傅里葉級(jí)數(shù)構(gòu)造的裝飾圖案分析

孫艷玲 姜盈帆 李杰

摘要：在非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)可視化研究中，參考Clifford A.Reiter構(gòu)造“平面結(jié)晶體群”的方法，提出截?cái)喔道锶~級(jí)數(shù)構(gòu)造的平面對(duì)稱(chēng)動(dòng)力系統(tǒng).分析傅里葉級(jí)數(shù)的迭代映射的特點(diǎn)，以矩陣乘積的運(yùn)算形式為工具，構(gòu)造出非線(xiàn)性函數(shù)的截?cái)喔道锶~級(jí)數(shù)對(duì)應(yīng)的平面動(dòng)力系統(tǒng).構(gòu)造出3族截?cái)喔道锶~級(jí)數(shù)的平面對(duì)稱(chēng)動(dòng)力系統(tǒng)，運(yùn)用蒙特卡羅搜索法選定參數(shù)向量，通過(guò)李雅普諾夫指數(shù)確定動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，繪制出3族迭代映射對(duì)應(yīng)動(dòng)力系統(tǒng)的周期窗口內(nèi)的混沌圖案.提出了一個(gè)構(gòu)造正方形格子平面排列的對(duì)稱(chēng)動(dòng)力系統(tǒng)的方法，采用本文提出的方法可以大量構(gòu)造正方形平面排列的混沌圖案，從而為建筑裝飾圖案提供了大量的結(jié)構(gòu)新穎、獨(dú)特別致的素材.

關(guān)鍵詞：裝飾圖案;截?cái)喔道锶~級(jí)數(shù);周期窗口;充滿(mǎn)Julia集

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391.41 ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ?文章編號(hào)：1673-260X（2019）05-0024-03

混沌動(dòng)力學(xué)和分形幾何學(xué)是非線(xiàn)性科學(xué)的重要組成部分，也是當(dāng)前科學(xué)研究的前沿.20世紀(jì)70年代，B.B.Mandelbrot在計(jì)算機(jī)上構(gòu)造出了以他的名字命名的Mandelbrot集[1-2]，并創(chuàng)立了分形理論，提出了一種能夠用于描述大自然的新幾何語(yǔ)言，同時(shí)，隨著計(jì)算機(jī)軟硬件技術(shù)的迅速提高，使得動(dòng)力系統(tǒng)圖形化方面的研究工作得以深入開(kāi)展.運(yùn)用混沌、分形理論和計(jì)算機(jī)圖形化研究，可以進(jìn)一步探索直觀生動(dòng)的可視化圖像的證明與構(gòu)造機(jī)制，為發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象、研究新規(guī)律提供了新的思路.利用分形、混沌等概念大量構(gòu)造的混沌吸引子圖案和各種分形圖案的研究工作吸引了從事數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)、藝術(shù)設(shè)計(jì)各個(gè)領(lǐng)域研究人員的研究興趣[3-5]，在這些領(lǐng)域中所取得的研究成果使得人們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到科學(xué)與藝術(shù)不可分割的關(guān)系.歷史告訴我們，新幾何學(xué)的出現(xiàn)可以成為藝術(shù)發(fā)展的主要催化劑.由此，分形幾何預(yù)示著藝術(shù)的又一個(gè)新的發(fā)展.

本文分析傅里葉級(jí)數(shù)迭代映射的特點(diǎn)，以矩陣乘積的運(yùn)算形式為工具，利用截?cái)喔道锶~級(jí)數(shù)構(gòu)造出不同的非線(xiàn)性函數(shù)對(duì)應(yīng)的平面對(duì)稱(chēng)動(dòng)力系統(tǒng).運(yùn)用蒙特卡羅搜索法選定參數(shù)向量，并通過(guò)李雅普諾夫指數(shù)確定動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，構(gòu)造出周期窗口內(nèi)的混沌分形圖案.從而為建筑裝飾圖案提供了大批題材新穎、內(nèi)容生動(dòng)、形式優(yōu)美的新圖案.

