蝕的相關(guān)信息；伍遠(yuǎn)輝[4]等人用交流阻抗譜研究了混凝土鋼筋浸泡在氯離子溶液中的阻抗譜特征，測量結(jié)果仍然存在一定誤差。

交流阻抗法在測量鋼筋腐蝕程度時存在缺點，其響應(yīng)信號屬于微弱信號，在進(jìn)行腐蝕參數(shù)分析時信噪比較低，得到的鋼筋腐蝕的結(jié)果并不準(zhǔn)確。最小均方(LMS)算法具有計算難度小、魯棒性好等優(yōu)點，所以應(yīng)用比較廣泛[5-8]，但是其收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差無法達(dá)到一個很好的平衡，兩者無法同時獲得較好的效果。LMS中，步長因子的大小在收斂過程中起著十分重要的作用[9]。文獻(xiàn)[10]建立了一種步長因子與瞬時誤差的函數(shù)關(guān)系，但是該算法中步長因子的迭代會引入噪聲導(dǎo)致系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。文獻(xiàn)[11]提出了一種基于S函數(shù)的變步長自適應(yīng)濾波算法，其中步長因子與誤差之間的函數(shù)關(guān)系為S函數(shù)，該算法在加快收斂速度的同時一定程度上減小了穩(wěn)態(tài)誤差，但最終伴隨算法的運行，步長因子改變頻率越來越快，使系統(tǒng)仍然存在穩(wěn)態(tài)失調(diào)的可能性，濾波效果還有待進(jìn)一步完善?？紤]到這些不足，結(jié)合交流阻抗法中交流阻抗譜的腐蝕參數(shù)測量原理，提出一種基于變步長LMS自適應(yīng)濾波算法應(yīng)用于交流阻抗法測量鋼筋腐蝕，該算法在步長因子和誤差之間建立了一種新型的非線性關(guān)系，在提高收斂速度的同時能夠滿足系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的要求。與常規(guī)交流阻抗法相比，在保證施加信號為小幅度交流信號的前提下，仿真證明改進(jìn)的算法具有傳統(tǒng)算法所不具有的高精度和高信噪比，通過與幾種常用濾波算法的實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)此算法有更高的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性，能起到較好的濾波效果。

1 交流阻抗法原理

作為電化學(xué)測試技術(shù)的一種研究方法，交流阻抗法施加小幅度交流信號擾動于研究對象，在穩(wěn)態(tài)時觀察體系對擾動的跟隨情況[12]。交流阻抗法測量鋼筋腐蝕的簡單構(gòu)造如圖1所示，對鋼筋混凝土系統(tǒng)施加交流信號，利用探針獲取響應(yīng)信號，使用探針可以提高測量的信噪比，而且測量方式比較簡單。

圖1 交流阻抗法測量鋼筋腐蝕的簡單構(gòu)造圖

對鋼筋混凝土系統(tǒng)施加電壓信號

U(ω)=U0sin(ωt)

(1)

式中，U0為小幅施加電壓交流信號幅值；ω為角頻率，ω=2πf。

施加信號經(jīng)過鋼筋混凝土系統(tǒng)后會有一個響應(yīng)信號，利用探針獲取的響應(yīng)信號為

I(ω)=I0sin(ωt+θ)

(2)

式中，I0為響應(yīng)交流電流信號幅值；θ為響應(yīng)信號與施加信號之間的相位角，響應(yīng)信號與施加信號同頻率。概括來說，就是對鋼筋混凝土系統(tǒng)施加不同頻率的小幅度交流信號，測量響應(yīng)信號，以此得到交流阻抗譜，在不同頻率的情況下對鋼筋混凝土系統(tǒng)進(jìn)行交流阻抗測量，可以得到復(fù)數(shù)阻抗隨頻率變化的曲線，即交流阻抗譜[13]，通過阻抗譜能夠得到腐蝕參數(shù)，進(jìn)而對腐蝕情況判定。等效電路如圖2所示。

圖2 交流阻抗法測量鋼筋腐蝕的簡單構(gòu)造圖

其中Re為電極電阻，Rp為極化電阻，Cd為界面電容特性，復(fù)阻抗為

Z=Zr+jZi

(3)

根據(jù)式(3)可得

(4)

相位角的正切值為

(5)

將式(5)代入式(4)消去角頻率ω可得

(6)

當(dāng)采用交流阻抗法測量獲得鋼筋腐蝕參數(shù)時，由于施加信號是毫伏級的微弱信號，所以容易受到噪聲等信號的干擾，所以需要一種可靠的方式去除干擾信號，采取一種改進(jìn)的自適應(yīng)濾波算法來去除干擾信號，會使測量結(jié)果更加準(zhǔn)確。

2 傳統(tǒng)自適應(yīng)濾波器原理性能分析

2.1 自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)

典型的自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。其中x(n)為輸入信號，y(n)為輸出信號，d(n)期望信號，e(n)為誤差，其計算公式為

e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-WT(n)X(n)

(7)

