基于復(fù)合評價值的小波去噪?yún)?shù)選定方法

焦志浩,呂迎春

(太原理工大學(xué) 電氣與動力工程學(xué)院， 太原 030024)

在處理非穩(wěn)態(tài)噪聲信號時，考慮到小波變換相比于傅里葉變換在時域和頻域具有更好的刻畫能力和其本身的多分辨性的原因，小波變換成為了近幾年降噪領(lǐng)域的研究熱點。 含噪信號的小波閾值去噪，主要研究集中在小波基函數(shù)的選取與構(gòu)造、分層數(shù)確定和閾值函數(shù)的改進(jìn)[1-2]。對小波閾值函數(shù)的研究主要集中在提出或改進(jìn)硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)、硬軟閾值折中和自適應(yīng)閾值函數(shù)等方面[3-5]。對于小波基和分層數(shù)的研究，結(jié)合噪聲特征值提取算法、香農(nóng)熵定理、分解系數(shù)比等方法，實現(xiàn)對小波基或者分層數(shù)的自適應(yīng)選擇[6-9]。

以上研究都是從單一的某個方面選定小波去噪?yún)?shù)，無法一次性通過一種方法對小波去噪?yún)?shù)進(jìn)行選定，這就導(dǎo)致在使用小波閾值去噪時，只能逐項選定某一項參數(shù)，致使選取過程過于零散，無法形成統(tǒng)一的選取過程。本文嘗試將小波基函數(shù)和分層數(shù)的選取統(tǒng)一到同一方法中，在確定某一個參數(shù)之后，再確定另一參數(shù)，使得參數(shù)的選擇過程簡化。因此，本文提出了一種基于復(fù)合評價值的小波去噪?yún)?shù)選擇方法，通過構(gòu)建復(fù)合評價值來統(tǒng)一確定小波閾值去噪法中小波基和分層數(shù)。

1 優(yōu)選評價指標(biāo)構(gòu)建復(fù)合評價值

1.1 小波去噪質(zhì)量評價指標(biāo)

傳統(tǒng)的評價指標(biāo)一般包括均方根誤差(RMSE)、信噪比(SNR)、平滑度(r)。一般而言，均方根誤差(RMSE)是指去噪后信號與原信號的均方誤差，體現(xiàn)了信號的細(xì)節(jié)去噪情況，均方根誤差越小，表示去噪效果越好。信噪比(SNR)是指原始信號能量與噪聲能量的比值，體現(xiàn)了噪聲信號對于整體信息的影響，信噪比越高，去噪效果越好。平滑度(r)是指去噪后信號1階差分的方差根與原始信號1階差分的方差根之比，體現(xiàn)了信號的整體變異信息，平滑度越小，表明去噪效果越好。

1.2 構(gòu)建復(fù)合評價值

信號在小波變換以后產(chǎn)生細(xì)節(jié)信息和逼近信息，細(xì)節(jié)信息代表信號的細(xì)節(jié)分量，逼近信息代表信號的整體特征。由于小波閾值去噪中，閾值處理主要是針對細(xì)節(jié)信息，可以選取均方根誤差作為評價指標(biāo)。同時，平滑度作為衡量信號整體變異信息的指標(biāo)，可以代表逼近信息的指標(biāo)。因此，從信號進(jìn)行小波分解后的細(xì)節(jié)信息和逼近信息的角度，選取均方根誤差和平滑度2個評價指標(biāo)，來衡量小波閾值去噪效果。

根據(jù)朱建軍等[10]的融合方法，首先對均方根誤差和平滑度進(jìn)行歸一化，再利用變異系數(shù)法[11]確定2個指標(biāo)的權(quán)重，最后，將權(quán)重值與評價指標(biāo)值線性組合，得到復(fù)合評價值。變異系數(shù)法是利用評價體系中的既有信息計算各指標(biāo)的權(quán)重，反映被評價指標(biāo)之間的差距，是一種客觀賦權(quán)的方法。在本文中，均方根誤差和平滑度作為2種不同性質(zhì)的信息，在指標(biāo)融合的過程中，需要分別確定其在復(fù)合評價指標(biāo)中的權(quán)重。系數(shù)變異法作為一種客觀反映不同指標(biāo)差距的方法，可以用來確定均方根誤差和平滑度在復(fù)合評價中的權(quán)重。通過計算均方根誤差和平滑度的標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比，得到變異系數(shù)，再求取各變異系數(shù)在整體中的比值，即可得到兩者的權(quán)值，具體定權(quán)過程由式(1)～(4)所示。

由于2個指標(biāo)融合以后，隨著分解層數(shù)的增加，勢必會出現(xiàn)一個極值[10]，而極值點代表細(xì)節(jié)信息和逼近信息的最佳重構(gòu)點，也就是信號去噪效果的最優(yōu)點，同時由于均方根誤差和平滑度的值越小去噪效果越好，因此，可以得出復(fù)合評價值越小，去噪效果越好。