1 截?cái)喔道锶~級(jí)數(shù)

1.1 傅里葉級(jí)數(shù)的定義

2 截?cái)喔道锶~級(jí)數(shù)構(gòu)造的裝飾圖案

2.1 截?cái)喔道锶~級(jí)數(shù)的圖形化

文獻(xiàn)[6]中提出選取原點(diǎn)附近的固定點(diǎn)為初始迭代點(diǎn)，隨機(jī)選取一組對(duì)應(yīng)的動(dòng)力系統(tǒng)的參數(shù)，計(jì)算對(duì)應(yīng)的李雅普諾夫指數(shù)L，并通過(guò)挑選使動(dòng)力系統(tǒng)的L>0的參數(shù)構(gòu)造生成混沌吸引子.但在實(shí)際應(yīng)用中，如果這個(gè)固定的初始迭代點(diǎn)不在吸引子的吸引域內(nèi)，迭代后將不會(huì)逼近混沌吸引子，因而不可能用這個(gè)固定點(diǎn)得到正確的相應(yīng)的動(dòng)力系統(tǒng)的L值.本文采用了一種新的確定初始迭代點(diǎn)的有效方法，即尋找給定參數(shù)下的動(dòng)力系統(tǒng)的Jacobin矩陣行列式值為零的動(dòng)力平面上的極值點(diǎn)集[7-12]，因此，采用文獻(xiàn)[7-12]中的判斷動(dòng)力系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的方法隨機(jī)挑選參數(shù)，構(gòu)造L<0的動(dòng)力系統(tǒng)的充滿(mǎn)Julia集.

2.2 截?cái)喔道锶~級(jí)數(shù)構(gòu)造的裝飾圖案

建筑裝飾是為保護(hù)建筑物的主體結(jié)構(gòu)、完善建筑物的物理性能、使用功能和美化建筑物，采用裝飾裝修材料或飾物對(duì)建筑物的內(nèi)外表面及空間進(jìn)行的各種處理過(guò)程.裝飾圖案是指設(shè)計(jì)者根據(jù)用途，對(duì)象造型、紋樣、材料配置及工藝處理，用圖的形式表現(xiàn)的設(shè)計(jì)理念.裝飾圖案的合理應(yīng)用能給建筑及其環(huán)境帶來(lái)無(wú)限生機(jī)和藝術(shù)魅力，給人以美的享受[13].

本文將截?cái)喔道锶~級(jí)數(shù)與混沌分形相結(jié)合，生成了3族迭代映射對(duì)應(yīng)的平面對(duì)稱(chēng)動(dòng)力系統(tǒng)的充滿(mǎn)Julia集圖形，直觀形象地顯示了它們的分形特征.這些奇妙的混沌分形圖像不僅具有重要藝術(shù)價(jià)值，而且可以用于各種需要新穎圖案的建筑設(shè)計(jì)、包裝設(shè)計(jì)、服裝設(shè)計(jì)、裝飾布設(shè)計(jì)、彩色裝飾材料設(shè)計(jì)、紡織印染圖案設(shè)計(jì)、廣告設(shè)計(jì)等等行業(yè)，具有廣闊的應(yīng)用前景.圖（2）給出了圖（1）的3副圖在建筑裝潢設(shè)計(jì)中的應(yīng)用.

3 結(jié)論

本文結(jié)合文獻(xiàn)[3]，同時(shí)利用截?cái)喔道锶~級(jí)數(shù)的不同組合形式構(gòu)造了3族迭代映射.研究3族迭代映射對(duì)應(yīng)的平面對(duì)稱(chēng)動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，運(yùn)用蒙特卡羅搜索法隨機(jī)搜索參數(shù)，并通過(guò)李雅普諾夫指數(shù)確定動(dòng)力系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，繪制出3族迭代映射對(duì)應(yīng)動(dòng)力系統(tǒng)的周期窗口內(nèi)的混沌分形圖形.本文提出了一個(gè)構(gòu)造正方形格子平面排列的對(duì)稱(chēng)動(dòng)力系統(tǒng)的方法，采用本文提出的方法可以大量構(gòu)造正方形平面排列的混沌圖案，從而為建筑裝飾圖案提供了大量的結(jié)構(gòu)新穎、獨(dú)特別致的素材.

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