基于MCFT的鋼筋增強(qiáng)ECC梁受剪承載力計(jì)算方法

喬 治 潘鉆峰 梁堅(jiān)凝 孟少平

(1東南大學(xué)土木工程學(xué)院,南京 210096)(2同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院,上海 200092)(3香港科技大學(xué)土木與環(huán)境工程系,香港)

混凝土構(gòu)件的剪切破壞屬脆性破壞,其受剪性能與混凝土材料本身的抗拉性能息息相關(guān).Li等[1-2]根據(jù)細(xì)觀力學(xué)和斷裂力學(xué)設(shè)計(jì)出具有應(yīng)變硬化能力的超高韌性水泥基復(fù)合材料(ECC),在纖維體積摻量不大于2.0%的情況下,其極限拉應(yīng)變可達(dá)到2%以上,且拉伸過程中形成許多相互平行的寬度小于100 μm的細(xì)裂縫.國內(nèi)外學(xué)者對ECC構(gòu)件的受剪性能進(jìn)行了一定的研究,研究成果均表明[3-12],ECC材料優(yōu)異的拉伸延性能夠提高構(gòu)件的受剪承載力和剪切延性.

文獻(xiàn)[13-17]將MCFT改進(jìn)后用于高性能鋼纖維混凝土構(gòu)件受剪承載力的計(jì)算中,取得了較好的預(yù)測精度.相比傳統(tǒng)混凝土材料和鋼纖維混凝土材料,ECC開裂后表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變硬化現(xiàn)象,能夠繼續(xù)承擔(dān)拉應(yīng)力,因此開裂后的ECC更適合被看作一種連續(xù)材料而應(yīng)用到MCFT理論中.Xoxa[6]利用面內(nèi)純剪試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合了ECC平均主拉應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和裂縫處局部應(yīng)力平衡關(guān)系,并提出了適用于ECC構(gòu)件受剪承載力計(jì)算的修正MCFT理論.Nagai等[18]根據(jù)已有試驗(yàn)資料,得到了ECC在拉壓雙軸應(yīng)力狀態(tài)下的軟化單軸拉伸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和軟化單軸壓縮應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,以用于模擬開裂后ECC材料的力學(xué)行為.

本文基于ECC材料力學(xué)特性,修正了MCFT中材料的軟化平均應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系,為考慮纖維在斜裂縫處的應(yīng)力傳遞能力,對MCFT中的局部應(yīng)力平衡方程也做出相應(yīng)調(diào)整,使該理論能夠更好地反映鋼筋增強(qiáng)ECC(RECC)梁的受剪機(jī)理;然后通過合理簡化,推導(dǎo)了ECC斜裂縫角度和平均主拉應(yīng)變的顯示計(jì)算公式,并提出了有腹筋RECC梁受剪承載力的簡化計(jì)算方法.建立了40根RECC梁和6個RECC板的剪切試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫,對本文提出的修正MCFT方法和簡化計(jì)算方法進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 基于MCFT的RECC梁抗剪計(jì)算模型

1.1 變形協(xié)調(diào)方程

假定鋼筋與基體材料之間形變完全協(xié)調(diào),并將開裂后的ECC看作新的材料,采用跨越幾條裂縫的平均應(yīng)力應(yīng)變，并借助莫爾圓建立了相容方程.圖1為RECC梁單元體平均應(yīng)變莫爾圓,由圖可得

γxy=2(εx-ε2)/tanθ

(1)

εx+εy=ε1+ε2

(2)

(3)

式中,ε1,ε2分別為垂直于裂縫的平均主拉應(yīng)變和平行于裂縫的平均主壓應(yīng)變;εx,εy,γxy分別為平均縱向應(yīng)變、平均橫向應(yīng)變、平均剪切應(yīng)變;θ為裂縫(或斜壓桿)傾角,為簡化計(jì)算,假定裂縫傾角與主壓應(yīng)力及應(yīng)變方向一致.

圖1 開裂ECC單元的變形協(xié)調(diào)示意圖

1.2 平衡方程

RECC梁單元體受力狀態(tài)及其相應(yīng)的ECC平均應(yīng)力莫爾圓見圖2,由圖可得以下方程式:

fx-ρsxfsx=fcx=f1-νxy/tanθ

(4)

fy-ρsyfsy=fcy=f1-νxytanθ

(5)

f2=f1-vxy(tanθ+cotθ)

(6)

式中,fx,fy分別為單元體x和y方向的應(yīng)力;fsx,fsy分別為鋼筋x和y方向的應(yīng)力;fcx,fcy分別為ECC材料x和y方向的應(yīng)力;f1,f2,νxy分別為ECC平均主拉應(yīng)力、平均主壓應(yīng)力及平均剪應(yīng)力;ρsx,ρsy分別為單元體x和y方向的配筋率.

