地錨式斜拉-懸索協(xié)作體系橋豎彎振動(dòng)基頻計(jì)算公式

王緒旺

(商洛學(xué)院城鄉(xiāng)規(guī)劃與建筑工程學(xué)院， 陜西 商洛 726000 )

隨著經(jīng)濟(jì)和技術(shù)的發(fā)展，在沿海地區(qū)修建大跨度斜拉橋或懸索橋等橋型已經(jīng)不能滿足工程的需要。針對(duì)這一迫切需求國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者提出了斜拉-懸索協(xié)作體系。土耳其博斯普魯斯海峽三橋的建成，標(biāo)志著該結(jié)構(gòu)體系進(jìn)入一個(gè)新的階段，開(kāi)展該結(jié)構(gòu)體系固有振動(dòng)特性研究具有較強(qiáng)的實(shí)用意義[1-7]。文獻(xiàn)[8]在計(jì)入主塔縱向抗彎剛度影響下，提出了對(duì)單跨簡(jiǎn)支地錨式懸索橋體系的豎彎基頻修正的計(jì)算表達(dá)式；文獻(xiàn)[9-11]在考慮主塔縱向抗彎剛度影響下，采用能量法推導(dǎo)了多塔懸索體系的豎彎振動(dòng)估算實(shí)用公式，并提出了中塔縱向抗彎剛度影響系數(shù)；文獻(xiàn)[12-14]以地錨式斜拉-懸索協(xié)作體系橋?yàn)檠芯繉?duì)象，研究該結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)特性及不同約束條件對(duì)其力學(xué)性能的影響，遺憾的是未能給出相應(yīng)的理論解。本文以三跨連續(xù)體系的地錨式懸索橋?yàn)檠芯繉?duì)象，在計(jì)入主塔縱向抗彎剛度的影響下，采用能量法推導(dǎo)其豎彎振動(dòng)基頻估算實(shí)用公式，以供該協(xié)作體系橋在初步概念設(shè)計(jì)階段選擇合理計(jì)算參數(shù)或?qū)?shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行復(fù)核。

1 基于能量法的地錨式協(xié)作體系的豎彎基頻估算實(shí)用公式

1.1 地錨式斜拉-懸索協(xié)作體系的勢(shì)能

主纜的勢(shì)能主要由2部分組成，即主纜水平分力變化產(chǎn)生的彈性勢(shì)能Uce和主纜重力作用點(diǎn)變化引起的重力勢(shì)能Ucg，即

主纜的彈性勢(shì)能為：

(1)

(2)

(3)

式中符號(hào)如圖1所示。

圖1 橋跨布置立面

主纜的重力勢(shì)能為

(4)

式中:v為加勁梁的振型函數(shù)；Hq為主纜恒載作用下的水平分力。

拉索的彈性勢(shì)能為

(5)

式中:EciAci/Lci，αci分別為拉索的單位軸向剛度及水平傾角。

加勁梁的彎曲勢(shì)能為

(6)

式中:EgIg為加勁梁的抗彎剛度。

(7)

式中:Hi，Hi+1分別為i，i+1號(hào)主跨的主纜的水平分力；Sti為第i號(hào)主塔的抗彎剛度。

該協(xié)作體系的勢(shì)能為上述各構(gòu)件的勢(shì)能之和，即

(8)

1.2 地錨式斜拉-懸索協(xié)作體系的動(dòng)能

(9)

式中：mc為主纜的單位橋長(zhǎng)質(zhì)量。

(10)

式中：mg為加勁梁的單位橋長(zhǎng)質(zhì)量。

主塔的動(dòng)能為

(11)

式中：mti為第i號(hào)主塔的質(zhì)量。

(12)

式中：mhi為第i號(hào)吊索的質(zhì)量。

(13)

式中：mci為拉索的線均布質(zhì)量。

該協(xié)作體系的動(dòng)能為上述各構(gòu)件的動(dòng)能之和，即

(14)

1.3 地錨式斜拉-懸索協(xié)作體系的豎彎頻率計(jì)算表達(dá)式

由能量法可得，地錨式斜拉-懸索協(xié)作體系橋的豎彎頻率計(jì)算表達(dá)式為

(15)

根據(jù)文獻(xiàn)[12-14]研究成果，可將式(15)簡(jiǎn)化為

(16)

2 地錨式協(xié)作體系的變形協(xié)調(diào)方程

地錨式協(xié)作體系的一階豎彎基本振型如圖2、圖3所示。

圖2 地錨式協(xié)作體系的1階對(duì)稱豎彎振型

圖3 地錨式協(xié)作體系的1階反對(duì)稱豎彎振型

2.1 地錨式協(xié)作體系的1階對(duì)稱豎彎變形協(xié)調(diào)方程

該協(xié)作體系做1階對(duì)稱豎彎振動(dòng)時(shí)的邊、主跨的變形協(xié)調(diào)方程分別為

(17)

(18)

式中，ut為該體系做1階對(duì)稱豎彎振動(dòng)的主塔的位移。

該協(xié)作體系做1階對(duì)稱振動(dòng)時(shí)，主塔的受力計(jì)算圖示如圖4所示。

圖4 地錨式協(xié)作體系1階對(duì)稱主塔受力示意圖

其力學(xué)平衡方程為

(19)