圖3 自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)框圖

2.2 傳統(tǒng)LMS算法原理及分析

自適應(yīng)濾波算法有最小均方誤差(LMS)算法、最小二乘(LS)算法、最大信噪比算法、統(tǒng)計檢測算法等，其中LMS算法是Widrow和Hopf在1959年研究自適應(yīng)線性元素的模式識別方案時提出的[14]。LMS算法由于其具有結(jié)構(gòu)簡單、計算量小、收斂性和穩(wěn)定性較好等優(yōu)點而得到廣泛應(yīng)用。

使用LMS算法，目的是得到最小的濾波器的均方誤差，這樣可以不斷更新濾波器系數(shù)，使期望信號與濾波器輸出信號之間的誤差e(n)無限縮小，即在某種程度上，濾波器的輸出信號和想要得到的期望信號實現(xiàn)了匹配[15]。均方誤差可表示為

J(n)=E{e2(n)}=E{[d(n)-y(n)]2}

=E{d2(n)-2d(n)y(n)+y2(n)}

=E{d2(n)}-2E{d(n)WT(n)X(n)}+

E{WT(n)X(n)XT(n)W(n)}

=E{d2(n)}-2PWT(n)+WT(n)RW(N)

(8)

式中，R為輸入信號x(n)的自相關(guān)矩陣；P為輸入信號x(n)與期望信號d(n)的互相關(guān)矩陣，其表達(dá)式分別為

R=E{X(n)XT(n)}

(9)

P=E{X(n)d(n)}

(10)

自適應(yīng)濾波器的設(shè)計準(zhǔn)則是濾波器輸出y(n)與期望信號d(n)之間的均方誤差J(n)為最小值，要想得到最小的均方誤差，需要滿足式(11)，即

(11)

解得，

W(n)=R-1P

(12)

根據(jù)最速下降算法，沿著性能曲面負(fù)梯度(最速下降)方向調(diào)整濾波器權(quán)系數(shù)W(n),可以最快達(dá)到收斂的目標(biāo)值，權(quán)向量的迭代公式為

W(n+1)=W(n)+u[-▽J(n)]

(13)

式中，u為步長因子。

在LMS算法中，用瞬時誤差的平方代替均方誤差，則可以對濾波器瞬時抽頭的權(quán)向量求梯度，其表達(dá)式為

=-2e(n)X(n)

(14)

將式(14)代入式(13)可得

W(n+1)=W(n)+2ue(n)X(n)

(15)

從以上推導(dǎo)公式可以看出，傳統(tǒng)的LMS算法因為其計算簡單、易于實現(xiàn)、魯棒性好等優(yōu)點而被廣泛使用，但是其收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差無法達(dá)到一個很好的平衡，存在步長取值固定,無法兼顧收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差等不足[16]。從式(15)可以看出，通過增大步長因子u可以提高收斂速度來消除較大誤差，得到一個無法消除的較小誤差[17]，當(dāng)誤差較小時，步長因子太大會使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差變大，甚至使系統(tǒng)處于失調(diào)狀態(tài)，所以傳統(tǒng)的LMS算法因為其固定的步長因子而不具有對時變系統(tǒng)的跟蹤能力。

3 改進(jìn)的變步長LMS算法

3.1 變步長LMS自適應(yīng)濾波算法原理

為了改善自適應(yīng)濾波算法,文獻(xiàn)[9]完善了傳統(tǒng)的自適應(yīng)濾波算法，實現(xiàn)了改變步長的濾波算法(SVSLMS)，上文算法的改進(jìn)在一定程度上完善了傳統(tǒng)濾波算法的不足。在某些系數(shù)發(fā)生未知改變或處于實驗初步摸索階段時，步長因子變大的同時收斂速度變快，跟蹤速度有明顯增快的趨勢，但當(dāng)算法處于收斂階段時，要想實現(xiàn)較小的穩(wěn)態(tài)誤差，步長因子應(yīng)盡量小，才能避免出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)失?，F(xiàn)象。本系統(tǒng)實現(xiàn)了基于S形生長曲線函數(shù)的變步長算法(SVSLMS),其中，u(n)為e(n)的S形生長曲線函數(shù)。

u(n)=f(e(n))

=β(1/(1+exp(-α|e(n)|))-0.5)

(16)

其中常數(shù)β控制S函數(shù)的范圍，常數(shù)α控制S函數(shù)的形狀。本算法實現(xiàn)了收斂速度盡量快、穩(wěn)態(tài)誤差盡量小的要求，完善了傳統(tǒng)的自適應(yīng)濾波算法。但是，本算法e(n)在原點處波動較大，因而本算法仍存在不足之處。