(a) 力平衡方程

1.3 本構(gòu)方程

ECC構(gòu)件斜向開裂后,ECC斜壓桿處于拉壓雙軸應(yīng)力狀態(tài),這使得ECC在主壓應(yīng)力和主拉應(yīng)力方向上均發(fā)生明顯的軟化現(xiàn)象.Xoxa[6]根據(jù)ECC面內(nèi)純剪試驗(yàn)數(shù)據(jù)回歸分析，得到了開裂ECC考慮受拉軟化效應(yīng)的平均主拉應(yīng)力(f1)-應(yīng)變(ε1)關(guān)系:

(7)

Nagai等[18]為考慮ECC斜壓桿在受壓方向的軟化現(xiàn)象,提出在ECC單軸受壓應(yīng)力-應(yīng)變曲線上乘以一個軟化系數(shù)ωc,則開裂ECC的主壓應(yīng)力(f2)-應(yīng)變(ε2)關(guān)系可表達(dá)為

(8)

(9)

式中,εtu為ECC的極限拉應(yīng)變;εc為ECC的峰值壓應(yīng)變;κ為形狀系數(shù),對于混凝土材料κ=2,對于ECC,κ可近似取為1.35.

1.4 裂縫間及裂縫處力的平衡方程

RECC梁在斜裂縫之間的應(yīng)力傳遞如圖3所示.不同于普通鋼筋混凝土梁,RECC梁出現(xiàn)斜裂縫后,裂縫間ECC所承擔(dān)的拉應(yīng)力并不會減小,反而會隨著外力的增加而繼續(xù)緩慢增加,裂縫處的ECC由于纖維的橋接作用同樣存在一部分拉應(yīng)力.在斜裂縫之間與斜裂縫處,梁所承受的剪力分別為

(10)

(11)

式中,b為截面寬度;dv為計(jì)算模型的抗剪有效高度,可近似取max(0.9h0,0.72h)[19-20],h0為截面有效高度,h為截面高度;fscry為裂縫處的鋼筋應(yīng)力;Asy為配置在同一截面內(nèi)箍筋各肢的截面面積;s為沿構(gòu)件長度方向的箍筋間距;vci為裂縫面上骨料咬合作用產(chǎn)生的剪應(yīng)力;fcr1為裂縫處的纖維橋接應(yīng)力,Xoxa[6]給出了一個基于純剪試驗(yàn)數(shù)據(jù)的回歸公式:

(12)

Collins等[21]忽略裂縫間壓應(yīng)力的有利作用,得到混凝土開裂面所能傳遞的最大剪應(yīng)力為

(13)

式中,ag為骨料的最大尺寸;ω為斜裂縫寬度,可近似表示為[22]

(14)

式中,sy和sx分別為箍筋間距和腹板中縱筋的豎向間距,sy和sx的取值均應(yīng)大于100 mm.ECC開裂面所能傳遞的最大剪應(yīng)力也近似按式(13)和(14)計(jì)算,由于ECC中沒有粗骨料,式中ag取為0.

(a) 裂縫間的平均拉應(yīng)力

2 RECC梁受剪承載力計(jì)算方法

2.1 基于MCFT的RECC梁受剪承載力計(jì)算

將上述變形協(xié)調(diào)方程、平衡方程、材料本構(gòu)關(guān)系和局部力平衡方程聯(lián)立,通過Matlab編寫了RECC梁的受剪承載力計(jì)算程序,主要計(jì)算過程如下:

① 輸入RECC構(gòu)件的基本參數(shù),計(jì)算平均裂縫寬度ω,并預(yù)估主拉應(yīng)變值ε1、斜壓桿角度θ和箍筋中的應(yīng)力fsy.

② 由式(7)、(5)、(6)分別計(jì)算f1,νxy和f2.

④ 由式(8)和(3)分別計(jì)算主壓應(yīng)變ε2和箍筋應(yīng)變εy,計(jì)算箍筋的應(yīng)力fsy=εyEs≤fsyy,fsyy為箍筋屈服強(qiáng)度,Es為鋼筋彈性模量.

