壓電陶瓷執(zhí)行器的動(dòng)態(tài)遲滯非線性特性建模*

潘云鳳, 潘海鵬, 趙新龍

(浙江理工大學(xué) 機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院, 浙江 杭州 310018)

0 引 言

隨著微/納米技術(shù)的迅猛發(fā)展，智能材料如壓電陶瓷[1]，超磁滯伸縮材料[2]，形狀記憶合金等材料的執(zhí)行器，已經(jīng)應(yīng)用在光學(xué)精密加工工程、微電子制造技術(shù)、航天航空技術(shù)、超精密機(jī)械制造、微機(jī)器人操作、生物工程等領(lǐng)域，并且正逐步推廣到更多領(lǐng)域。但執(zhí)行器輸入輸出表現(xiàn)為非光滑，多值映射的遲滯特性[3]不僅會(huì)使系統(tǒng)的控制精度降低，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，大大局限了其發(fā)展。

Hammerstein模型可以描述遲滯的動(dòng)態(tài)特性，它由一部分非線性靜態(tài)模型和一部分線性動(dòng)態(tài)模型組成，結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，且辨識(shí)方法多樣。向微等人[4]將Hammerstein模型的線性動(dòng)態(tài)部分和非線性靜態(tài)部分分別用Laguere級(jí)數(shù)和非線性基表示,辨識(shí)得到兩部分的參數(shù)，此外，智能算法如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[5]、支持向量機(jī)(support vector machine,SVM)[6]也已用于Hammerstein模型的辨識(shí)，使Hammerstein遲滯模型的辨識(shí)過程變得更加簡(jiǎn)便。但對(duì)于壓電陶瓷執(zhí)行器的遲滯特性來說，如何使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)類的模型接受遲滯的多值映射性成了辨識(shí)難點(diǎn)。Zhang X L[7]等人提出了基于擴(kuò)展空間辨識(shí)法的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)法，結(jié)合Hammerstein模型得到了率相關(guān)遲滯的模型，謝揚(yáng)球[8]等人也同樣運(yùn)用了擴(kuò)展空間法來構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，所不同的是他重構(gòu)了遲滯信號(hào)以消除Hammerstein中間信號(hào)不可測(cè)的問題。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法需要設(shè)計(jì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，且容易陷入局部最優(yōu)，還存在一系列過擬合問題，為此Goethals I[9]將最小二乘支持向量機(jī)應(yīng)用于Hammestein模型。徐運(yùn)揚(yáng)[10]等人還將支持向量機(jī)結(jié)合了奇異值分解進(jìn)行壓電陶瓷類遲滯的辨識(shí)。

本文利用優(yōu)化的支持向量機(jī)逼近一種新的Backlash遲滯因子建立靜態(tài)的遲滯非線性模型，再運(yùn)用Hammerstein結(jié)構(gòu)，引入動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)來實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)遲滯建模。本文的創(chuàng)新之處在于：將一種Backlash描述函數(shù)算子引入了Hammerstein模型，來提取遲滯環(huán)的特征，與萬有引力搜索算法優(yōu)化的支持向量回歸機(jī)結(jié)合來建立靜態(tài)模型，訓(xùn)練速度快，收斂性強(qiáng)，并用ARX(自回歸各態(tài)歷經(jīng))模型實(shí)現(xiàn)了動(dòng)態(tài)建模，很好地體現(xiàn)了遲滯的率相關(guān)特性，最后用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)模型效果進(jìn)行了證明。

1 一種Backlash描述函數(shù)類遲滯因子

為了將靜態(tài)遲滯的多值映射特性從系統(tǒng)中解耦出來，變成一一映射，本文將引入一個(gè)新穎的遲滯因子來描述遲滯的“上升”，“下降”，“轉(zhuǎn)折”的過程等，此算子提取了大部分遲滯非線性的信息，能夠比較好地勾勒遲滯非線性的輪廓。

首先介紹Backlash模型的描述函數(shù)[11]，令輸入x為幅值為A的標(biāo)準(zhǔn)正弦曲線

x=Amaxsinθ，θ=ωt

Backlash的特性方程可用式(1)，式(2)表示

(1)

(2)

上述標(biāo)準(zhǔn)的Backlash算子加權(quán)求和可得到一般遲滯模型[12]。但對(duì)于非常規(guī)，非平滑的遲滯非線性來說，Backlash的常規(guī)模型精度不高，因此引入了以下的Backlash描述函數(shù)類算子。

根據(jù)諧波分析原理，忽略二次以上諧波分量可得Backlash模型的描述函數(shù)

(3)

復(fù)數(shù)域的計(jì)算提高了建模復(fù)雜性，所以,由一次諧波分量的定義方式啟發(fā),構(gòu)造

g(θ)=Psinθ+Qcosθ

(4)

(5)

(6)

式中P和Q分別為描述函數(shù)的實(shí)部和虛部，顯然，P關(guān)于b對(duì)稱且單調(diào)減小，P∈(0,1),Q≤0，再定義

F(θ)=d·arctan[c·(Psinθ+Qcosθ)]

