雙向反射分布函數(shù)模型的對(duì)比分析研究

劉 燕，張 健，呂 瑛

（西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院信息工程學(xué)院，西安710124）

1 引 言

隨著航天技術(shù)的飛速發(fā)展，各國(guó)發(fā)射入軌的航天器及運(yùn)載器數(shù)量不斷增加，而廢棄的航天器卻絕大多數(shù)滯留在軌道上，令近地空間變得越來越擁擠，空間環(huán)境問題越來越突出。更令人擔(dān)憂的是，空間目標(biāo)與空間碎片數(shù)量逐漸增多，相互之間撞擊的概率越來越大。在人類航天史上，幾次空間碰撞事件的發(fā)生都是極小概率、重大問題的體現(xiàn)。2009 年2 月11日。美國(guó)“銥-33”移動(dòng)通信衛(wèi)星與俄羅斯已廢棄的“宇宙-2251”軍用通信衛(wèi)星在西伯利亞北部上空約190km 處當(dāng)空相撞，巨大的動(dòng)能使得兩顆衛(wèi)星瞬時(shí)化作兩團(tuán)碎片云。這是人類發(fā)展航天事業(yè)以來，歷史上首次發(fā)生的兩顆整星相撞事件。撞擊事件的發(fā)生加深了人們對(duì)空間安全預(yù)警探測(cè)問題的關(guān)注，引起各國(guó)的高度重視[1-2]。獲取空間目標(biāo)信息已變得尤為重要，其中，光學(xué)信息獲取是最為重要的探測(cè)方式。

空間目標(biāo)光學(xué)信息可以由地基或天基的各類光電傳感器通過遙感獲取。信息的獲取主要包括可見光信息、紅外信息、光譜信息和偏振信息等。為了分析獲取的光度信息，近幾年研究人員展開了光度模型的研究，其中基于雙向反射分布函數(shù)（BRDF）的視星等曲線研究成為熱點(diǎn)。在此分析三種常用的BRDF 模型，指出三種模型各自的特點(diǎn)及適用條件，為后續(xù)研究空間目標(biāo)的視星等曲線建立基礎(chǔ)。

2 雙向反射分布函數(shù)

為了表征物體表面光散射的空間分布，1977 年Nicodemus 給出BRDF 的嚴(yán)格定義：經(jīng)過目標(biāo)表面反射沿著(θr,r)方向出射的輻亮度dLr(θr,r,Δ)與沿著(θi,i)方向入射到目標(biāo)表面的輻照度dEi(θi,i)之比。輻亮度定義為：沿著輻射方向單位面積、單位立體角的輻射通量，單位W/(sr·m2)；輻照度定義為：?jiǎn)挝幻娣e的輻射通量，單位W/m2。圖1 給出了定義BRDF 坐標(biāo)的幾何角度關(guān)系，其中θ,分別表示天頂角和方位角，下標(biāo)i 和r 分別表示入射和探測(cè)方向分量。

圖1 BRDF 幾何關(guān)系圖

BRDF 的一般定義如下式表示：

它是一個(gè)微分量，不能直接測(cè)；取值范圍為零到無(wú)限大，單位sr-1。BRDF 表示不同入射角條件下物體表面在任意觀測(cè)角的反射特性，能夠全面反映各種因素對(duì)反射輻射的影響。

BRDF 可表示光的一個(gè)基本特性，能夠全面描述目標(biāo)的反射光譜在半球空間的分布情況，量化描述不同的入射方向和探測(cè)方向的面散射特性和體散射特性的差異。目標(biāo)表面的面散射特性與表面粗糙度緊密相關(guān)，越光滑，鏡面反射分量越強(qiáng)，漫反射分量相對(duì)較弱。體散射光是由于目標(biāo)材質(zhì)不均勻或由不同材質(zhì)混合而成時(shí)，透射光波中一部分經(jīng)過多次散射、穿過目標(biāo)表面重新回到大氣中而產(chǎn)生的。對(duì)于理想的漫反射表面，其標(biāo)量BRDF 函數(shù)與探測(cè)幾何位置、光源幾何位置無(wú)關(guān)，即BRDF 值不具有方向性，可以利用朗伯表面的BRDF 值ρ/π 代替，其中ρ為反射率，定義為反射輻射通量與入射輻射通量之比。但是自然界中大部分目標(biāo)表面都不是朗伯表面。因此，出現(xiàn)了很多不同種類的BRDF 模型來描述目標(biāo)表面的散射特性。