⑤ 驗(yàn)證fsy與第①步假設(shè)的fsy是否相等,如果不相等則重新假設(shè)新的fsy,從第②步開始重新迭代,如果相等,則進(jìn)行下一步.

⑥ 由式(3)計(jì)算縱筋的應(yīng)變值εx,計(jì)算縱筋的應(yīng)力值fsx=εxEs≤fsxy,fsxy為縱筋屈服強(qiáng)度.

⑦ 計(jì)算RECC構(gòu)件截面上承擔(dān)的軸向力fx=f1-vxy/tanθ+ρsxfsx,式中,vxy=V/(bdv).

⑧ 驗(yàn)證fx是否等于RECC構(gòu)件實(shí)際承受的軸力,對非預(yù)應(yīng)力受彎構(gòu)件,實(shí)際軸力為零,如果不滿足重新選擇θ,從第①步重新迭代,若滿足則進(jìn)行下一步.

⑨ Δf=f1-fcr1-ρsy(fsyy-fsy),如果Δf≤0,取骨料摩擦和咬合作用νci=0;裂縫處箍筋應(yīng)力fscry和縱筋應(yīng)力fscrx計(jì)算公式為

fscry=fsy+(f1-fcr1)/ρsy

(15)

fscrx=fsx+(f1-fcr1)/ρsx

(16)

如果Δf>0,

νci=Δf/tanθ

(17)

fscry=fsyy

(18)

(19)

驗(yàn)證fscrx≤fsxy或vci≤vci,max是否滿足,如果不滿足,重新選擇ε1,并返回第①步繼續(xù)迭代,若滿足則為相應(yīng)的最終結(jié)果.

RECC梁的受剪承載力無法通過上述計(jì)算程序一次性計(jì)算得出,通常需要經(jīng)過幾次試算來確保計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.試算時,可將2εy和4εy作為ε1的初始迭代值分別進(jìn)行2次迭代運(yùn)算,εy可取為箍筋屈服應(yīng)變，對比2次計(jì)算得出的剪切荷載,若二者相等即為試件的受剪承載力,若不相等則需進(jìn)一步增大ε1的初始迭代值(增幅建議為2εy)進(jìn)行新的迭代計(jì)算,直至剪切荷載計(jì)算值與上一次試算結(jié)果相等為止.試件達(dá)到其受剪承載力時箍筋通常已經(jīng)屈服,斜壓桿角度θ一般在25°～45°之間變化,因此每次試算時fsy和斜壓桿角度θ的初始迭代值可分別取為箍筋屈服強(qiáng)度和中間值35°.

2.2 拱模型

鋼筋混凝土構(gòu)件受剪承載力一般隨剪跨比的減小而增大,對于鋼筋混凝土梁,一般認(rèn)為剪跨比小于2.5時[23]拱效應(yīng)比較明顯.MCFT理論是一種基于截面的抗剪設(shè)計(jì)方法,沒有考慮拱效應(yīng),對剪跨比大于2.5構(gòu)件的受剪承載力預(yù)測較為準(zhǔn)確.因此,對于剪跨比大于2.5的RECC梁,其受剪承載力直接使用本文提出的修正MCFT模型計(jì)算;對于剪跨比小于2.5的梁,本文將采用桁架-拱模型預(yù)測其受剪承載力V[24],即V=Vt+Va.桁架模型對受剪承載力的貢獻(xiàn)項(xiàng)Vt按修正MCFT理論進(jìn)行計(jì)算,而拱模型則可簡化為一根自構(gòu)件頂部受壓區(qū)至底部受壓區(qū)的斜壓桿,如圖4所示.拱效應(yīng)所提供的抗剪強(qiáng)度Va可按下式計(jì)算:

(20)

(21)

(22)

圖4 拱模型的基本受力單元

ECC的壓應(yīng)力為拱模型和桁架模型中ECC壓應(yīng)力的疊加,但是桁架機(jī)構(gòu)中ECC斜壓桿與拱桿的角度不同,這里簡單地認(rèn)為斜壓桿總壓應(yīng)力為二者的相加.

2.3 RECC梁剪切試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫

2.4 修正MCFT計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對比

由修正MCFT理論得到的受剪承載力Vpre與剪切數(shù)據(jù)庫中RECC梁的實(shí)測受剪承載力Vexp的對比情況如圖5所示.圖中數(shù)據(jù)點(diǎn)較為緊密地分布在對角線附近,試驗(yàn)強(qiáng)度與計(jì)算強(qiáng)度的比值RS的均值及變異系數(shù)分別為0.976和0.199,說明本文提出的修正MCFT理論可較為準(zhǔn)確地預(yù)測RECC梁的受剪承載力.結(jié)合拱模型,修正MCFT理論也能夠適用于剪跨比小于2.5的RECC梁.