(7)

式中d,c為函數(shù)F(θ)的增益。c控制遲滯特性的大小，γ控制遲滯環(huán)的寬度，d控制遲滯環(huán)的高度。定義F(θ)為基于Backlash類算子的基本遲滯函數(shù)。

采用電容傳感器獲取壓電陶瓷輸入電壓，驅(qū)動(dòng)電壓為幅值為1.5V的正弦波，頻率為3 Hz，建立的Backlash描述函數(shù)算子如圖1所示，疊加單個(gè)Backlash描述函數(shù)算子可對(duì)應(yīng)不同形狀的遲滯環(huán)，算子可較好地描述給定輸入下遲滯單環(huán)的靜態(tài)遲滯特性。

2 動(dòng)態(tài)遲滯特性的Hammerstein模型與辨識(shí)

2.1 Hammerstein遲滯模型結(jié)構(gòu)

考慮壓電陶瓷執(zhí)行器的機(jī)理結(jié)構(gòu)，其電壓—位移特性可用Hammerstein塊狀系統(tǒng)[13]來描述，分為靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)和動(dòng)態(tài)線性環(huán)節(jié)，再進(jìn)行串聯(lián)，其中靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)用來體現(xiàn)壓電陶瓷執(zhí)行器的靜態(tài)遲滯非線性，動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)用來體現(xiàn)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，此動(dòng)態(tài)特性表現(xiàn)為系統(tǒng)輸出與輸入信號(hào)速率有關(guān)。壓電陶瓷執(zhí)行器的Hammerstein系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 Hammerstein塊結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

圖2中H(·)為遲滯非線性部分，M(·)為線性動(dòng)態(tài)部分，其中，u(t)為輸入信號(hào)，v(t)為經(jīng)過H(·)這個(gè)遲滯環(huán)節(jié)后得到的中間變量，y(t)為經(jīng)過線性動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)后Hammerstein系統(tǒng)的輸出，即執(zhí)行器的位移估計(jì)量。為了構(gòu)建Hammerstein模型，需要首先建立靜態(tài)遲滯模型，本文中靜態(tài)遲滯模型用萬有引力搜索算法(gravitation search algorithm,GSA)優(yōu)化的SVM描述，但與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相同，支持向量回歸(support vector regression,SVR)同樣只接受一一映射的數(shù)據(jù)集，因此,采用上文的Backlash描述函數(shù)算子與優(yōu)化SVM混合建模。動(dòng)態(tài)線性部分則由ARX模型描述。

2.2 Hammerstein靜態(tài)遲滯部分建模

本文采用GSA優(yōu)化的SVR來逼近Backlash描述函數(shù)算子，可將遲滯的多值映射轉(zhuǎn)變?yōu)橐灰挥成?，從而建立Hammerstein模型的靜態(tài)遲滯部分。

由于最小二乘支持向量機(jī)(least square support vector machine,LSSVM)關(guān)鍵的模型參數(shù)a非常稠密，使得支持向量數(shù)量多，模型復(fù)雜度高，降低了小樣本數(shù)據(jù)的建模效率，一定程度上失去了解稀疏性的特點(diǎn)，因此這里采用不敏感損失函數(shù)——SVR(ε-SVR)算法來建立靜態(tài)遲滯模型，同時(shí)，懲罰系數(shù)C和采用的徑向基函數(shù)(radial basis function,RBF)核參數(shù)σ，二者的取值對(duì)SVM的逼近效果有很大的影響，本文引入了一種GSA來優(yōu)化ε-SVR。

實(shí)驗(yàn)所用訓(xùn)練集可寫為

(8)

(9)

ξi≥0,i=1,2,…,N

式中C為懲罰系數(shù)，ξ為松弛因子，Φ(x)為x的映射空間。ω項(xiàng)表征擬合誤差的大小，ξ項(xiàng)表征模型復(fù)雜度，懲罰系數(shù)C可平衡二者。構(gòu)造Lagrange函數(shù)求解

(10)

式中ai≥0，μ≥0，ai,i=1,2,…,l為拉格朗日乘子。

運(yùn)用KKT(Karush-Kuhn-Tucker)最優(yōu)化條件,整合優(yōu)化問題成為如下線性方程組

(11)

化簡(jiǎn)可得

(12)

(13)

式中K(x,xi)稱為核函數(shù)。本文實(shí)驗(yàn)取RBF核函數(shù)K(x,xi)=(-(xi-xk)2/2σ2)。

核參數(shù)以及懲罰系數(shù)不同的選取影響了系統(tǒng)模型的性能，因此本文采用GSA對(duì)參數(shù)和C進(jìn)行優(yōu)化選取。GSA是一種由自然界中萬有引力使粒子不斷靠近的現(xiàn)象啟發(fā)而成的智能算法?，F(xiàn)將樣本點(diǎn)假設(shè)為粒子

(14)

(15)

(16)

