數(shù)學(xué)歸納法的初探

付向奎

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)思維方法中最重要、最常用的方法之一，是一種用于證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的數(shù)學(xué)證明方法，典型的用于確定一個表達式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個其他形式在一個無窮序列是成立的，這不僅因為其中大量問題都與自然數(shù)有關(guān)，更重要的是它貫穿于發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的全過程。本文對數(shù)學(xué)歸納法的由來、運用技巧以及需要注意的問題進行較為完整的系統(tǒng)論述。

1.數(shù)學(xué)歸納法的定義

數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)上證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，在高中數(shù)學(xué)中常用來證明不等式成立和數(shù)列通項公式成立。

2.數(shù)學(xué)歸納法的思想方法

（1）數(shù)學(xué)歸納法中的歸納思想

對于一個與自然數(shù)有關(guān)的命題P（n），數(shù)學(xué)歸納法將命題P（n）理解為一系列問題：P（1），P（2），P（3），…，即P（n）={P（n）|n∈N}。然后有命題P（1），P（2），P（3），…都成立去下決定“命題P（n）成立”，為數(shù)學(xué)歸納法中的歸納思想。

所謂歸納，是指從特殊到一般，從局部到整體的推理。命題P（n）是一般的、整體的，而命題P（1），P（2），P（3），…中的每一個都是特殊的、局部的，即使從所有命題P（1），P（2），P（3），…都成立去概括得出命題P（n）成立，其思想也是歸納的思想（完全歸納）。

（2）數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想

在數(shù)學(xué)歸納法中，除了命題P（1）是直接證明以外，我們通常不直接去證明命題P（2），…成立（除非有必要），而是采取了遞推的思想，

，…如此循環(huán)往復(fù)遞推，命題P（2），P（3），…都成立.簡單地說就是，由P（1）推得P（2），由P（2）推得P（3），…即P（1），…。這個過程類似于多米諾骨牌，其中歸納遞推：起著至關(guān)重要的作用，正因為如此，在用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，有一點是不可回避的，即找出命題P（k）與命題P（k+1）的聯(lián)系。

3.第一數(shù)學(xué)歸納法

第一數(shù)學(xué)歸納法可以概括為以下三步：

（1）歸納奠基：證明n=1時命題成立；

（2）歸納假設(shè)：假設(shè)n=k時命題成立；

（3）歸納遞推：由歸納假設(shè)推出n=k+1時命題也成立。

從而就可斷定命題對于從所有正整數(shù)都成立。

4.第二數(shù)學(xué)歸納法

第二數(shù)學(xué)歸納法與第一數(shù)學(xué)歸納法是等價的，在有些情況下，由歸納法“假設(shè)n=k時命題成立”還不夠，而需要更強的假定，也就是說，對于命題P（n），在證明P（k+1）成立，不僅依賴P（k）成立，而且依賴于前面各步成立。這時一般要選用第二數(shù)學(xué)歸納法。

第二數(shù)學(xué)歸納法原理：設(shè)有一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題P（n）。如果：

（1）當(dāng)n=1時命題成立；

在假設(shè)命題對于一切正整數(shù)n≤k成立時；

若能證明n=k+1時命題也成立，則這個命題對于一切正整數(shù)n都成立其證明方法與上述證明方法類似，在這個地方就不重復(fù)了。

第二數(shù)學(xué)歸納法可概括為一下三步：

歸納基礎(chǔ)：證明n=1時命題成立；

（2）歸納假設(shè)：假設(shè)n≤k時命題成立；

（3）歸納遞推：由歸納假設(shè)推出n=k+1時命題也成立。第二數(shù)學(xué)歸納法與第一數(shù)學(xué)歸納法基本形式的區(qū)別在于歸納假設(shè)。

5.反向歸納法

反向歸納法是數(shù)學(xué)家柯西最先使用的，原理：設(shè)有一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題P（n）。如果：

（1）命題P（n）對于無限多個正整數(shù)n成立；

（2）假設(shè)n=k時命題成立；

（3）若能證明n=k-1時命題也成立，則這個命題對一切正整數(shù)n都成立。

6.數(shù)學(xué)歸納法解決應(yīng)用問題

（1）代數(shù)恒等式

例1數(shù)列的第n項，可以用公式表示，這里是它的首項，是公差。

證明：當(dāng)時，，式成立

假設(shè)當(dāng)時，式成立，那么當(dāng)時，有：

當(dāng)時，式也成立

由此可知，對于所有的自然數(shù)，式均成立。

（2）幾何方面

例2凸邊形的內(nèi)角和等于

證明：當(dāng)時，就是三角形內(nèi)角和為1800，而

即時，命題成立

假設(shè)當(dāng)時，凸邊形內(nèi)角和等于成立

因為凸邊形可以添一條對角線而成一個凸k邊形與一個三角形，所以凸邊形內(nèi)角和為凸k邊形內(nèi)角與三角形內(nèi)角的和。

即

也就是說，當(dāng)時，命題也成立。

（3）排列、組合

例3證明：*

證明：首先，，這是顯然的。如果再能證明當(dāng)?shù)臅r候，，那么式子*也就可用數(shù)學(xué)歸納法來證明。

我們假定有個不同的元素，每次取出個元素的組合里，可以分為兩類，一類含有，一類不含有，含有的組合數(shù)，就等于從里取個元素的組合數(shù)，它等于；不含有的組合數(shù)，就等于從里取個的組合數(shù)，它等于；所以，

下面我們證明式子*

因為當(dāng)n=1的時候，這個定理是正確的；

假設(shè)當(dāng)n=k-1的時候，這個定理是正確的，那么，

（這里）

所以時，這個定理也是正確的；

故，公式是成立的。