基于分形理論的非飽和土結(jié)構(gòu)吸力定量計(jì)算

鄧鐘尉

(廣州市城市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，廣東 廣州 510060)

基于分形理論的非飽和土結(jié)構(gòu)吸力定量計(jì)算

鄧鐘尉*

(廣州市城市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，廣東 廣州 510060)

已有的研究成果表明，非飽和土強(qiáng)度和變形特性在很大程度上是由結(jié)構(gòu)吸力決定的。本文在可變結(jié)構(gòu)吸力初步表達(dá)式的基礎(chǔ)上，借鑒分形理論中的有關(guān)概念和方法，推導(dǎo)出不等粒徑顆粒間可變結(jié)構(gòu)吸力與土體含水量、干密度、孔隙比等的定量計(jì)算公式，并從理論上分析了可變結(jié)構(gòu)吸力與含水量、干密度、孔隙比的關(guān)系。研究結(jié)果表明，可變結(jié)構(gòu)吸力隨著含水量的增大單調(diào)遞減，隨著干密度的增大單調(diào)遞增，隨著孔隙比的增大單調(diào)遞減，與前人理論研究和試驗(yàn)研究結(jié)果一致。

非飽和土；分形理論；結(jié)構(gòu)吸力；不等粒徑；含水量

1 引 言

吸力[1]是非飽和土力學(xué)研究的基礎(chǔ)性課題，非飽和土土力學(xué)的各種理論(如強(qiáng)度、滲流、變形等)基本上都是圍繞吸力這一概念展開(kāi)的，而對(duì)各種吸力的概念和本質(zhì)認(rèn)識(shí)的正確與否，直接影響到非飽和土有效應(yīng)力原理及抗剪強(qiáng)度理論的建立。非飽和土的抗剪強(qiáng)度理論，學(xué)術(shù)界尚無(wú)法達(dá)成共識(shí)，湯連生團(tuán)隊(duì)[2～5]的研究結(jié)果表明：基于濕吸力及結(jié)構(gòu)吸力的非飽和土有效應(yīng)力原理概念清晰，物理意義明確，初步闡明了A.W.Bishop單應(yīng)力狀態(tài)變量[6，7]中參數(shù)χ和D.G.Fredlund雙應(yīng)力狀態(tài)變量[8，9]中tanФb的物理意義，基于粒間吸力(包括濕吸力和結(jié)構(gòu)吸力)的非飽和土抗剪強(qiáng)度理論，一方面統(tǒng)一了前人的研究成果，另一方面避免了在研究非飽和土強(qiáng)度理論中存在的誤區(qū)，逐漸為國(guó)內(nèi)外的眾多學(xué)者所接受。

在很大程度上，土體的強(qiáng)度和變形特性是由結(jié)構(gòu)吸力決定的，文獻(xiàn)[3]的理論研究及文獻(xiàn)[12]的試驗(yàn)研究均表明：土體結(jié)構(gòu)吸力與含水量、孔隙比和干密度等物理性質(zhì)密切相關(guān)。目前，非飽和土吸力的研究大多是建立在等粒徑球形顆粒接觸模型基礎(chǔ)上的，為研究非飽和土結(jié)構(gòu)吸力與非飽和土土體含水量、孔隙比和干密度等之間的關(guān)系，本文假定不等粒徑的土顆粒是以Horsfield六方最緊密模型堆積的[21]，基于文獻(xiàn)[3]提出的可變結(jié)構(gòu)吸力初步表達(dá)式，借鑒分形理論中的有關(guān)概念和方法，推導(dǎo)出可變結(jié)構(gòu)吸力的定量計(jì)算表達(dá)式，并從理論上分析可變結(jié)構(gòu)吸力與含水量、干密度、孔隙比的關(guān)系。

2 結(jié)構(gòu)吸力性狀初步分析

結(jié)構(gòu)吸力是由水-土化學(xué)作用產(chǎn)生的，其來(lái)源比較復(fù)雜，結(jié)構(gòu)吸力直接作用在土顆粒之間，相當(dāng)于在土顆粒間產(chǎn)生內(nèi)拉應(yīng)力，是有效應(yīng)力的重要組成部分。結(jié)構(gòu)吸力的影響因素較多，主要受含水量、水溶液的化學(xué)性質(zhì)以及土顆粒的組成及排列的影響，本文著重研究由膠結(jié)作用產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)吸力。結(jié)構(gòu)吸力按是否受含水量的影響可分為本征結(jié)構(gòu)吸力和可變結(jié)構(gòu)吸力[2～5]。