式中，EtIt，ht為主塔的抗彎剛度、高度。

聯(lián)立求解式(17)—(19)，可得：

(20)

(21)

2.2 地錨式協(xié)作體系的一階對(duì)稱豎彎變形協(xié)調(diào)方程

該協(xié)作體系做一階反對(duì)稱豎彎振動(dòng)時(shí)的邊、主跨變形協(xié)調(diào)方程分別為：

(22)

(23)

(24)

該協(xié)作體系做一階反對(duì)稱豎彎振動(dòng)時(shí)，主塔的受力如圖5所示。

圖5 地錨式協(xié)作體系1階豎彎反對(duì)稱主塔受力示意圖

其力學(xué)平衡方程為：

H2+Stut=H1

(25)

H3+Stut=H2

(26)

聯(lián)立求解式(22)─(26)，可得：

(27)

(28)

(29)

3 地錨式協(xié)作體系的一階對(duì)稱豎彎基頻計(jì)算式

加勁梁1階對(duì)稱振型關(guān)于中跨跨中對(duì)稱如圖2所示，設(shè)加勁梁的自由振動(dòng)振型函數(shù)為：

(30)

(31)

由于加勁梁的振型函數(shù)在橋塔處滿足變形協(xié)調(diào)條件，可得

(32)

于是，可得

(33)

式中：λ為主塔剛度影響系數(shù)。

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

將式(33)—(38)代入式(16)，可得其的一階豎彎對(duì)稱基頻的計(jì)算式為

(39)

4 地錨式協(xié)作體系的一階反對(duì)稱豎彎頻率計(jì)算式

加勁梁一階反對(duì)稱振型關(guān)于中跨跨中反對(duì)稱如圖3所示，設(shè)其加勁梁的自由振動(dòng)振型函數(shù)分別為：

(40)

(41)

(42)

于是，可得：

(43)

(44)

(45)

將式(43)─(45)代入式(16)，可得其一階反對(duì)稱豎彎基頻的計(jì)算式為

(46)

5 算例分析

為驗(yàn)證本文解的計(jì)算精度，本文以文獻(xiàn)[14]中的算例為例進(jìn)行校核。該橋跨徑布置為319 m +1 400 m +319 m。結(jié)構(gòu)計(jì)算參數(shù)及計(jì)算結(jié)果如表1、2所示。

表1 結(jié)構(gòu)計(jì)算參數(shù)

表 2 不同計(jì)算方法結(jié)果比較

注：“/”前為文獻(xiàn)[14]與理論解1的誤差，理論解1為計(jì)入主塔抗彎剛度的結(jié)構(gòu)體系的豎彎基頻；“/”后為文獻(xiàn)[14]與理論解2的誤差，理論解2為未計(jì)入主塔抗彎剛度的豎彎基頻

算例分析表明，在計(jì)入主塔抗彎剛度影響下，理論解1法與文獻(xiàn)[14]法計(jì)算得到的該體系的豎彎振動(dòng)基頻的計(jì)算誤差在5%左右；在未計(jì)入主塔抗彎剛度影響下，理論解2與文獻(xiàn)[14]解之間的誤差最大為9.15%。存在上述誤差的根本原因是該協(xié)作體系的實(shí)際振型函數(shù)與本文假設(shè)的加勁梁的振型函數(shù)存在一定差異造成的；理論解1的對(duì)稱豎彎基頻計(jì)算精度相對(duì)理論解2的計(jì)算精度要高，其原因在于理論解1中計(jì)入主塔縱向抗彎剛度的影響。同時(shí)不難發(fā)現(xiàn)，該協(xié)作體系的基頻比同等跨徑布置的懸索體系的基頻略大，其原因在于在協(xié)作體系中，計(jì)入拉索對(duì)結(jié)構(gòu)體系的影響。

6 結(jié)論

1)地錨式協(xié)作體系橋梁豎向彎曲振動(dòng)動(dòng)力特性是由纜索結(jié)構(gòu)決定的。該體系的豎向彎曲振動(dòng)基頻較同等跨徑布置的地錨式懸索橋的豎彎彎曲基頻要略大，其原因在于斜拉索對(duì)該協(xié)作體系的剛度的貢獻(xiàn)。

2)本文利用加勁梁自由振動(dòng)的振型函數(shù)在橋塔處滿足變形協(xié)調(diào)條件，采用能量法推導(dǎo)了該協(xié)作體系的豎彎振動(dòng)頻率估算實(shí)用公式，此式可用于該協(xié)作體系橋梁在初步設(shè)計(jì)階段選取合理的計(jì)算參數(shù)或?qū)?shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行復(fù)核。

3)本文所推導(dǎo)的豎彎振動(dòng)基頻估算實(shí)用公式僅僅適用于三跨連續(xù)支承體系的地錨式協(xié)作體系橋梁的豎彎基頻估算，對(duì)其他協(xié)作體系的豎彎振動(dòng)基頻估算并不適用。為進(jìn)一步提高所推導(dǎo)的計(jì)算公式的計(jì)算精度，在后續(xù)的研究中可考慮縱飄振動(dòng)對(duì)豎彎振動(dòng)的影響，以便提高計(jì)算精度。