2.1 Torrance-Sparrow 模型

基于鏡面反射的微面元理論提出的Torrance-Sparrow 模型目前已經(jīng)成功應(yīng)用于遙感探測(cè)，用高斯分布作為微面元的概率分布函數(shù)[3-4]。微面元理論可簡(jiǎn)述為：如果目標(biāo)表面粗糙度大于或等于入射輻射波長(zhǎng)，則其可被看成是由一組微面元組成；微面元的法線分布滿足某種概率分布，每個(gè)微面元的反射特性可近似看成是鏡面反射。Torrance-Sparrow 模型的公式如下一組公式所示：

其中，σ 表示物體表面的粗糙程度，其值越小表示物體表面越光滑；下標(biāo)i 表示入射方向，r 表示觀測(cè)方向；式(3)中β 為入射方向與zμ間的夾角，=ri為方位角的差；圖2 為BRDF 與物體表面法線z 及微面元法線zμ之間的相對(duì)位置關(guān)系，式(4)中θ 為z與zμ間的夾角，即圖2 中的θN；式(5)中PD(σ,θ)為微面元方位（法向）概率分布函數(shù)；式(6)中G(θi,θr,)為遮蔽因子。

圖2 物體表面法線及微面元法線相對(duì)位置關(guān)系

2.2 各項(xiàng)異性Phong 模型

各向異性Phong 模型由兩部分組成，分別是鏡面反射和漫反射[5],如下面公式所示：

其中，i 表示每個(gè)面元。

鏡面反射BRDF 可表示為：

式中Rspec為目標(biāo)材料鏡面反射率，上標(biāo)B 表示目標(biāo)本體坐標(biāo)系表示面元指向太陽(yáng)的單位矢量表示面元指向觀測(cè)站的單位矢量表示面元指向太陽(yáng)矢量與指向觀測(cè)站矢量的平分單位矢量表示面元法線單位向量在面元內(nèi)且相互垂直，與三者符合笛卡兒坐標(biāo)系右手定律。

式(8)中，D 為材料鏡面反射分布特性，有：

菲涅爾反射為：

式中Rdiff為目標(biāo)材料漫反射率，漫反射BRDF 即為：

2.3 Davis 模型

Davis 模型如下式所示[6-7]：

式中ρ 為反射率，λ 為波長(zhǎng)，σ 為表面粗糙度均方根；a 為表面自相關(guān)長(zhǎng)度，入射角為(θi,i)，面元上的出射角則為

3 仿真分析

圖3 所示為在觀測(cè)角θr=30°、方位角=180°時(shí)，粗糙度σ 分別取0.1、0.2、0.3 時(shí)，Torrance-Sparrow BRDF 模型的值隨入射角θi的變化規(guī)律，可以看出隨著粗糙度的增大，表面的鏡面反射分量減小，漫反射特性更加明顯。

圖3 不同粗糙度下BRDF 與入射角的關(guān)系

圖4 為由各項(xiàng)異性Phong 模型仿真得到的相位角變化曲線圖。相位角是指觀測(cè)矢量和光源入射矢量之間的夾角，它的變化是目標(biāo)位置變化的結(jié)果。各項(xiàng)異性Phong 模型是基于單位矢量表示的，可以通過獲取目標(biāo)、光源和觀測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)位置得出相應(yīng)的單位向量，然后與目標(biāo)的材料參數(shù)，幾何尺寸參數(shù)以及姿態(tài)參數(shù)作用以得出目標(biāo)的光度值。

圖4 Phong 模型仿真相位角變化曲線

圖5 為由Davis 模型仿真得到的BRDF 在可見光波段的光譜曲線圖?？梢钥闯鯞RDF 值隨著波長(zhǎng)的增加在減小。Davis 模型中有波長(zhǎng)參數(shù)，可用來分析目標(biāo)的光譜特性。

綜上可見，基于空間目標(biāo)的光度曲線特點(diǎn)可以反演目標(biāo)的位置、姿態(tài)和大小等特性。空間目標(biāo)光度特性建模研究成為近幾年的研究熱點(diǎn)[8-10]。

圖5 Davis 模型仿真BRDF 隨波長(zhǎng)變化曲線

4 結(jié)束語(yǔ)

通過分析光度建模中常用的三種BRDF 模型，從仿真分析中得出基于各項(xiàng)異性Phong 模型的相位角隨時(shí)間變化關(guān)系、基于Torrance-Sparrow 模型的BRDF 隨入射角變化關(guān)系和基于Davis 模型的BRDF 隨波長(zhǎng)變化關(guān)系。三種模型中使用了不同的材料參數(shù)，可以根據(jù)具體的目標(biāo)空間位置及目標(biāo)材料特點(diǎn)選擇不同的BRDF 模型。