2.1 本征結(jié)構(gòu)吸力

土體完全飽和后，土顆粒間仍能保持的那部分結(jié)構(gòu)吸力定義為本征結(jié)構(gòu)吸力，與土的某一結(jié)構(gòu)狀態(tài)相對(duì)應(yīng)。本征結(jié)構(gòu)吸力取決于土體的結(jié)構(gòu)特征，如果土的結(jié)構(gòu)特征發(fā)生變化，本征結(jié)構(gòu)吸力也會(huì)隨之變化甚至喪失，而且是不可恢復(fù)的。因此，它只有受到外應(yīng)力作用而導(dǎo)致土體的結(jié)構(gòu)狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)，其大小才會(huì)發(fā)生改變，不隨含水量等物理性質(zhì)的改變而變化[11]。

2.2 可變結(jié)構(gòu)吸力

受土體的含水量、孔隙水壓力及與之相關(guān)的水化學(xué)作用的變化影響的那部分結(jié)構(gòu)吸力定義為可變結(jié)構(gòu)吸力?？勺兘Y(jié)構(gòu)吸力隨上述各因素的變化而變化的過(guò)程是可逆的，這是可變結(jié)構(gòu)吸力與本征結(jié)構(gòu)吸力的根本區(qū)別，同時(shí)，可變結(jié)構(gòu)吸力還跟土體的含水量、干密度、孔隙比等土體物理狀態(tài)量密切相關(guān)，作為非飽和土有效應(yīng)力的重要組成部分之一，可變結(jié)構(gòu)吸力對(duì)非飽和土的強(qiáng)度有重要的貢獻(xiàn)。本文主要研究可變結(jié)構(gòu)吸力。

2.3 初始可變結(jié)構(gòu)吸力

3 可變結(jié)構(gòu)吸力公式推導(dǎo)

從結(jié)構(gòu)吸力的概念可知，其大小和變化規(guī)律受到兩個(gè)因數(shù)的影響：一是膠結(jié)物和孔隙水溶液的化學(xué)成分與含量，該因素決定了土顆粒間單個(gè)接觸點(diǎn)的結(jié)構(gòu)吸力與其隨飽和度的變化規(guī)律；二是顆粒間的接觸特性，該因素決定了單位面積上土顆粒的接觸點(diǎn)數(shù)與其隨顆粒堆積方式和應(yīng)力狀態(tài)的變化規(guī)律。

3.1 可變結(jié)構(gòu)吸力初步表達(dá)式

基于Щукин[10]土的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度理論，文獻(xiàn)[3]初步給出了可變結(jié)構(gòu)吸力的計(jì)算表達(dá)式：

(1)

3.2 基于分形理論的可變結(jié)構(gòu)吸力定量公式

(1)土顆粒粒度分布密度函數(shù)

土體是由一系列大小不等的土顆粒組成的，其顆粒組成可用分維理論中的分維系數(shù)來(lái)表征。土顆粒粒徑分布的分維系數(shù)越大，說(shuō)明土體中細(xì)顆粒的含量越高，粗顆粒含量則越低。

根據(jù)概率論，土體中顆粒半徑大于r的概率與粒徑、粒徑的分布密度函數(shù)間滿足以下關(guān)系[13]：

(2)

式中，r為土顆粒半徑；D為土顆粒粒度分布的分維系數(shù)；P(r)為土體中顆粒粒徑大于r的概率；p(r)為粒徑的分布密度函數(shù)；k為比例系數(shù)。

對(duì)式(2)求導(dǎo)，即可得到顆粒粒徑的分布密度函數(shù)，即：

p(r)=kDr-D-1

(3)

(2)土顆粒的分維系數(shù)

在顆粒粒徑與顆粒累計(jì)含量間的對(duì)數(shù)關(guān)系曲線lgm(r)-lg(r)上做出分維直線，求出分維直線的斜率b，土顆粒粒度分布的分維系數(shù)可按下式確定[14～15]：

D=3-b

(4)

式中，b為lgm(r)-lg(r)雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中分維直線的斜率，可根據(jù)下式求得：

(5)

式中，lgm(r1)、lgm(r2)分別表示顆粒粒徑大于r1、r2的累積含量。

(3)單位土體土顆粒總體積

(6)

