應(yīng)對(duì)平面向量問題的“四化”策略*

江蘇省南京師范大學(xué)附屬揚(yáng)子中學(xué)(210048) 張朋舉

平面向量是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種重要工具，是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)之一，在高考中占據(jù)著重要的地位.縱觀近幾年的江蘇?？?、高考試題，可以看出，平面向量的相關(guān)問題的考查難度和力度都有所增加;然而，與此相對(duì)的是平面向量題的解法靈活多樣、變化多端，在不同問題或同一問題的解決中會(huì)產(chǎn)生不同的視角和方法，讓學(xué)生面對(duì)向量問題經(jīng)常陷入“選擇”的困境，要么策略的選擇不明確，要么策略使用不靈活.本文以近幾年的高考或模考題為例，談?wù)剳?yīng)對(duì)向量問題時(shí)，基底化、坐標(biāo)化、數(shù)量化、圖形化等四種策略的合理選擇，以期提升學(xué)生應(yīng)對(duì)向量問題的轉(zhuǎn)化和化歸能力.

1.基底化策略

平面向量基本定理告訴我們：平面上任何一個(gè)向量總是可以由兩個(gè)不共線的向量(基底)線性表出.就該定理本身而言，其內(nèi)容理解和證明并不難，難就難在對(duì)定理的應(yīng)用上，學(xué)生往往對(duì)定理的認(rèn)識(shí)不深刻，不清楚有了這個(gè)定理能解決什么問題，缺乏通過基底化后解決向量問題的意識(shí).所謂的基底化策略就是選用兩個(gè)不共線的向量作為基底，將已知和待求的向量用基底表示出來;一般情況下，選作基底的兩個(gè)向量的模或夾角是已知的，這是可以選擇基底化較為明顯的信息.

例1如圖1，在平行四邊形ABCD中，已知AB=8,AD=則的值是____.

圖1

解由得

評(píng)注本題的解決，充分體現(xiàn)了選擇基底化策略的作用，題目中的條件和所求式子，更多的圍繞在向量和如果把作為基底，根據(jù)平面向量基本定理，將向量和用基底表示出來，然后代入稍作化簡(jiǎn)，問題就迎刃而解了.

例2如圖2，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，-1，則的值是____.

圖2

解由

評(píng)注由于確定基底的條件不是特別苛刻，兩個(gè)向量不共線即可，所以基底如何選擇很有講究.本題是2016年江蘇高考題，當(dāng)時(shí)得分率較低，題中沒有基底化的明顯信息，這就需要學(xué)生養(yǎng)成選擇基底化的意識(shí)，題目中的條件和所求式子，更多的圍繞在向量(或與的共線向量)，因此，如果選用向量作為基底，根據(jù)平面向量基本定理，將已知向量式和要求向量式表示出來，問題也就迎刃而解.

2.坐標(biāo)化策略

平面向量基本定理在平面向量這一章中起到承上啟下的作用，其實(shí)質(zhì)是在對(duì)向量進(jìn)行分解，如果把基底取成互相垂直的單位向量，那么就可在平面直角坐標(biāo)系中定義平面向量的坐標(biāo)表示了.所謂的坐標(biāo)化策略就是把相關(guān)已知條件和要求結(jié)論中的向量，用坐標(biāo)表示出來，將向量運(yùn)算完全代數(shù)化;一般情況，涉及正方形、矩形、直角梯形、直角三角形、等邊三角形等規(guī)則圖形，或涉及一些給定一個(gè)角度和部分邊長(zhǎng)等不規(guī)則圖形為載體的向量問題，均可選擇坐標(biāo)化;向量的坐標(biāo)化使向量與解析幾何建立了聯(lián)系，使“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化變?yōu)榭赡?，也為很多問題的解決開辟了新的途徑，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想.

例3如圖3，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠ADC=E為BC中點(diǎn)，若則=____.

圖3

解以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)CD=x，則由解得x=1.所以所以

例4已知AD是直角三角形ABC的斜邊BC上的高，點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上，且滿足若則的值為____.

解以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)B(b,0)，C(c,0)，P(0,m)，則又所以bc+m2=2.

評(píng)注從上述兩道例題都有選擇坐標(biāo)化的明顯信息，可以看出，坐標(biāo)化策略對(duì)處理一些復(fù)雜的向量問題，往往可起到“四兩撥千金”的效果;當(dāng)然，有時(shí)坐標(biāo)軸的選擇也很關(guān)鍵，如例2為2019年南京市二模填空題第12題，如果方法選擇不恰當(dāng)，坐標(biāo)軸選擇不合理，處理起來會(huì)較為困難;選擇坐標(biāo)化策略，可使題目中各數(shù)量關(guān)系非常明確，使問題快速解決，讓我們深刻體會(huì)到了這一點(diǎn);而且坐標(biāo)化意識(shí)的形成，也為學(xué)生后面使用解析法解決問題奠定了基礎(chǔ).