圖5 基于修正MCFT的受剪承載力計(jì)算值與試驗(yàn)值的比較

3 有腹筋RECC梁受剪承載力簡化計(jì)算公式

盡管本文提出的修正MCFT理論能夠合理地預(yù)測RECC梁的受剪承載力,但是該計(jì)算模型仍存在2個問題:① MCFT理論用于常規(guī)設(shè)計(jì)過于復(fù)雜,精確計(jì)算需要一定的迭代過程;② 相對延性較大的彎曲破壞模式,剪切破壞在設(shè)計(jì)中應(yīng)予以避免. 因此,如果一個抗剪設(shè)計(jì)方法得到的RS數(shù)學(xué)期望接近1,并不表示該方法較優(yōu),從設(shè)計(jì)角度而言,RS應(yīng)該略大于1,以保證足夠的安全性.文獻(xiàn)[27]基于MCFT理論,推導(dǎo)了混凝土斜壓桿角度的顯式計(jì)算公式,提出了有腹筋鋼筋混凝土梁受剪承載力的簡化計(jì)算公式,并得到了較高的計(jì)算精度.因此,本文擬采用文獻(xiàn)[27]中提出的簡化方法,推導(dǎo)RECC梁的受剪承載力簡化計(jì)算公式.

3.1 ECC對抗剪的貢獻(xiàn)項(xiàng)VECC

如圖3所示,本文提出的修正MCFT考慮了裂縫間及裂縫處ECC拉應(yīng)力對抗剪的貢獻(xiàn)項(xiàng).因此,ECC對抗剪的貢獻(xiàn)VECC可取開裂ECC主拉應(yīng)力傳遞剪力的能力V1和通過開裂面骨料咬合作用及纖維橋接作用傳遞剪力的能力V2之間的較小值.依據(jù)圖3中力平衡關(guān)系,V1和V2可表示為

V1=(90ε1+1)fcrbdvcotθ

(23)

(24)

因此,ECC對抗剪的貢獻(xiàn)項(xiàng)VECC為min(V1,V2).另外,箍筋對抗剪的貢獻(xiàn)項(xiàng)Vs可表示為

(25)

從式(23)和(24)中可看出,ECC對抗剪的貢獻(xiàn)中有2個未知數(shù),即斜壓桿角度θ及斜向開裂ECC的主拉應(yīng)變ε1.為了得到顯式的受剪承載力計(jì)算公式,需推導(dǎo)出θ和ε1的簡化計(jì)算公式.

3.2 斜壓桿角度θ計(jì)算公式推導(dǎo)

文獻(xiàn)[27]在計(jì)算鋼筋混凝土梁受剪承載力時,假定箍筋進(jìn)入屈服為斜截面破壞的標(biāo)識,此時剪力一般稍小于剪壓區(qū)壓潰時的剪力,采用箍筋屈服這一標(biāo)識,設(shè)計(jì)相對安全,但不失準(zhǔn)確性.本文在計(jì)算ECC斜壓桿角度θ時,同樣沿用該假定.臨近箍筋屈服時,箍筋、縱筋及ECC斜壓桿一般均可假定處在線性階段,即fsy=nEcεy,fsx=nEcεx,ε2=f2/Ec,n=Es/Ec;此外,由式(10)和(11)可知,f1=vECCtanθ,其中vECC=VECC/(bdv),代入到式(4)～(6)中,聯(lián)合變形協(xié)調(diào)條件式(3),可得

tan2θ=

(26)

由于式(26)中包含了未知的vECC和vxy,使得求解θ需要經(jīng)過繁瑣的迭代,現(xiàn)對式(26)進(jìn)行合理的簡化.在利用修正MCFT理論計(jì)算數(shù)據(jù)庫中RECC梁的受剪承載力過程中,作者發(fā)現(xiàn)受剪破壞時,vECC/vxy一般在30%～80%之間變化.將不同的vECC/vxy代入式(26),可得到一個一元四次方程,經(jīng)過簡單的迭代可得到θ,其計(jì)算結(jié)果如圖6所示,圖中n取為10.從圖中可看出,vECC/vxy對θ的計(jì)算值影響較小,這里假定vECC/vxy取數(shù)據(jù)庫計(jì)算結(jié)果的均值0.55,式(26)可簡化為

