如何在概念課教學中落實數(shù)學抽象

胡志紅 楊會濤

2018年12月，邢臺市高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課比賽在邢臺市第五中學舉行，優(yōu)質(zhì)課的主題是：“如何把數(shù)學核心素養(yǎng)落實到課堂”，其中有一個指定題目是人教A版選修1-1中的《變化率問題》，本節(jié)課的基本思路如下：

1.問題情境：（1）從吹氣球問題出發(fā)抽象出平均膨脹率的概念;（2）從高臺跳水問題出發(fā)抽象出平均速度的概念;（這兩個過程都體現(xiàn)了數(shù)學抽象的素養(yǎng)）

2.歸納定義：通過比較平均膨脹率和平均速度的表達式，二次抽象出平均變化率的概念。（這個過程又一次體現(xiàn)了數(shù)學抽象的素養(yǎng)）

3.幾何意義：引導學生直觀想象出平均變化率的幾何意義。（這個過程又一次體現(xiàn)了直觀想象的素養(yǎng)）

4.簡單應用：利用平均變化率研究兩個實際問題---排污量的平均變化率和體溫的平均變化率;（這個過程又一次體現(xiàn)了數(shù)學建模的素養(yǎng)），最后給出一個探究問題：在高臺跳水時，求運動員在這一時間段的平均速度，這個問題為下節(jié)課的瞬時變化率做鋪墊。（這個過程又一次體現(xiàn)了數(shù)學運算的素養(yǎng)）。

綜觀整個概念課的教學過程，本節(jié)課的難點是：如何引導學生抽象出“平均膨脹率”的概念。這個難點的突破也為我們研究在課堂中落實“數(shù)學抽象”這一核心素養(yǎng)提供了最好的載體。數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng)。2017版課程標準指出“通過高中數(shù)學課程的學習，學生能在情境中抽象出數(shù)學概念、命題、方法和體系，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗;養(yǎng)成在日常生活和實踐中一般性思考問題的習慣，把握事物的本質(zhì)，以簡馭繁;運用數(shù)學抽象的思維方式思考并解決問題?！?/p>

在聽課過程中，教師甲和教師乙采用了不同的方案從吹氣球這一現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學概念。

我們先看教師甲的方案：

師：我們在吹氣球時，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢嗎？

（為了解決這個問題，設計了如下的探究問題。）

探究一：這里涉及的兩個變量分別是什么？

探究二：兩變量間的關系可以用什么樣的表達式來體現(xiàn)？

探究三：根據(jù)以上表達式，計算出當氣球內(nèi)空氣體積V分別為1L、2L、3L、4L時，相應的氣球半徑是多少dm？

探究四：“隨著氣球體積的增大，氣球的半徑增加得越來越慢”該怎樣理解？

探究五：氣球體積從1L-2L和從2L-4L這兩個過程，哪一個過程半徑增加得比較慢？

探究六：平均每增加1L氣體，半徑的增加量（平均膨脹率）=？

探究七：當氣球內(nèi)空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是什么？

教師甲在落實數(shù)學抽象這一核心素養(yǎng)這一過程中使用數(shù)據(jù)來引導學生理解“隨著氣球體積的增大，氣球的半徑增加得越來越慢”這一句話，在學生理解這一句話的同時，順其自然的誕生了“平均膨脹率”這一重要的概念。

我們再看教師乙的方案：

師：探究一：“小明2015年身高是140cm，2018年身高是155cm;小麗2016年身高是140cm，2018年身高是152;這兩名同學誰長的更快呢？有的同學說，小明155-140=15，小麗：152-140=12，15>12，所以小明比小麗長得快，答案對嗎？為什么？”

探究二：“在吹氣球時，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加，氣球的半徑增加得越來越慢”，從數(shù)學的角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？

探究三：這里涉及的兩個變量分別是什么？兩變量間的關系可以用什么樣的表達式來體現(xiàn)？

探究四：“氣球的半徑增加得越來越慢”的意思是“隨著氣球體積的增大，當氣球體積增加量相同時，相應半徑的增加量越來越小，根據(jù)探究一從數(shù)學角度進行描述就是：隨著氣球體積的增大比值越來越??？這個比值就是平均膨脹率?！?/p>

探究五：根據(jù)以上表達式，計算氣球體積從0L-1L，1L-2L，2L-2.5L以及2.5L-4L的平均膨脹率？

教師乙為了落實數(shù)學抽象素養(yǎng)從學生初中學過的簡單問題入手，讓同學們經(jīng)過探究，比較輕松地理解“平均膨脹率”的概念。

章建躍博士提出：“好的開頭是成功的一半，情景的引入對后續(xù)的學習有重要的作用，問題情境的創(chuàng)設一定要遵循‘在學生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)提問’”。這兩位老師都對問題情境的創(chuàng)設進行了精心的設計，使學生通過這一節(jié)課的學習，能在情境中抽象出數(shù)學概念，積累從具體到抽象的活動經(jīng)驗。

（本文為河北省教育科學研究“十三五”規(guī)劃課題《高中數(shù)學核心素養(yǎng)在高中數(shù)學課堂教學中的實施行動研究》（課題編號：1604350）的研究成果。）

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗版）[M].北京：人民教育出版社，2003.