3.數(shù)量化策略

向量的數(shù)量積對(duì)學(xué)生來說是一種新的運(yùn)算，其實(shí)該運(yùn)算是向量與向量相乘和數(shù)量與數(shù)量相乘相互轉(zhuǎn)化的橋梁，在向量條件的轉(zhuǎn)化中有著重要的應(yīng)用，一般情況下，數(shù)量化的方法就是，對(duì)向量等式兩邊平方或?qū)ο蛄康仁絻蛇呁瑫r(shí)乘以一個(gè)向量進(jìn)行數(shù)量積;有時(shí)候，學(xué)生能否將向量進(jìn)行數(shù)量化，直接影響著問題能否解決;然而，學(xué)生大多對(duì)數(shù)量化的理解不是很到位，因此，培育學(xué)生對(duì)向量數(shù)量化意識(shí)，在向量問題的解決中是十分重要的.

圖4

例5如圖4，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量的模分別為的夾角為α，且tanα=7，與的夾角為45°.若(m,n∈?)，則m+n=____.

解法由題意得

兩式相加得m+n=3.

例6在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)直線y=-x+2與圓x2+y2=r2(r＞0)交于A,B兩點(diǎn).若圓上存在一點(diǎn)C，滿足則r的值為____.

解由

評(píng)注上述兩道例題中，都是已知一個(gè)向量式，然而目標(biāo)是求實(shí)數(shù)的值，因此對(duì)向量式數(shù)量化是解決問題的方向;例5中，是對(duì)兩邊同時(shí)分別乘以向量和完成數(shù)量化，得到關(guān)于m,n兩個(gè)方程，使問題迎刃而解，例6中，是對(duì)兩邊平方，完成數(shù)量化，得到使問題順利解決.

4.圖形化策略

向量與幾何有著密切聯(lián)系，很多向量式子都有著其幾何意義，如向量的加減運(yùn)算對(duì)應(yīng)著平行四邊形或三角形，向量的模對(duì)應(yīng)著線段長(zhǎng)度，數(shù)量積為零的兩非零向量對(duì)應(yīng)著互相垂直，向量的數(shù)量積被視為一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影的乘積等等.所謂的圖形化策略，就是把已知條件和所求結(jié)論中的向量關(guān)系，結(jié)合幾何意義在圖形中表示出來，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.但學(xué)生在解決問題中往往缺乏選擇幾何化的意識(shí)，不能把數(shù)與形有機(jī)結(jié)合;因此，培育學(xué)生的選擇幾何化應(yīng)對(duì)平面向量問題，顯得尤為重要.

例7已知a,b,c是平面向量，若滿足且a與b的夾角的正切值為與c的夾角的正切值為則a·c的值是____.

圖5

解由向量加法的三角形法則，可構(gòu)造△ABC(如圖5所示)，記所以，由得tanB=-1，得故A,C為銳角，可得由正弦定理所以

例8已知a,b是單位向量，a·b=0，(a-c)·(b-c)=0，則|c|的最大值為____.

圖6

解由a,b是單位向量，a·b=0，(a-c)·(b-c)=0，所以可以構(gòu)造基本圖形(如圖6所示)，不妨設(shè)則b-c，則所以O(shè),A,C,B四點(diǎn)共圓，且該圓是以AB為直徑的圓，又是該圓一條弦，故OC的最大值為該圓直徑，即

評(píng)注上述兩道題的解決，需要學(xué)生有選擇幾何化的意識(shí)，例7中由加法三角形法則知，可選擇構(gòu)造三角形△ABC，此時(shí)向量b的模長(zhǎng)與邊長(zhǎng)AC對(duì)應(yīng)，向量a與b、b與c的夾角分別與∠C、∠A對(duì)應(yīng)，將向量問題置于三角形△ABC中，從而使抽象問題具體化;例8中通過選擇構(gòu)建四點(diǎn)共圓的基本圖形，聯(lián)系圓的相關(guān)知識(shí)，使問題變得更為簡(jiǎn)單、直觀.

總之，基底化、坐標(biāo)化、數(shù)量化、圖形化是應(yīng)對(duì)平面向量問題常見的四種有效的策略，雖然四種策略可各自獨(dú)立起作用，但實(shí)質(zhì)上，四種策略對(duì)應(yīng)著代數(shù)(坐標(biāo)化、數(shù)量化)和幾何(基底化和圖形化)兩個(gè)不同視角，若解題時(shí)能從多視角思考，一題多解，可使它們互相補(bǔ)充，相得益彰，同時(shí)還可以領(lǐng)略不同策略的各自魅力;若解題時(shí)面臨四種策略的“選擇”時(shí)，可基于平面向量基本定理，從幾何和代數(shù)兩個(gè)不同角度對(duì)問題進(jìn)行全面剖析，看清各種選擇之間的聯(lián)系，把握問題的本質(zhì)，合理做出選擇.