式(6)對(duì)r積分，可得單位體積土體中的土顆?？傮w積：

(7)

式中，rmax、rmin分別為土體中顆粒粒徑的最大值和最小值。

(4)單位土體的顆?？倲?shù)

根據(jù)土力學(xué)中三相指標(biāo)的換算關(guān)系，對(duì)于單位體積的土體，固體土顆粒的體積Vs可用下式表示：

Vs=1×(1-n)=1-n

(8)

式中，n為土體的孔隙率。

聯(lián)合式(7)和式(8)，可以得到單位體積土體中的顆?？倲?shù)：

(9)

對(duì)于任意給定的土體，所有顆粒均大于或等于最小粒徑，即顆粒大于最小粒徑的概率為100%，即：

(10)

整理上式可得比例系數(shù)：

(11)

聯(lián)合式(9)和式(11)式可得：

(12)

式中，各變量的含義同上。

(5)單位土體的接觸點(diǎn)個(gè)數(shù)

顆粒的配位數(shù)Nc表征單個(gè)顆粒與周?chē)渌w粒的接觸點(diǎn)數(shù)，配位數(shù)Nc跟土顆粒的堆積與排列方式有關(guān)。

對(duì)于單位體積的土體，定義土體內(nèi)顆粒的接觸點(diǎn)總數(shù)為Nj。由Nj的概念可知，Nj為單位體積土體內(nèi)的土顆?？倲?shù)N0與配位數(shù)Nc的乘積，由于每個(gè)接觸點(diǎn)均由兩個(gè)顆粒共同擁有，所以單位體積土體內(nèi)接觸點(diǎn)總數(shù)可表示為：

(13)

(6)單位土體中土顆粒的總表面積

單個(gè)土顆粒的表面積Sr為：

Sr=πr2

(14)

單位體積土體中，p(r)dr×N0個(gè)粒徑為r的顆粒表面積dSs為：

dSs=N0×p(r)dr×πr2

(15)

上式對(duì)顆粒半徑r積分，可得單位體積土體中土顆粒的總表面積Ss為：

(16)

將式(11)代入上式可得：

(17)

式中，各變量的意義同上。

(7)單位面積土顆粒接觸點(diǎn)數(shù)與宏觀結(jié)構(gòu)吸力

(18)

(19)

式中，各參數(shù)的物理意義同上。

土體的飽和度Sr、土顆粒比重G、孔隙比e、干密度ρd、及水的密度ρw間存在以下關(guān)系：

Sr=Gw/e

(20)

ρd=G×ρw/(1+e)

(21)

將式(4-3)代入式(4-2)，得：

(22)

式中，各參數(shù)的物理意義同上。式(22)給出了可變結(jié)構(gòu)吸力與土體含水量、孔隙比、配位數(shù)、分維系數(shù)及顆粒半徑之間的表達(dá)式。

4 可變結(jié)構(gòu)吸力定量計(jì)算與分析

本文采用某場(chǎng)地的土樣顆粒試驗(yàn)資料，根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，土體的最大粒徑為 0.2 mm，即rmax=2×10-4m，然而，土體的最小粒徑無(wú)法通過(guò)粒度分析試驗(yàn)測(cè)得，研究表明，顆徑小于1.0×10-6m的土顆粒以膠體的形式存在于懸液中，因此，土顆粒的最小粒徑取膠體顆粒粒徑的上限，即rmin=1.0×10-6m。分維系數(shù)D根據(jù)粒度分析試驗(yàn)結(jié)果來(lái)確定[19]。

根據(jù)式(22)及表1可求得土體在不同含水量/飽和度、干密度及孔隙比條件下可變結(jié)構(gòu)吸力的大小，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2及表3，根據(jù)計(jì)算結(jié)果繪制可變結(jié)構(gòu)吸力與含水量、干密度及孔隙比關(guān)系曲線，如圖1～圖3所示。

