管道水力摩阻系數(shù)的敏感性分析

郭永鑫，郭新蕾，楊鵬志，付 輝，王 濤

（1.中國(guó)水利水電科學(xué)研究院 流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國(guó)家重點(diǎn)試驗(yàn)室，北京 100038；2.河北水利電力學(xué)院，河北 滄州 061001）

1 研究背景

管道輸水具有效率高、環(huán)境影響小、拆遷占地少、運(yùn)行調(diào)度安全可靠、維護(hù)管理簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于城市給排水、農(nóng)業(yè)灌溉、跨流（區(qū)）域調(diào)水等水利工程中。管道水力計(jì)算公式及其摩阻系數(shù)的合理選用是流體輸送工程設(shè)計(jì)的關(guān)鍵，其選取合理與否直接影響水力計(jì)算成果的精度，進(jìn)而影響工程的總體布局、設(shè)計(jì)規(guī)模、投資乃至運(yùn)行費(fèi)用?，F(xiàn)有規(guī)范和工程設(shè)計(jì)常用的水力計(jì)算公式及相應(yīng)的摩阻系數(shù)有［1-2］：達(dá)西-魏斯巴哈（Darcy-Weisbach）公式和達(dá)西摩阻系數(shù)λ，海森-威廉（Hazen-Williams）公式和海森-威廉系數(shù)Ch，謝才-曼寧（Chézy-Manning）公式和曼寧糙率系數(shù)n。

大量研究和工程實(shí)踐表明水力摩阻系數(shù)不僅與管道內(nèi)壁的粗糙度有關(guān)，而且受管徑D、流速V、水流黏滯系數(shù)ν等的影響［3-4］。然而，國(guó)內(nèi)現(xiàn)有規(guī)范給出的摩阻系數(shù)取值范圍較寬，對(duì)摩阻系數(shù)影響因素的考慮不全面，導(dǎo)致工程設(shè)計(jì)，尤其是大口徑輸水管道的摩阻系數(shù)精確取值困難，部分工程的水力計(jì)算誤差較大。例如，新疆北疆供水工程小洼槽倒虹吸，采用DN3100 玻璃鋼夾砂管，曼寧糙率系數(shù)設(shè)計(jì)值n=0.0090，工程運(yùn)行后實(shí)測(cè)n=0.0106，比設(shè)計(jì)值大18%，導(dǎo)致上下游進(jìn)出口水位差比設(shè)計(jì)值增加0.6 m，不能滿足設(shè)計(jì)輸水流量要求［5］；三個(gè)泉倒虹吸采用鋼管和PCCP 管的組合方案，其中DN2700 環(huán)氧內(nèi)襯鋼管的曼寧糙率系數(shù)設(shè)計(jì)值n=0.0120，實(shí)測(cè)n=0.0098，比設(shè)計(jì)值小23%，DN2800PCCP 管道的曼寧糙率系數(shù)設(shè)計(jì)值n=0.0135，實(shí)測(cè)n=0.0108，比設(shè)計(jì)值小25%，實(shí)際過(guò)流能力大于設(shè)計(jì)值，原設(shè)計(jì)方案偏于保守［6］；南水北調(diào)中線北京段DN4000PCCP 管道，曼寧糙率系數(shù)設(shè)計(jì)值n=0.0120，實(shí)測(cè)n=0.0101，比設(shè)計(jì)值小15%，實(shí)際運(yùn)行水頭損失（5.30 m）僅為設(shè)計(jì)值（7.64 m）的69%［7］。

因此，有必要通過(guò)建立不同水力摩阻系數(shù)間的換算關(guān)系，系統(tǒng)分析各摩阻系數(shù)對(duì)不同因素的敏感程度和變化規(guī)律，進(jìn)而提出工程中水力計(jì)算公式選用和摩阻系數(shù)取值應(yīng)注意的問(wèn)題。

2 管道水力計(jì)算公式

2.1 達(dá)西-魏斯巴哈公式

式中：hf為管道沿程水頭損失，m；λ為達(dá)西摩阻系數(shù)；D 為管道內(nèi)徑，m；L 為管段長(zhǎng)度，m；V 為管道平均流速，m/s；g 為重力加速度，m/s2。達(dá)西-魏斯巴哈公式適用于不同流體（氣體或液體）的不同流態(tài)（包括層流和紊流），達(dá)西摩阻系數(shù)λ通常采用柯?tīng)柌蹇?懷特（Colebrook - White）公式計(jì)算：