融合的具體過程如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

T=WPRMSE×PRMSE+WPr×Pr

(5)

式中：PRMSE和Pr表示均方根誤差和平滑度的歸一化值；CVPRMSE和CVPr表示均方根誤差和平滑度的變異系數(shù)；σPRMSE和σPr表示均方根誤差和平滑度的標(biāo)準(zhǔn)差；μPRMSE和μPr表示均方根誤差和平滑度的均值；WPRMSE和WPr表示均方根誤差和平滑度變異系數(shù)的權(quán)值；T表示復(fù)合評價指標(biāo)值。

2 小波閾值法去噪

2.1 小波閾值去噪的基本原理

小波閾值去噪的基本原理是信號通過小波變換以后分成細(xì)節(jié)信息和逼近信息2個部分,然后根據(jù)設(shè)置的不同閾值函數(shù)，將關(guān)聯(lián)的小波系數(shù)給予保留或者按照某種規(guī)律進(jìn)行收縮，最后利用小波逆變換將處理后的信號進(jìn)行重構(gòu)。

噪聲信號的數(shù)學(xué)模型可以使用加性噪聲信號來表示，其原理是在純凈信號中加上等信號長度的高斯噪聲信息。其公式如下：

f(t)=v(t)+n(t)

(6)

式中：f(t)是含噪信號；v(t)是純凈信號；n(t)為服從正態(tài)分布且方差為0的高斯噪聲信息。

去噪過程的數(shù)學(xué)公式描述如下：

(7)

在這個過程中，第1步選擇合適的小波基和分層數(shù)；第2步選擇合適的閾值函數(shù)和確定最佳閾值進(jìn)行去噪；第3步利用小波逆變換，將處理以后的信號重構(gòu)。

2.2 小波參數(shù)的選取

2.2.1小波基和分層數(shù)的初選

小波基函數(shù)決定了信號分解的描述類型，一般對于不同的信號采用的小波基函數(shù)也有所不同，為了使超聲含噪信號的去噪效果達(dá)到最優(yōu)，盡可能在信號分解以后產(chǎn)生較多的小波系數(shù)。本文選用Symlet小波，Symlet小波是由Daubechies小波系改進(jìn)而來，具有良好的正則性和對稱性，在小波重構(gòu)時可以使重構(gòu)信號具有更好的光滑性。

在小波閾值去噪法中分層數(shù)的選擇決定了信號分解的完整性，若分解層數(shù)過低，會導(dǎo)致原始信號與噪聲信號的匹配特征不明顯，若分解層數(shù)過大，重構(gòu)后的信號失真性變大。因此，本文對于分層數(shù)的選取，借助經(jīng)驗法[12]先選取分層數(shù)的大致范圍，同時為增加實驗的嚴(yán)謹(jǐn)性，選取了2～9層。

2.2.2小波閾值函數(shù)的選取

小波閾值去噪中最重要的環(huán)節(jié)是小波閾值函數(shù)的選取。在小波閾值去噪中，硬閾值(H)去噪方式具有最大保留高頻系數(shù)的特點，軟閾值(S)去噪方式具有保持信號的連續(xù)性的特點，可以使得去噪信號重構(gòu)以后更加光滑。硬軟閾值是應(yīng)用最早、最簡潔和最成熟的2種去噪方式，其他的閾值去噪方式大都是在其基礎(chǔ)上改進(jìn)而來，去噪結(jié)果也都是對比軟硬閾值去噪方式的結(jié)果。本文重點在于構(gòu)建符合評價值選取小波基和分層數(shù)，使用硬軟閾值去噪方式的意義在于增加實驗結(jié)果的可信性和可靠性，以此來與其他文獻(xiàn)做對比。因此，本文采用硬閾值(H)和軟閾值(S)二種方式來分別處理不同的含噪信號。

硬閾值和軟閾值函數(shù)表達(dá)式為：

(8)

式(8)中，上式為硬閾值函數(shù)，下式為軟閾值函數(shù)。硬閾值函數(shù)是指：小波系數(shù)的絕對值小于閾值時，小波系數(shù)置零；反之，保留原系數(shù)。軟閾值函數(shù)是指：小波系數(shù)的絕對值大于閾值時，將小波系數(shù)的絕對值與閾值做差；反之，小波系數(shù)置零。

閾值選擇的方法是采用基于史坦無偏似然估計(二次方差)原理的自適應(yīng)閾值選擇。對于給定的一個閾值t，得到其似然估計，再將似然t最小化，就得到所選的閾值t。

3 參數(shù)統(tǒng)一選定方法設(shè)計及實驗結(jié)果分析

本文利用Matlab 2014b仿真平臺，采用自帶的通用blocks和bumps信號，超聲回波信號采用理想狀況下的雙指數(shù)模型[13]，模擬頻率為40 kHz，采樣頻率為1 000 kHz的T/R40系列的信號模型。