土樣參數(shù)及計(jì)算結(jié)果 表1

可變結(jié)構(gòu)吸力與含水量定量關(guān)系 表2

可變結(jié)構(gòu)吸力與干密度、孔隙比定量關(guān)系 表3

圖1 可變結(jié)構(gòu)吸力與含水量關(guān)系曲線

圖2 可變結(jié)構(gòu)吸力與干密度關(guān)系曲線

圖3 可變結(jié)構(gòu)吸力與孔隙比關(guān)系曲線

由圖可見(jiàn)，隨著含水量的增大，可變結(jié)構(gòu)吸力單調(diào)遞減，當(dāng)土體含水量增大至飽和時(shí)，即Sr=100%時(shí)，可變結(jié)構(gòu)吸力趨向于0，從理論上分析，隨著土體含水量的增大，水分在顆粒間的濕潤(rùn)作用增強(qiáng)，同時(shí)水分對(duì)顆粒間的膠結(jié)物溶解和稀釋的作用也增強(qiáng)，膠結(jié)力作用減弱，因而導(dǎo)致可變結(jié)構(gòu)吸力降低。

隨著干密度的增大，可變結(jié)構(gòu)吸力單調(diào)遞增，從微觀上分析，隨著干密度的增大，單位體積土體內(nèi)的土顆粒數(shù)和單位面積上的接觸點(diǎn)數(shù)均增大，導(dǎo)致顆粒間咬合力、連鎖作用等增強(qiáng)，因而導(dǎo)致土體的可變結(jié)構(gòu)吸力增大。

隨著孔隙比的增大，可變結(jié)構(gòu)吸力單調(diào)遞減，隨著土體孔隙比的增大，相當(dāng)于土體干密度減小，單位體積土體內(nèi)的土顆粒數(shù)目減少，單位面積土體上的接觸點(diǎn)數(shù)目隨之減少，因而導(dǎo)致土體的可變結(jié)構(gòu)吸力減小。

5 結(jié) 論

本文為研究不等粒徑非飽和土結(jié)構(gòu)吸力與非飽和土微觀狀態(tài)量(顆粒半徑等)及宏觀狀態(tài)量(含水量等)之間的關(guān)系，借鑒了分形理論中的有關(guān)概念和方法、Horsfield六方緊密堆積模型，開(kāi)展了公式推導(dǎo)及定量計(jì)算，主要研究?jī)?nèi)容和成果如下：

(1)基于文獻(xiàn)[3]提出的可變結(jié)構(gòu)吸力公式，進(jìn)一步推導(dǎo)出不等粒徑顆粒間可變結(jié)構(gòu)吸力與與土體含水量、孔隙比、配位數(shù)、分維系數(shù)及顆粒半徑之間的表達(dá)式；

(2)對(duì)可變結(jié)構(gòu)吸力進(jìn)行了定量計(jì)算，得出了以下結(jié)論：

①隨著含水量的增大，可變結(jié)構(gòu)吸力單調(diào)遞減，當(dāng)土體含水量增大至飽和時(shí)，即Sr=100%時(shí)，可變結(jié)構(gòu)吸力趨向于0；

②隨著干密度的增大，可變結(jié)構(gòu)吸力單調(diào)遞增；

③隨著孔隙比的增大，可變結(jié)構(gòu)吸力單調(diào)遞減。

本文基于不等粒徑球形顆粒模型，假設(shè)土顆粒按Horsfield模型堆積，從理論上推導(dǎo)出非飽和土的可變結(jié)構(gòu)吸力與含水量、干密度及孔隙比間的定量計(jì)算表達(dá)式，與文獻(xiàn)[3]的理論研究及文獻(xiàn)[12]的試驗(yàn)研究結(jié)果一致。然而，對(duì)不等粒徑、任意堆積甚至顆粒形狀不規(guī)則的實(shí)際土體，有待進(jìn)一步研究。

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Quantitative Calculation on Structure Suction of Unsaturated Soil Based on Fractal Theory

Deng Zhongwei

(Guangzhou Urban Planning Survey and Design Institute，Guangzhou 510060，China)

Existing research shows that strength and deformation characteristics of unsaturated soil are largely determined by structure suction. Based on preliminary expressions of variable structure suction，by using concepts and methods of fractal theory for reference，derive quantitative formula derivation on variable structure suction with water content，dry density and void ratio of unsaturated soil with unequal particle diameters. The results show that the variable structure suction monotonically decreases with water content，increases with the dry density and void ratio，consistent with previous theoretical studies and experimental research results.

unsaturated soil；fractal theory；structure suction；unequal particle diameters；water content

1672-8262(2017)04-163-05

TU442

A

2016—08—30

鄧鐘尉(1986—)，男，碩士，工程師，主要從事工程地質(zhì)、水文地質(zhì)勘察、基坑支護(hù)設(shè)計(jì)以及地質(zhì)災(zāi)害防治方面的生產(chǎn)和科研工作。