例談2019年高考全國(guó)I卷第22題的題源、題解、題群

廣東省中山市濠頭中學(xué)(528400) 閆偉

關(guān)鍵字 極坐標(biāo);參數(shù)方程;消參

一、真題呈現(xiàn)

(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;

(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.

二、探本溯源

命題背景1普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)選修4-4蘇教版》教材第56頁(yè)習(xí)題4.4節(jié)第2題的第(3)小題：

題1將下列參數(shù)方程化為普通方程，并說(shuō)明它表示什么曲線：(t為參數(shù)).

命題背景2普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)選修4-4A版》(人教社，07年1月第2版)教材第28頁(yè)例1：

題2在橢圓上求出一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M到直線x+2y-10=0的距離最小，并求出最小距離.

考題追蹤近年來(lái)不論全國(guó)卷還是各地考卷，都出現(xiàn)過(guò)類(lèi)似的試題：

(1)寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程;

(2)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值.

2.(2016年高考全國(guó)III卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為

(1)寫(xiě)出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).

3.(2017年高考江蘇卷)在平面坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參考方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值.

4.(2017年高考新課標(biāo)I卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).

(1)若a=-1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);

三、考點(diǎn)及考情分析

本題考查了曲線的參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的互化以及曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離，重點(diǎn)考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題目;本題的關(guān)鍵在于第一問(wèn)曲線C的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)方程，從我校多數(shù)考生反饋的結(jié)果看，絕大多數(shù)考生不會(huì)消參數(shù)t，筆者分析可能的原因是由于平時(shí)訓(xùn)練時(shí)接觸此類(lèi)問(wèn)題不多，或者不能準(zhǔn)確的判斷出曲線C是直線還是二次曲線;如能判斷是二次曲線，則可從二者的平方關(guān)系中找到消參數(shù)之法;又或者學(xué)生碰到稍微陌生點(diǎn)的運(yùn)算抑或較復(fù)雜的問(wèn)題產(chǎn)生了緊張的心理，導(dǎo)致無(wú)法解出C的直角坐標(biāo)方程，從而整道題目?jī)H僅做到直線l的方程;大部分空白.可想而知，本校此題的得分率較前幾年會(huì)大大降低.再看試題本身平易近人，不偏不倚，甚至連數(shù)字都設(shè)置好了，可以說(shuō)是一道好題，一道該得分的題目，考前學(xué)生應(yīng)該是做過(guò)大量針對(duì)性的復(fù)習(xí)，但學(xué)生反饋的結(jié)果不理想，值得深思.

四、解法探究

解析(1)直線l的直角坐標(biāo)方程為曲線C的直角坐標(biāo)方程給出以下幾種消參數(shù)方法;

解法1注意到(1-t2)2+(2t)2=(1+t2)2，所以且1，故C的直角坐標(biāo)方程為

解法2由一式可得二式平方得

解法3二式乘以與一式相加得到再代入二式得化簡(jiǎn)并整理得又因?yàn)楣蔆的直角坐標(biāo)方程為

解法4因?yàn)樗钥闪頺∈?，從而可得注意到故C的直角坐標(biāo)方程為

評(píng)注通常的消參法有加減消參、代入消參、恒等式消參等，消參后注意變量的取值范圍;解法1需要平時(shí)積累一些解題技巧，觀察右邊分式的特征，也可以直接判斷出曲線C是二次曲線，從而利用平方關(guān)系直接消去參數(shù);解法2、3用x,y表示參數(shù)t，再代入化簡(jiǎn)整理，此法較為常規(guī)，容易掌握，但是運(yùn)算量較大;解法4根據(jù)三角萬(wàn)能公式的特征消去參數(shù)，技巧性強(qiáng)，需要學(xué)生具備一些競(jìng)賽基礎(chǔ)知識(shí).

(2)解法1(三角換元法—參數(shù)方程)

評(píng)注解法1的本質(zhì)是依據(jù)曲線的參數(shù)方程，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解，是一種值得推廣的常規(guī)解法.

解法2(切線平移法—數(shù)形結(jié)合)

評(píng)注解法2的本質(zhì)是將直線平移到與曲線相切的位置，將橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值轉(zhuǎn)化為兩平行直線間的距離求解.

解法3(判別式法—代數(shù)方程)

評(píng)注解法3的本質(zhì)是將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，利用一元二次方程有實(shí)根的條件進(jìn)行求解.

五、拓展應(yīng)用

從問(wèn)題的本質(zhì)理解，試題第2問(wèn)的特征是以二元二次方程為限制條件求二元一次式的最值，可歸納成模型：

設(shè)x,y∈?，滿足ax2+by2=c，或px2+qy=r，求mx+ny的最值(其中p,q,r,m,n∈?,a,b,c∈?+).

