人教B選修2-3 1.1.3二項(xiàng)式定理（一）教學(xué)設(shè)計(jì)

王園園

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

（1）教學(xué)內(nèi)容解析。二項(xiàng)式定理是初中乘法公式的推廣，是排列組合知識的具體運(yùn)用，是學(xué)習(xí)概率的重要基礎(chǔ).這部分知識具有較高應(yīng)用價(jià)值和思維訓(xùn)練價(jià)值.中學(xué)教材中的二項(xiàng)式定理主要包括：定理本身，通項(xiàng)公式，楊輝三角，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)等。

通過二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生掌握有關(guān)知識，同時(shí)在求展開式、其通項(xiàng)、證恒等式、近似計(jì)算等方面形成技能或技巧;進(jìn)一步體會過程分析與特殊化方法等等的運(yùn)用;重視學(xué)生正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成.

二項(xiàng)式定理本身是教學(xué)重點(diǎn)，因?yàn)樗呛竺嬉磺薪Y(jié)果的基礎(chǔ).通項(xiàng)公式，楊輝三角，特殊化方法等意義重大而深遠(yuǎn)，所以也應(yīng)該是重點(diǎn)。

二項(xiàng)式定理的證明是一個教學(xué)難點(diǎn).這是因?yàn)?，證明中符號比較抽象、需要恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用組合數(shù)的性。需要用到不太熟悉的數(shù)學(xué)歸納法。

（2）學(xué)生學(xué)情分析。二項(xiàng)式定理是初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式乘法的繼續(xù)，它所研究的是一類特殊的多項(xiàng)式，表現(xiàn)為二項(xiàng)式的乘方的展開式，也是解決某些整除、近似計(jì)算等問題的重要方法之一。學(xué)生在初中是以多項(xiàng)式的乘法展開為載體，從具體式子感知多項(xiàng)式的展開。學(xué)生進(jìn)入高中一年多的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，在數(shù)學(xué)符號化、公理化、抽象化等方面得到了有效的鍛煉，邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法得到了訓(xùn)練，特別是，前一節(jié)學(xué)習(xí)了計(jì)數(shù)原理后，對該節(jié)課推導(dǎo)二項(xiàng)式定理奠定了基礎(chǔ)。從學(xué)生現(xiàn)階段的思維特點(diǎn)分析，大部分學(xué)生解決展開式采用的是的不完全歸納法（猜想），與初中學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式的展開結(jié)合起來，從的展開式的形式特點(diǎn)等方面進(jìn)行類比，教師可以因勢利導(dǎo)，讓學(xué)生體會從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想方法。然而，無窮大時(shí)，能保證展開式恒成立嗎？

（3）教學(xué)策略分析。在教學(xué)中，努力把表現(xiàn)的機(jī)會讓給學(xué)生，以發(fā)揮他們的自主精神;盡量創(chuàng)造讓學(xué)生活動的機(jī)會，以讓學(xué)生在直接體驗(yàn)中建構(gòu)自己的知識體系;盡量引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展和創(chuàng)造意識，以使他們能在再創(chuàng)造的氛圍中學(xué)習(xí).

（4）教學(xué)目標(biāo)設(shè)置。知識與技能：①理解并掌握二項(xiàng)式定理，能利組合思想證明二項(xiàng)式定理;②能利用通項(xiàng)公式求某一項(xiàng)的系數(shù)。

過程與方法：通過學(xué)生參與和探究二項(xiàng)式定理的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力，以及化歸的意識與方法遷移的能力，體會從特殊到一般的思維方式。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生的自主探究意識，合作精神，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，體會數(shù)學(xué)語言的簡潔和嚴(yán)謹(jǐn)。

教學(xué)重點(diǎn)：用計(jì)數(shù)原理分析、的展開式，推導(dǎo)二項(xiàng)式定理。

教學(xué)難點(diǎn)：利用計(jì)數(shù)原理分析二項(xiàng)式的展開過程，發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式形成單項(xiàng)式之和時(shí)各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律。

二、教學(xué)過程

（1）創(chuàng)設(shè)問題情境，因疑惑而激趣

教師：請同學(xué)們計(jì)算下面兩個題：?