式中：k 為當(dāng)量粗糙度，m；Re 為雷諾數(shù)。柯?tīng)柌蹇?懷特公式是計(jì)算紊流區(qū)達(dá)西摩阻系數(shù)λ的半理論半經(jīng)驗(yàn)公式，其適用范圍涵蓋了光滑管區(qū)、紊流過(guò)渡區(qū)和粗糙管區(qū)，大量的試驗(yàn)結(jié)果表明該式與實(shí)際商用管道的阻力試驗(yàn)結(jié)果吻合良好，被公認(rèn)為是管道水力計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)方程［8］。

當(dāng)水流處于紊流粗糙區(qū)時(shí)，雷諾數(shù)Re足夠大，式（2）可簡(jiǎn)化為尼古拉茲（Nikurasde）粗糙管區(qū)公式：

2.2 海森-威廉公式

式中：Ch為海森-威廉系數(shù)；Q 為管道流量，m3/s。海森-威廉公式是在D＜1.8m 工業(yè)管道的大量測(cè)試數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上建立的經(jīng)驗(yàn)公式，適用范圍為部分紊流過(guò)渡區(qū)，Ch的取值范圍介于100 ～157 之間［9-10］，該式在我國(guó)市政給排水管網(wǎng)設(shè)計(jì)中應(yīng)用較廣。

2.3 謝才公式

式中：C 為謝才系數(shù)，m1/2/s；R 為水力半徑，m。謝才系數(shù)C 通常采用曼寧（Manning）公式計(jì)算：

式中：n 為曼寧糙率系數(shù)。曼寧經(jīng)驗(yàn)公式最初來(lái)源于明渠均勻流的水力計(jì)算，用于管道時(shí)僅適用于紊流粗糙區(qū)或非滿管重力流輸水。然而，由于一直以來(lái)的工程設(shè)計(jì)習(xí)慣，以及公式簡(jiǎn)單的指數(shù)關(guān)系，我國(guó)水利工程中普遍使用該式進(jìn)行水力計(jì)算，即使管內(nèi)水流處于紊流過(guò)渡區(qū)流態(tài)［11］。

上述各摩阻系數(shù)之間可相互進(jìn)行換算，其關(guān)系式為：

3 水力摩阻系數(shù)的敏感性分析

以達(dá)西-魏斯巴哈公式和柯?tīng)柌蹇?懷特公式為水力計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)，依據(jù)各摩阻系數(shù)間換算關(guān)系式（7）和式（8），分析管道內(nèi)壁當(dāng)量粗糙度k、管徑D、流速V、水溫（水流黏滯系數(shù)ν）等因素對(duì)摩阻系數(shù)取值的敏感性影響。

3.1 摩阻系數(shù)的相對(duì)變化率關(guān)系式上述各水力計(jì)算公式可寫(xiě)為水力坡降J 與摩阻系數(shù)、管徑D 和流速V 的關(guān)系式，對(duì)水力坡降J 求全微分可得：

式中：J 為水力坡降，J= hf/L；由微分運(yùn)算性質(zhì)可知式（9）—式（11）表示水力坡降J 與各水力摩阻系數(shù)、流速V 和管徑D 之間的相對(duì)變化率關(guān)系。特別地，當(dāng)流速V 和管徑D 一定時(shí)各摩阻系數(shù)的相對(duì)變化率近似滿足：

上式表明：流速V 和管徑D 一定時(shí)，管道內(nèi)壁越粗糙，水力坡降J、達(dá)西摩阻系數(shù)λ和曼寧糙率系數(shù)n 越大，而海森-威廉系數(shù)Ch越??；曼寧糙率系數(shù)n 和海森-威廉系數(shù)Ch取值的1%相對(duì)誤差將引起水力坡降J 或沿程水頭損失約2%的相對(duì)誤差，計(jì)算誤差被成倍放大，這也進(jìn)一步說(shuō)明了摩阻系數(shù)合理取值對(duì)輸水工程精確水力計(jì)算的重要性。