靜態(tài)遲滯部分建模步驟如下：

2)將算子輸出與輸入電壓通過GSA-SVR模型：按式(14)、式(15)進(jìn)行更新直到算法收斂，得到SVR的最佳參數(shù)，訓(xùn)練SVR模型H[x(t),F(θ)]，得到靜態(tài)遲滯輸出的估計(jì)值，即為Hammerstein模型的中間變量v(t)。

3)記錄GSA和SVR的模型參數(shù)C，σ，a，b即為靜態(tài)遲滯模型參數(shù)。

2.3 Hammerstein模型動(dòng)態(tài)部分建模

ARX模型[14]是一種有理傳遞函數(shù)模型，本文用ARX模型表征壓電陶瓷執(zhí)行器的動(dòng)態(tài)線性部分。

ARX動(dòng)態(tài)線性部分模型可寫為

A(z)y(t)=B(z)v(t)+e(t)

(17)

式中e(t)為系統(tǒng)誤差A(yù)(z)=1+a1z-1+…+anz-n,B(z)=b0+b1z-1+…bmz-m為單位延遲算子。將ARX模型寫為傳遞函數(shù)形式

M(z)=B(z)/A(z)

(18)

動(dòng)態(tài)部分建模步驟如下：1) 壓電陶瓷執(zhí)行器輸入1～100 Hz掃描正弦數(shù)據(jù)，按式(6)算出所對(duì)應(yīng)的Backlash類算子的輸出值；2) 將算子輸出和輸入數(shù)據(jù)通過靜態(tài)部分辨識(shí)得到的GSA-SVR模型，得到中間變量v(t)；3) 基于實(shí)際的遲滯輸出位移和中間變量v(t),可用遞歸最小二乘法辨識(shí)出ARX模型的傳遞函數(shù)。

2.4 Hammerstein模型建模整體框架

壓電陶瓷執(zhí)行器的Hammerstein模型整體可寫為

(19)

整體辨識(shí)方案如圖3所示。

圖3 整體辨識(shí)框架

3 仿真實(shí)驗(yàn)

采用壓電陶瓷執(zhí)行器PZT—753.21C(PI公司產(chǎn)品)來驗(yàn)證本文所提出的遲滯模型的性能。該執(zhí)行器在輸入電壓0～100 V下，額定位移為0～25 μm，采樣頻率為30 MHz。測(cè)得的數(shù)據(jù)經(jīng)過濾波后，采用10 000個(gè)數(shù)據(jù)，將這些數(shù)據(jù)平均(間隔)分成兩部分，5 000個(gè)用于逼進(jìn)遲滯曲線，5 000個(gè)用于模型驗(yàn)證。

實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)定如下：Backlash算子參數(shù)：K0=1,Amax=1.5，c，d=1，b=1/36～1，w=6π,n=36。SVR算法參數(shù)：ε設(shè)置為0.01。GSA算法參數(shù)：群體規(guī)模20，最大迭代次數(shù)為50。GSA優(yōu)化結(jié)果為C=76.102 4，σ=7.132 2。

遲滯特性在低頻時(shí)(小于5 Hz)動(dòng)態(tài)線性部分基本忽略率相關(guān)性，此時(shí)的辨識(shí)結(jié)果如圖4所示。

圖4 低頻靜態(tài)遲滯辨識(shí)曲線

ARX模型的階數(shù)可采用赤池信息準(zhǔn)則(Akaike information criterion，AIC)[15]來確定，由于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性一般可由質(zhì)量—彈簧—阻尼系統(tǒng)表示，因此,經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)，辨識(shí)得到的階次均為2階。辨識(shí)出的二階系統(tǒng)為

(20)

給壓電微動(dòng)臺(tái)輸入50 Hz正弦電壓，獲取5 000個(gè)數(shù)據(jù)來驗(yàn)證所提出的模型，輸出位移量及遲滯環(huán)擬合曲線、誤差曲線如圖5所示。

圖5 50 Hz遲滯數(shù)據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果

由圖6分析可知，建模預(yù)測(cè)位移值與期望位移值偏差較小，相關(guān)性很強(qiáng)。再以均方根誤差(root-mean-square error,RMSE)、相對(duì)誤差(relative error,RE)及R2作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，公式如下

(21)

得到的MSE為0.008 0，平均RE為1.43 %，R2為0.999 4,最大建模誤差為0.053 2 μm。

圖6 線性相關(guān)曲線

4 結(jié)束語

采用Backlash描述函數(shù)模型對(duì)靜態(tài)遲滯環(huán)進(jìn)行了擬合，將算子輸出與輸入電壓一起放入SVM模型，從而將遲滯的多值映射特性變?yōu)橐灰挥成洌捎赟VM本身的缺陷，本文采用了GSA算法對(duì)SVM進(jìn)行了優(yōu)化，SVM的模型輸出即為Hammerstein級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)的中間變量，再通過ARX模型，就可以對(duì)遲滯的率相關(guān)特性進(jìn)行描述，所提出的方法的性能通過數(shù)值模擬進(jìn)行了證明。結(jié)果表明，所提方法建立的模型與實(shí)際模型擬合度好，并且建模速度快。