3.2 新的變步長LMS算法

文獻(xiàn)[18]在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，針對其存在的不足，對步長因子u(n)和誤差e(n)之間的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行改進(jìn)，建立了一種新的非線性關(guān)系，如式(19)所示，使計算量較小并提高了收斂性，取得了較好的濾波效果。改進(jìn)后的新算法中步長因子u(n)和誤差e(n)的曲線圖與文獻(xiàn)[8]所提出算法的對比效果如圖4所示。從圖中可以看出，經(jīng)過改進(jìn)的算法效果有了明顯的改善，使得步長因子在誤差e(n)接近零處變化平緩，減小了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，很大程度上避免使系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)失調(diào)狀態(tài)。

u(n)=β(1-exp(-α|e(n)|2))

(17)

圖4 改進(jìn)后與改進(jìn)前的u(n)與e(n)的關(guān)系曲線對比圖

當(dāng)步長因子滿足0

0<β(1-exp(-α|e(n)|2))<1/λmax

(18)

即滿足β<1/λmax時算法收斂。

在應(yīng)用自適應(yīng)濾波算法時，往往需要根據(jù)實際情況來選擇調(diào)整步長因子以使系統(tǒng)的濾波效果達(dá)到最優(yōu)，下面對改進(jìn)的LMS自適應(yīng)濾波算法在不同參數(shù)時的性能進(jìn)行分析。

在滿足收斂條件時，當(dāng)式(18)中α參數(shù)固定時，隨著β參數(shù)的增大，其收斂速度加快，根據(jù)實際情況，如果系統(tǒng)對收斂速度要求較高，可以選擇較大的β值，如果系統(tǒng)對穩(wěn)態(tài)誤差要求較低，那么可以選擇較小的β值。同理可得，當(dāng)β參數(shù)固定時，α參數(shù)值越大，收斂速度越快，其在誤差接近零處收斂速度也較快，可以根據(jù)實際情況來自由選擇參數(shù)值，使系統(tǒng)達(dá)到最好的效果。

4 改進(jìn)的算法應(yīng)用于交流阻抗法

在交流阻抗法中由于輸入的交流信號幅值特別小，容易受到噪音信號的影響以及工頻干擾導(dǎo)致采集的響應(yīng)信號不準(zhǔn)確。第3節(jié)中介紹變步長的LMS自適應(yīng)濾波算法對于濾除干擾信號具有較好的性能，所以可以應(yīng)用于交流阻抗法來測量鋼筋的腐蝕參數(shù)。

因為施加信號和響應(yīng)信號頻率相同，所以根據(jù)施加信號的頻率可得到期望信號的頻率，響應(yīng)信號是混雜了擾動信號的雜波，頻率是不確定的，將響應(yīng)信號作為濾波器的輸入，采用改進(jìn)的變步長的LMS自適應(yīng)濾波算法之后，可以將干擾信號濾除掉，起到較好的濾波效果。

期望得到的響應(yīng)信號應(yīng)該為施加信號同頻率的正弦信號，但是往往存在各種干擾信號，無法直接獲取到有用信號。改進(jìn)后的自適應(yīng)濾波算法得到的信號波形與初始信號的對比如圖5所示，在經(jīng)過算法處理之后，信號穩(wěn)定在4 mV左右，初始信號幅值在干擾信號作用下在10 mV左右，對比可見該算法的濾波效果顯著。

圖5 改進(jìn)算法后的濾波前后對比圖

在進(jìn)行鋼筋腐蝕測量時，施加信號是掃頻信號，其頻率是變化的，要從交流阻抗譜中得到鋼筋混凝土體系與頻率相關(guān)的信息，進(jìn)而分析腐蝕參數(shù)，所以設(shè)計的自適應(yīng)濾波器應(yīng)該是對不同的頻率都有較好的濾波效果，不同頻率下濾波效果如圖6所示，圖中分別為高頻和低頻信號下的濾波效果圖，可以看出，該算法所設(shè)計的自適應(yīng)濾波器能對不同頻率的信號起到顯著的濾波效果，大大提高了鋼筋腐蝕參數(shù)的測量精度。

圖6 不同頻率下濾波效果圖

傳統(tǒng)的LMS算法和改進(jìn)的變步長LMS算法濾波之后的實驗數(shù)據(jù)的誤差對比如圖7所示。

圖7 誤差對比圖

由圖7可見，基于改進(jìn)的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法與傳統(tǒng)LMS算法相比，其準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性都有明顯的提升，由此可見，基于改進(jìn)的變步長LMS自適應(yīng)濾波算法應(yīng)用于交流阻抗法進(jìn)行鋼筋腐蝕參數(shù)的測量是一種有效且較為精確的方法。

5 結(jié)束語

交流阻抗法能有效測量鋼筋腐蝕參數(shù)，其響應(yīng)信號微弱，易受干擾，改進(jìn)的LMS自適應(yīng)濾波算法與傳統(tǒng)的LMS算法相比減小了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,將改進(jìn)的自適應(yīng)濾波算法應(yīng)用于交流阻抗法測量鋼筋腐蝕，大大提高了測量精度以及信噪比，減小了測量誤差。仿真結(jié)果及實驗數(shù)據(jù)表明：該自適應(yīng)濾波算法對干擾信號的濾除作用十分有效，效果顯著。