3.2 當(dāng)量粗糙度k圖1為DN1000mm，水溫15 ℃，流速范圍0.3 ～3.0 m/s（考慮工程運(yùn)行的技術(shù)經(jīng)濟(jì)性，輸水管道流速通常不超過(guò)3.0m/s［1］），當(dāng)量粗糙度k 分別為0.00、0.10、0.20 和0.30 mm 時(shí)各摩阻系數(shù)隨流速的變化，表1為流速V=1.0 m/s 和V=3.0 m/s 的摩阻系數(shù)值及其相對(duì)變率。由圖表可知：流速V 和管徑D 一定時(shí)，管道的當(dāng)量粗糙度k 增大，相對(duì)粗糙度（k/D）增大，水力坡降J、達(dá)西摩阻系數(shù)λ和曼寧糙率n 值增大，海森-威廉系數(shù)Ch減小，摩阻系數(shù)間的相對(duì)變化率關(guān)系近似遵循式（12）；各摩阻系數(shù)的相對(duì)變化率隨流速的增大而增大，隨當(dāng)量粗糙度k 的增大而減小。

表1 當(dāng)量粗糙度k 對(duì)摩阻系數(shù)的敏感性影響

3.3 管徑D圖2為當(dāng)量粗糙度k=0.10 mm，流速范圍0.3 ～3.0 m/s，DN100 ～DN2600 不同管徑的摩阻系數(shù)計(jì)算結(jié)果。大量試驗(yàn)研究和現(xiàn)場(chǎng)檢測(cè)結(jié)果表明，水泥砂漿內(nèi)襯球墨鑄鐵管［12-13］和PCCP 管道［14-15］的當(dāng)量粗糙度近似為k=0.10 mm。由圖可知，當(dāng)量粗糙度k 一定時(shí)，在相同流速V 和水溫下，管徑D增加，相對(duì)粗糙度（k/D）減小，水力坡降J 和達(dá)西摩阻系數(shù)λ減小，而曼寧糙率系數(shù)n 和海森-威廉系數(shù)Ch均增加。

曼寧糙率n 隨管徑D 的變化規(guī)律與《SL 702-2015 預(yù)應(yīng)力鋼筒混凝土管道技術(shù)規(guī)范》［16］中“同種管材，管徑D 越大，粗糙系數(shù)n 越小”的論述相矛盾。由微分關(guān)系式（11）可知，水力坡降J 隨著曼寧糙率n 和流速V 的增大而增大，但隨著管徑D 的增大而減小。由于管徑D 變化引起的曼寧糙率n 的相對(duì)變化率要遠(yuǎn)小于D 的相對(duì)變化率（參見(jiàn)表2），因此，雖然曼寧糙率n 隨著管徑D 增大而略有增大，但是水力坡降J 總是隨著管徑D 的增大而減小。只有當(dāng)管徑D 一定時(shí)，水力坡降J 才隨著曼寧糙率n 的增大而增大。顯然，規(guī)范［16］對(duì)曼寧糙率n 與管徑D 之間的變化規(guī)律考慮不足。

圖3為當(dāng)量粗糙度k=0.10 mm，不同流速、不同管徑的曼寧糙率系數(shù)n 和海森-威廉系數(shù)Ch。由圖可知：流速V=1.0 m/s 時(shí)，管徑由DN100 變化到DN2600，曼寧糙率系數(shù)n 從0.0092 增大到0.0112，增幅為22%；海森-威廉系數(shù)Ch從134 增大到145，增幅為8%；管徑D 對(duì)曼寧糙率n 的敏感性影響大于對(duì)海森-威廉系數(shù)Ch的影響，尤其是當(dāng)D＞1.0 m 時(shí)，n 的增幅為7%，而Ch的增幅僅為1%。工程設(shè)計(jì)階段，若不考慮管徑D 的影響，對(duì)所有管徑的曼寧糙率系數(shù)n 和海森-威廉系數(shù)Ch取固定值，則根據(jù)摩阻系數(shù)間的相對(duì)變化率關(guān)系式（12），沿程水頭損失計(jì)算誤差最大可分別達(dá)到44%（謝才-曼寧公式）和16%（海森-威廉公式）。