3.1 參數(shù)統(tǒng)一選定方法步驟

1) 初選小波參數(shù)。大致確定小波基的類型和分層數(shù)的范圍。

2) 小波閾值法去噪。使用硬軟閾值2種去噪方式，對含噪信號進(jìn)行去噪。

3) 融合評價指標(biāo)得到復(fù)合評價指標(biāo)值。去噪以后得到均方根誤差和平滑度指標(biāo)，融合得到復(fù)合評價值。

4) 確定分層數(shù)和小波基。根據(jù)得到的復(fù)合評價值，首先確定分層數(shù)，進(jìn)而確定小波基。

3.2 實驗結(jié)果分析

理想狀態(tài)下的blocks、bumps信號如圖1所示。為模擬噪聲信息，在原始信號上加入10 dB的高斯白噪聲，其含噪信號如圖2所示。

圖3和圖4分別為blocks、bumps含噪信號在軟硬閾值去噪方式下的復(fù)合評價值的變化趨勢。分析可知，不同的小波基隨著小波分解層數(shù)的不斷增加，其復(fù)合評價值變化規(guī)律大致相同。小波變換分層數(shù)從2層到4層，復(fù)合評價值逐漸下降；從4層到9層，復(fù)合評價值逐漸增大。由此可見，復(fù)合評價值在4層取得極小值，根據(jù)復(fù)合評價值的意義，小波的最優(yōu)分解層參數(shù)為4層。

圖1 原始信號

圖2 含噪信號

圖3 硬閾值(H)下不同信號的復(fù)合評價值變化趨勢

表1和表2分別為4層分解數(shù)下blocks、bumps含噪信號在軟硬閾值去噪方式下的復(fù)合評價值。分析可知，blocks含噪信號在選取sym7小波基時，復(fù)合評價值最小。根據(jù)復(fù)合評價值的意義，小波的最優(yōu)小波基參數(shù)為sym7小波基；bumps含噪信號在選取sym6小波基時，復(fù)合評價值最小，根據(jù)復(fù)合評價值的意義，小波的最優(yōu)小波基參數(shù)為sym6小波基。

表1 blocks信號復(fù)合評價值

表2 bumps信號復(fù)合評價值

由上述分析過程可知，對于blocks、bumps含噪信號使用小波閾值去噪方法，選擇硬軟閾值去噪方式。通過復(fù)合評價值的變化趨勢和尋找最小值點，可以將小波閾值去噪?yún)?shù)中的小波基函數(shù)和分層數(shù)的選取統(tǒng)一到一個方法中。所以，bumps含噪信號使用小波閾值去噪方法，選用 sym7小波基函數(shù)，4層分層數(shù)，取得了最好的去噪效果；bumps含噪信號使用小波閾值去噪方法，選用 sym6小波基，4層分層數(shù)，取得了最好的去噪效果。表3為本文方法取得的去噪結(jié)果，從信噪比和均方根誤差2個方面衡量了含噪信號的去噪效果。表4為文獻(xiàn)[14]取得的去噪效果，也從信噪比和均方根誤差2個方面衡量了去噪效果。將表3與表4相對比可知，本文方法的去噪效果優(yōu)于文獻(xiàn)[14]的去噪效果,證明本文方法中統(tǒng)一選擇小波基和分層數(shù)的方法是合理且有效的。去噪效果圖如圖5和圖6所示。

表3 本文方法去噪結(jié)果

表4 文獻(xiàn)[14]去噪結(jié)果

圖5 硬閾值去噪效果

最后，將本文方法應(yīng)用到超聲回波信號小波閾值去噪中，超聲回波信號和含噪如圖7所示。通過復(fù)合評價值的變化趨勢和尋找最小值點，確定了小波閾值去噪法選定參數(shù)為sym7小波基和4層分層數(shù)。去噪結(jié)果如表3所示，去噪的效果如圖8所示。

圖6 軟閾值去噪效果

4 結(jié)論

為了解決含噪信號在使用小波閾值去噪時的小波基和分層數(shù)的難以統(tǒng)一選定問題，將小波變換對信號分解的意義與傳統(tǒng)評價指標(biāo)的意義相結(jié)合，融合得到復(fù)合評價值。在小波閾值去噪以后復(fù)合評價值的變化趨勢和極值點統(tǒng)一確定小波基和分層數(shù)，且將方法應(yīng)用到超聲回波信號去噪中。本文可以歸納出以下結(jié)論：

1) 小波去噪質(zhì)量評價指標(biāo)均方根誤差和平滑度融合得到的復(fù)合評價值，其總體變化趨勢呈現(xiàn)先下降后上升，出現(xiàn)的極值點可作為選取小波閾值去噪?yún)?shù)的依據(jù)。

2) 存在極值點以后的復(fù)合評價值并不是都符合增大的趨勢。

3) 下一步工作在本文方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合自適應(yīng)閾值函數(shù)，研究如何達(dá)到更優(yōu)的去噪效果。

圖7 超聲波信號

圖8 不同閾值下的去噪效果