教師：請同學(xué)們計(jì)算：

觀察學(xué)生反應(yīng)

教師板書：二項(xiàng)式定理：

【設(shè)計(jì)意圖】從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)設(shè)置問題情境，在困惑中激發(fā)學(xué)生思考解決問題方法，讓多數(shù)學(xué)生能動手動腦，不僅能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，更是調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的積極性。數(shù)學(xué)不是冰冷的美麗，她是來自現(xiàn)實(shí)的火熱思考。問題情境中滲透數(shù)學(xué)史，且緊扣本節(jié)課的主題與重點(diǎn)。

（2）親身體驗(yàn)，探索新知

教師：就是四個相乘，剛才求得的展開式是這樣的：。

請思考問題：①展開式中各種類型的項(xiàng)是如何得到的？②展開式中各項(xiàng)的系數(shù)是如何確定的？

學(xué)生：分步計(jì)數(shù)原理：第一步，第一次取有兩種不同的方法;第二步，第二次取有兩種不同的方法，共四步，共有項(xiàng)。

【設(shè)計(jì)意圖】教師確定研究方向后讓學(xué)生自主探究，留給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間，讓學(xué)生回憶計(jì)數(shù)原理。

教師提示：是2個相乘，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則，每個再相乘時(shí)有兩種選擇，選或選，而且每個中的或都選定后，才能得到展開式的一項(xiàng)。于是，由分步乘法原理，再合并同類項(xiàng)之前，的展開式有4項(xiàng)，而且每一項(xiàng)都是的形式。

每個都不取的情況有1種，即，即前的系數(shù)為;恰有1個取的情況有2種，即，即前的系數(shù)為;恰有2個取的情況有1種，即，即前的系數(shù)為;因此，

【設(shè)計(jì)意圖】預(yù)設(shè)當(dāng)學(xué)生思維遇阻時(shí)，降低難度，讓學(xué)困生體會展開式的項(xiàng)及其各項(xiàng)系數(shù)的由來;引導(dǎo)學(xué)生用計(jì)數(shù)原理進(jìn)行再思考，分析各項(xiàng)以及項(xiàng)的個數(shù)，這也為推導(dǎo)的展開式提供了方法，使學(xué)生在后續(xù)的探究“法”。

（3）合作探究，總結(jié)規(guī)律

【設(shè)計(jì)意圖】通過小組合作學(xué)習(xí)，加強(qiáng)師生、生生之間的交流。充分體現(xiàn)教師主導(dǎo)學(xué)生主體地位，學(xué)生深層次的參考與到課堂學(xué)習(xí)，成為課堂的主人，加深對所得結(jié)論的理解，培養(yǎng)學(xué)生自主、合作、交流的能力;讓學(xué)生在探索過程中，充分感受到成功的情感體驗(yàn)，做到呂傳漢教授提出的“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”。

【問題】各二項(xiàng)式系數(shù)之和是多少？即

【教師點(diǎn)撥】

（1）將二項(xiàng)式定理左邊、都賦值為1，得

（2）二項(xiàng)式定理給出了一個恒等式，即對兩項(xiàng)、的一切取值都成立，因此對其特殊值也成立，賦值法是解決與二項(xiàng)展開式系數(shù)有關(guān)問題的重要手段。在二項(xiàng)式定理中令，那么二項(xiàng)式定理變成一個關(guān)于的函數(shù)。所有各項(xiàng)系數(shù)和就是。

【設(shè)計(jì)意圖】適當(dāng)拔高，給學(xué)生提供思考的空間，好的數(shù)學(xué)問題能點(diǎn)燃學(xué)生的激情，好奇心總能激發(fā)學(xué)生有效參與課堂學(xué)習(xí)。

4.典型例題分析

五、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”，而“再創(chuàng)造” 的本質(zhì)是學(xué)困之時(shí)、疑難之處為學(xué)生搭建好合適的“腳手架”.本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是如何把二項(xiàng)式展開從多項(xiàng)式乘法中脫胎出來，自然地與計(jì)數(shù)原理、排列組合知識建立聯(lián)系。執(zhí)教者采用“先特殊后一般”、“先低次后高次”、“先局部后整體”的探究策略，以研究“中項(xiàng)的系數(shù)為什么是4”為出發(fā)點(diǎn)，以語言、圖形、文字等3個不同感知為著眼點(diǎn)，啟發(fā)引導(dǎo)建立“取數(shù)模型”，讓學(xué)生感受“用組合來研究二項(xiàng)式展開”的體驗(yàn)。