(27)

圖6 不同vECC/vxy對斜壓桿角度θ的影響

對式(27)進(jìn)行試算發(fā)現(xiàn),式(27)右邊項(xiàng)的θ取值對式(27)最終值的影響不大.剪切數(shù)據(jù)庫計(jì)算結(jié)果表明,斜壓桿角度θ一般在25°～45°之間變化,因此可將式(27)右邊項(xiàng)的θ取為中間值35°,則式(27)可進(jìn)一步簡化為

(28)

圖7比較了式(27)與簡化式(28)計(jì)算值差異

圖7 簡化式(28)與式(27)計(jì)算值差異比較

(n=10).由圖7可見,兩者計(jì)算值差異非常小.

3.3 ECC平均主拉應(yīng)變ε1的簡化計(jì)算方法

文獻(xiàn)[28]基于箍筋應(yīng)變εy建立了混凝土構(gòu)件斜裂縫寬度的計(jì)算方法,而直接影響斜裂縫寬度的是開裂混凝土的平均主拉應(yīng)變ε1,即ε1和箍筋應(yīng)變εy存在某種聯(lián)系[27].本文直接將ε1與箍筋剛屈服時的εy聯(lián)系起來,通過對數(shù)據(jù)庫中有腹筋鋼筋混凝土梁受剪承載力的計(jì)算,回歸分析得出ε1=1.35εy.鑒于此,本文針對數(shù)據(jù)庫中的29根有腹筋RECC梁,利用已提出的修正MCFT理論，分析了箍筋屈服時ε1與εy的關(guān)系,得到ε1/εy均值為1.75,將ε1=1.75εy和式(28)代入式(23)～(25),可計(jì)算出ECC構(gòu)件受剪承載力為

V=VECC+Vs

(29)

其中

(30)

3.4 簡化計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對比

為驗(yàn)證簡化計(jì)算方法的準(zhǔn)確性,提取數(shù)據(jù)庫中29根有腹筋RECC梁,對其受剪承載力試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)算.其中,剪跨比大于2.5的梁,其受剪承載力直接由簡化方法計(jì)算得出;剪跨比小于2.5的梁,由上述桁架-拱模型得出,其中桁架模型采用簡化方法計(jì)算,拱模型由式(20)和(21)計(jì)算得出.圖8顯示了簡化方法計(jì)算得到的RECC梁受剪承載力Vspre與實(shí)測受剪承載力Vexp的對比情況.如圖8所示,試驗(yàn)強(qiáng)度與計(jì)算強(qiáng)度的比值RS的均值及變異系數(shù)分別為1.05和0.197.可見簡化方法的計(jì)算值與試驗(yàn)值吻合較好,且預(yù)測值比實(shí)測值稍小,在保證抗剪設(shè)計(jì)安全性的前提下,簡化方法還給出了顯式的計(jì)算公式,與修正MCFT理論相比,更適合于RECC梁抗剪常規(guī)設(shè)計(jì).

圖8 簡化計(jì)算方法得到的受剪承載力計(jì)算值與數(shù)據(jù)庫試驗(yàn)值的比較

4 結(jié)論

1) 本文基于修正壓力場理論,并根據(jù)ECC的特性,對ECC主應(yīng)力-主應(yīng)變關(guān)系和局部應(yīng)力平衡方程進(jìn)行了修正,考慮了裂縫間和裂縫處纖維的橋接作用對抗剪的有利作用,提出了適用于RECC梁的修正MCFT理論.

2) 建立了40個RECC梁和6個RECC板的剪切試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫,驗(yàn)證本文提出的修正MCFT理論的合理性,計(jì)算結(jié)果表明,修正MCFT方法具有較好的計(jì)算精度,適用于RECC梁受剪承載力計(jì)算.

3) 基于修正MCFT理論進(jìn)行合理簡化,推導(dǎo)了ECC斜壓桿角度的顯式計(jì)算公式.將斜裂縫間ECC主拉應(yīng)變與箍筋剛屈服時的應(yīng)變聯(lián)系起來,得到有腹筋ECC構(gòu)件受剪承載力的簡化計(jì)算公式,相比修正MCFT理論,無需繁瑣的迭代計(jì)算.采用簡化計(jì)算公式預(yù)測剪切數(shù)據(jù)庫中29根有腹筋RECC梁的受剪承載力,試驗(yàn)值與計(jì)算值比值的均值和變異系數(shù)分別為1.05和0.197,預(yù)測精度較高.