解決該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于理解其幾何意義，即圓錐曲線上的點(diǎn)到直線距離的最值問(wèn)題，解題方法可以參考上述第2問(wèn)中的三種解法—三角換元、切線平移、判別式等核心知識(shí)解決.

例1(2008年高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(x,y)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求S=x+y最大值.

解由橢圓方程可設(shè)動(dòng)點(diǎn)其中α∈[0,2π]，所以S=x+y=故當(dāng)時(shí)，S取最大值2.

例2(2006年高考課標(biāo)I卷)拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離的最小值是___.

解由于y′=-2x，令得切點(diǎn)為平行于直線4x+3y-8=0的切線方程為即切點(diǎn)坐標(biāo)到直線的4x+3y-8=0距離最短，最短距離為

例3(2019年高考江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x+y=0的距離最小值是____.

解設(shè)曲線平行于直線x+y=0的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為P0(x0,y0)，由于令可得故點(diǎn)P到直線x+y=0的距離最小值為

評(píng)注事實(shí)上上述模型可以一般化：設(shè)x,y∈?，滿足Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，求mx+ny的最值(B,D,E,F,m,n,∈?,A,C,∈?+).可令t=mx+ny，再與二次方程聯(lián)立消去x或y，得到關(guān)于變量y或x的一元二次方程，再利用該一元二次方程有實(shí)根的必要條件(判別式Δ≥0)解決問(wèn)題.

例4(2010年高考重慶卷)已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是____.

解設(shè)t=x+2y，則2y=t-x，代入已知等式并化簡(jiǎn)整理得x2-tx-t+8=0，因方程有實(shí)根，所以Δ=t2-4(-t+8)≥0，又因?yàn)閤＞0,y＞0，所以t＞0，從而t≥4.當(dāng)t=4，解得x=2,y=1，故x+2y的最小值是4.

例5(2011年高考浙江卷)設(shè)x,y∈?，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是____.

解設(shè)t=2x+y，則y=t-2x，代入已知等式4x2+y2+xy=1，化簡(jiǎn)整理得6x2-3tx+t2-1=0，關(guān)于x的方程有實(shí)根，由判別式Δ=(-3t)2-24(t2-1)≥0，可得5t2≤8，即從而2x+y的最大值是

例6(2012高考天津卷)設(shè)m,n∈?，若直線(m+1)x+(n+1)y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切，則m+n的取值范圍是____.

解因?yàn)橹本€(m+1)x+(n+1)y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1相切，所以圓心(1,1)到直線的距離為所以mn=m+n+1，設(shè)t=m+n，則n=t-m，代入上式得m2-tm+t+1=0，再由Δ=t2-4t-4≥0，解得

六、亮點(diǎn)賞析

1.基于教材素材，立足于基礎(chǔ)知識(shí)

本題的素材來(lái)源于教材，體現(xiàn)了高考命題“源于教材，高于教材”的指導(dǎo)思想.題面簡(jiǎn)潔，考查的知識(shí)點(diǎn)清晰，難易適中，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律;試題立足于教材，以教材中的例題為源泉，既可以保證試卷的公平性，又給學(xué)生以親切感，同時(shí)對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)起到很好的導(dǎo)向作用.

2.解題思路寬泛，突出通性通法

本題的解法可謂靈活多樣，第1問(wèn)可以從關(guān)系式特征平方關(guān)系的視角入手，也可以通過(guò)配湊用x,y解出參數(shù)t的視角入手，還可以從三角萬(wàn)能公式的視角入手;第2問(wèn)可以從三角換元、切線平移、判別式等角度入手.從不同的視角、不同的高度都可以得到解決問(wèn)題的思路，但不同的思路運(yùn)算的復(fù)雜程度也不盡相同;對(duì)于解決此類(lèi)條件最值問(wèn)題的通性通法的考查也是一大亮點(diǎn)，在解題教學(xué)中要把通性通法的訓(xùn)練當(dāng)做重頭戲，要讓學(xué)生獨(dú)立思考、嘗試解答，通過(guò)展示和交流，在問(wèn)題求解中掌握解題策略和方法.

3.著眼數(shù)學(xué)素養(yǎng)，考查學(xué)習(xí)潛力

本題很好的體現(xiàn)了高考對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)習(xí)潛力的考查，特別是對(duì)運(yùn)算素養(yǎng)的考查體現(xiàn)的淋漓盡致;很多考生解題思路清晰，解題目標(biāo)明確，就是要搞定曲線的直角坐標(biāo)方程，但卻在運(yùn)算上遇到阻礙，不能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)消去參數(shù)導(dǎo)致功虧一簣，造成遺憾.提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力尤為重要，在今后的教學(xué)中要引起高度重視.