圖1 當(dāng)量粗糙度k 對(duì)摩阻系數(shù)的敏感性影響

表2 管徑D 對(duì)水力坡降J 和曼寧糙率n 的敏感性影響

3.4 流速V如圖2所示，管內(nèi)水流處于紊流過(guò)渡區(qū)時(shí)，管道流速V（或流量Q）增大，相同管徑D 和水溫下的雷諾數(shù)Re 增大，相對(duì)粗糙度（k/D）一定時(shí)，水力坡降J 增大，達(dá)西摩阻系數(shù)λ和曼寧糙率n 減小，海森-威廉系數(shù)Ch則先增大后減小。如圖3，流速?gòu)?.0 m/s 增大到2.0 m/s，曼寧糙率系數(shù)n 減小約2.71%，海森-威廉系數(shù)Ch減小約2.56%。當(dāng)水流進(jìn)入紊流粗糙區(qū)后，達(dá)西摩阻系數(shù)λ僅與管道的相對(duì)粗糙度（k/D）有關(guān)，此時(shí)達(dá)西摩阻系數(shù)λ和曼寧糙率n 為一常數(shù)。

3.5 水溫T（運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)ν）表3為DN1000 mm，當(dāng)量粗糙度k=0.10 mm，水溫分別為10 ℃（ν=1.310×10-6m2/s）、15℃（ν=1.145×10-6m2/s）、20℃（ν=1.009×10-6m2/s），流速V=1.0 m/s 和V=3.0 m/s 時(shí)各摩阻系數(shù)值及其相對(duì)變率。由表可知，管道相對(duì)粗糙度（k/D）一定時(shí)，相同流速V 和管徑D，溫度T 升高，運(yùn)動(dòng)黏滯系數(shù)ν減小，水流雷諾數(shù)Re 增大，水力坡降J、達(dá)西摩阻系數(shù)λ和曼寧糙率n 均減小，海森-威廉系數(shù)Ch增大，各摩阻系數(shù)的相對(duì)變化率關(guān)系近似滿足式（12），其相對(duì)變化幅值隨流速V 增大而減小。

圖2 管徑D 對(duì)摩阻系數(shù)的敏感性影響

圖3 管徑D 和流速V 對(duì)摩阻系數(shù)的敏感性影響

表3 水溫T 對(duì)摩阻系數(shù)的敏感性影響

3.6 摩阻系數(shù)的敏感性變化規(guī)律基于柯?tīng)柌蹇?懷特公式和各摩阻系數(shù)間換算關(guān)系，得出管道摩阻系數(shù)隨當(dāng)量粗糙度k、管徑D、流速V 和水溫T 的敏感性變化規(guī)律，如表4。對(duì)于同種管材（假定其當(dāng)量粗糙度k 為一定值），管徑D 的取值變化范圍最大，其對(duì)摩阻系數(shù)的敏感性影響也最大，其次為流速V 的影響，水溫T 的影響最小。

表4 摩阻系數(shù)隨各敏感性因素的變化規(guī)律

4 實(shí)例分析與工程應(yīng)用

4.1 實(shí)例分析表5為典型工程曼寧糙率系數(shù)n 和海森-威廉系數(shù)Ch的取值比較，表中實(shí)測(cè)值為工程現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量值，設(shè)計(jì)值為工程設(shè)計(jì)取值，理論值為采用柯?tīng)柌蹇?懷特公式求得達(dá)西摩阻系數(shù)λ后依據(jù)摩阻系數(shù)間關(guān)系式（7）和式（8）換算得到。由表可知：現(xiàn)有工程設(shè)計(jì)中曼寧糙率n 取值的隨意性較大，考慮管徑D 和流速V 影響的理論計(jì)算n 值與實(shí)測(cè)值接近，計(jì)算精度有較大地提高；海森-威廉系數(shù)Ch的經(jīng)驗(yàn)取值較為成熟，海森-威廉公式比謝才-曼寧公式更適宜于管道輸水工程的水力計(jì)算。

表5 典型工程案例分析［5-7］

4.2 水力計(jì)算公式的選用對(duì)于不同管材、不同管徑的水力計(jì)算應(yīng)優(yōu)先采用達(dá)西-魏斯巴哈公式和柯?tīng)柌蹇?懷特公式，這也是國(guó)內(nèi)外規(guī)范推薦的主要公式，其計(jì)算精度較高，適用于紊流的所有流態(tài)，并在科學(xué)研究和工程實(shí)踐中得到廣泛驗(yàn)證。

