淺談函數(shù)奇偶性的教學(xué)

徐洪麗

摘要：函數(shù)的奇偶性是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。要想熟練地掌握這一知識，必須使學(xué)生正確理解奇偶函數(shù)的定義、奇偶函數(shù)定義域滿足的條件、函數(shù)的分類、奇偶函數(shù)的判斷方法、奇偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)，以及有關(guān)奇偶函數(shù)的重要結(jié)論。

關(guān)鍵詞：奇偶函數(shù);判斷方法;重要結(jié)論

函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)的性質(zhì)，稱為函數(shù)的奇偶性。函數(shù)的奇偶性在函數(shù)研究中具有舉足輕重的作用。因此，熟練掌握其定義和用法是非常必要的。

一、正確理解奇偶函數(shù)的定義

教材上奇偶函數(shù)的定義是這樣說的：一般地，對于函數(shù)）y=f（x）：如果對函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f （-x）= -f （x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù);如果對函數(shù)定義域內(nèi)的任何一個(gè)x，都有f（一x）=f（x），那么函數(shù)f （x）就叫做偶函數(shù)。

對此定義的理解需要注意以下兩個(gè)方面：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镸。（1）只要x∈M，必須有-X∈M; （2）由f（-x）= -f （x）或f（一x）=f（x）成立，得f（x）與f （-x）必須都有意義，否則無法確定f （-x）與土f（x）是否相等。

一、把握奇偶函數(shù)定義域所滿足的條件

根據(jù)定義，判斷函數(shù)的奇偶性必須考慮定義域，即若X∈M，必須有-X ∈M。

教材上的例題、習(xí)題所給函數(shù)的定義域都是區(qū)間形式，因此許多學(xué)生誤認(rèn)為奇偶函數(shù)的定義域必須是一個(gè)區(qū)間，并且是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的區(qū)間，只要定義域不是對稱區(qū)間，函數(shù)就不是奇偶函數(shù)。事實(shí)上，這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。因?yàn)槎x域是對稱區(qū)間，并不是一個(gè)函數(shù)為奇偶函數(shù)的必要條件。函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，它可以是區(qū)間，也可以是由一些孤立的點(diǎn)構(gòu)成的集合。因此，根據(jù)定義，奇偶函數(shù)的定義域在x軸上對應(yīng)的點(diǎn)集必須關(guān)于原點(diǎn)對稱。

例1 試判斷函數(shù)f（x）= sin πx，x∈N*是否有奇偶性。

解：函數(shù)的定義域M=N'={1，2，3，…）對應(yīng)的點(diǎn)集不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以f （x）= sinπx，x∈N*為非奇非偶函數(shù)。

三、正確理解f（x）與f（-x）的關(guān)系

參考文獻(xiàn)：

[1]劉錫保.高中數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)知識全解[M].北京：龍門書局，2012.