由“333667”引起的關(guān)于規(guī)律和方法的思考

張緒續(xù)

【摘要】：文章由等式及等式的因子引入，從算數(shù)基本定理進(jìn)行分析，梳理出333667和10101以及一些固定位數(shù)循環(huán)數(shù)之間的關(guān)系，并總結(jié)成公式，得出結(jié)論。

【關(guān)鍵詞】：規(guī)律 方法 思考

一、問題引入

我們首先來看一組有趣的等式

528528528=2^4*3^2*11*333667

194194194=2*3*97*333667

552552552=2^3*3^2*23*333667

666666666=2*3^3*37*333667

不難發(fā)現(xiàn)，這些由循環(huán)數(shù)字組成的九位數(shù)都有一個共同的因子“333667”，而且這個因子的存在與循環(huán)節(jié)中的數(shù)字是否重復(fù)無關(guān)，這就引起了我探索緣由和同類拓展的興趣。

二、問題分析

其實上述四個式子只是任意的舉例，其一般形式可以表述為：任意一個三位數(shù)循環(huán)三次組成一個九位數(shù)，將其分解質(zhì)因數(shù)，一定存在一個質(zhì)因數(shù)是“333667”。（稱之為假設(shè)1）首先從原理角度看，此式的實現(xiàn)有賴于算數(shù)基本定理，即任何一個大于1的自然數(shù)N，如果N不為質(zhì)數(shù)，都可以唯一分解成有限個質(zhì)數(shù)的乘積N=P1a1 P2a2…Pnan，這里P1<P2…<Pn均為質(zhì)數(shù)，其中指數(shù)ai是正整數(shù)。由算數(shù)基本定理，我們可以確定上述等式的合理性與唯一性，但仍缺乏推廣到一般情況（即證明假設(shè)1成立）的條件。單從這個問題看，找到證明它的方法似乎很困難，所以我們先來分析一個簡化版的問題，以期找到假設(shè)1的解決辦法。

我們?nèi)匀粡囊恍├尤胧?/p>

37373737=37*73*101*137

55555555=5*11*73*101*137

70707070=2*5*7*73*101*137

這是一個兩位數(shù)構(gòu)成的循環(huán)節(jié)循環(huán)四次的問題，在這里我們可以明顯的發(fā)現(xiàn)，每個數(shù)都有“73”“101”“137”這三個相同的因子，這與“333667”的發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上是相同的。但之所以稱它為簡化版，是因為這些數(shù)除了相同的三個質(zhì)因子之外，剩余的質(zhì)因子的乘積就是循環(huán)節(jié)本身！我們自然地想到，“73*101*137”就等于原數(shù)字除以循環(huán)節(jié)，也就是“1010101”。正是由于這個數(shù)字的存在，解釋了上式的規(guī)律性結(jié)果：兩位數(shù)為循環(huán)節(jié)，決定了基本單位是10;循環(huán)四次，決定了由4個1組成。由此增加循環(huán)次數(shù)，以“101010101”為基準(zhǔn)，也可以構(gòu)建上述等式，只不過會被41*271*9091這樣看似繁雜的質(zhì)因數(shù)“掩蓋”起來。

在經(jīng)歷了這個簡化版問題的分析后，我們的思路變得明朗起來。既然可以增加循環(huán)的次數(shù)，那么可不可以改變循環(huán)節(jié)呢？這樣是不是就能找到解決假設(shè)1的辦法了呢？既然是三位數(shù)的三次循環(huán)，我們就可以自然的想到基準(zhǔn)數(shù)“1001001”，我們驚奇的發(fā)現(xiàn)它就是“333667”的3倍。這就使這個問題的結(jié)論和困擾我們的原因浮現(xiàn)了出來：我們忽略了三位數(shù)三次循環(huán)的另一個公共質(zhì)因數(shù)3，而過多的被“333667”這樣一個奇怪的質(zhì)數(shù)吸引了注意;又由于三位數(shù)的可分解性比兩位數(shù)強(qiáng)很多，所以我們并不能顯然的觀察出前面質(zhì)因數(shù)的乘積就是循環(huán)節(jié)本身，而這樣通過528*1001001=528528528就可以將問題顯然的表示出來了。

于是我們發(fā)現(xiàn)，分解質(zhì)因數(shù)原來只是一種更細(xì)化的形式，甚至還在一定程度上影響了結(jié)論的清晰性，像“333667”這樣大的質(zhì)數(shù)，其實就是“1001001”這樣可以構(gòu)成規(guī)律性循環(huán)的數(shù)的一個因子。

三、得出結(jié)論

任意一個n位數(shù)循環(huán)m次組成一個（m*n）位數(shù)，都可以分解成這個n位數(shù)與100…100…1（即為一個n位的100…循環(huán)（m-1）次再在末尾增添一位1的（nm-n+1）位數(shù)）的乘積。

這個結(jié)論的證明由乘法的規(guī)律十分顯然，困難之處在于發(fā)現(xiàn)結(jié)論找到原因的過程。

四、總結(jié)與反思

在證明假設(shè)1的過程中，由于“333667”這一質(zhì)數(shù)實在過于顯眼，我于是嘗試了很多數(shù)論和代數(shù)方法，想要證明或是將其與循環(huán)數(shù)聯(lián)系起來，但努力未果。事實證明，最后的結(jié)論也實在與質(zhì)數(shù)的性質(zhì)無關(guān)，就像第二部分問題分析中強(qiáng)調(diào)的那樣。我們完全可以像第三部分中的結(jié)論那樣直接地看待這個問題，但由分解質(zhì)因數(shù)的角度切入，既將問題延伸了一個維度，又拓寬了思維的空間與方式，還為規(guī)律的進(jìn)一步探索提供了可能，甚至我所采用的數(shù)論方法也能起到一個很好的方法指導(dǎo)和能力提升作用。這就讓我想到，解決數(shù)學(xué)問題應(yīng)該多一些深入全面的思考，而不是以做題為目的和唯答案論，一些有益的嘗試并不是無用功，而是由量變到質(zhì)變的積累。

另外我從中還獲得了一種解決問題的辦法，如同我分析問題過程中提到的先尋找簡化版問題的規(guī)律一樣。學(xué)會由簡單問題切入，用同樣的方法進(jìn)行類比推測，來發(fā)掘復(fù)雜問題的隱含信息，就像三位數(shù)三次循環(huán)共有的質(zhì)因子3。如果我們有著強(qiáng)大的觀察能力，發(fā)現(xiàn)兩個共同質(zhì)因子“3”和“333667”并計算它們的乘積是“1001001”，再通過聯(lián)想推理得到一般的規(guī)律也未嘗不可，但這樣的觀察就不如由簡到難來得順暢和顯然。

主要成績：2017年鄂爾多斯市三好學(xué)生、2018年鄂爾多斯市第一中學(xué)優(yōu)秀團(tuán)員、2018年度鄂爾多斯市優(yōu)秀團(tuán)員、業(yè)余鋼琴十級

主要愛好：讀書思考、體育運(yùn)動、演講誦讀、探索研究