海森-威廉公式適用于常溫下清水輸送管道的紊流過(guò)渡區(qū)，計(jì)算較為簡(jiǎn)便快捷，計(jì)算精度可滿足工程要求。海森-威廉系數(shù)Ch的取值需考慮管徑D 的影響，美國(guó)水行業(yè)協(xié)會(huì)（AWWA）技術(shù)手冊(cè)《M9 混凝土壓力管》［17］給出Ch=139.3+6.65D，《M11 鋼管》［18］給出Ch=130.0+ 6.30D。圖3（b）表明管徑D 大于1.0 m 后，海森-威廉系數(shù)Ch隨管徑D 的變化趨于平緩，若采用上述規(guī)范給出的線性擬合公式，其誤差將隨著管徑D 的增大而增大。對(duì)于k=0.10 mm、V=1.0 m/s 的水泥砂漿內(nèi)襯管道其經(jīng)驗(yàn)擬合關(guān)系式為Ch=147.25-4.13/D0.5。

隨著制管工藝和水平的發(fā)展，現(xiàn)有大型輸水工程的管道內(nèi)壁均勻、光滑，水流多處于紊流過(guò)渡區(qū)，流態(tài)超出謝才-曼寧公式的適用范圍，并且現(xiàn)有規(guī)范規(guī)定的曼寧糙率n 取值范圍較寬，如規(guī)范［16］指出立式震搗法制造的PCCP 管的曼寧糙率系數(shù)n 取0.010 ～0.0125，變幅為25%，相應(yīng)水頭損失的變幅將達(dá)到50%。由于未考慮管徑D 和流速V 的影響，造成實(shí)際工程中n 的精確取值困難，甚至較大的水頭損失計(jì)算誤差。

4.3 摩阻系數(shù)取值的裕度管道摩阻系數(shù)的取值不僅要考慮內(nèi)壁絕對(duì)粗糙度的影響，而且需要考慮彎管、接頭、閥門等的局部水頭損失影響，以及長(zhǎng)期運(yùn)行后由于化學(xué)和生物作用產(chǎn)生的腐蝕、沉淀、結(jié)垢等對(duì)管壁粗糙度的影響［19］。實(shí)踐中需綜合考慮上述因素，結(jié)合工程經(jīng)驗(yàn)，對(duì)摩阻系數(shù)的選取預(yù)留適當(dāng)?shù)脑６龋员ＷC輸水工程在長(zhǎng)期運(yùn)行過(guò)程能夠達(dá)到設(shè)計(jì)流量［20］。考慮裕度的摩阻系數(shù)取值可參考關(guān)系式（12），假設(shè)工程設(shè)計(jì)中管線的水頭損失預(yù)留10%的裕度，則達(dá)西摩阻系數(shù)λ需增大約10%，曼寧糙率n 需增大約5%，海森-威廉系數(shù)Ch需減小約5.4%。

5 結(jié)論

隨著經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展，大口徑、新材料管道在水利工程中得到廣泛應(yīng)用，本文對(duì)影響管道輸水能力的關(guān)鍵參數(shù)——水力摩阻系數(shù)進(jìn)行了系統(tǒng)的敏感性分析，得出如下結(jié)論：

（1）管道水力計(jì)算應(yīng)優(yōu)先采用達(dá)西-魏斯巴哈公式和柯?tīng)柌蹇?懷特公式，盡管后者為隱式方程，需迭代求解，但在當(dāng)前計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展的條件下，這不應(yīng)成為該公式在工程中普遍使用的障礙。

（2）海森-威廉公式和曼寧公式均為經(jīng)驗(yàn)公式，由于誤差傳遞，海森-威廉系數(shù)Ch和曼寧糙率系數(shù)n 的取值誤差將引起沿程水頭損失計(jì)算誤差的成倍放大，因此，二者的合理選取非常重要。海森-威廉系數(shù)Ch和曼寧糙率系數(shù)n 的經(jīng)驗(yàn)取值不僅要考慮管道內(nèi)壁粗糙度的影響，流速V 和管徑D 的影響也不能忽略，對(duì)于同種管材，二者均隨管徑D 增大而增大，隨流速V 增大而減小。相比較而言，海森-威廉系數(shù)Ch對(duì)不同管徑D 的適應(yīng)性優(yōu)于曼寧糙率系數(shù)n，例如當(dāng)管徑D＞1.0m 時(shí)，n 的變幅為7%，而Ch的變幅僅為1%。

（3）工程設(shè)計(jì)應(yīng)慎用謝才-曼寧公式?，F(xiàn)有規(guī)范給出的曼寧糙率系數(shù)n 取值通常不考慮管徑D 和流速V 的影響，且取值范圍較寬，n 的精確取值困難，甚至可能影響工程效率和效益的發(fā)揮。