物質(zhì)點(diǎn)法在橢圓骨料混凝土損傷模擬中的應(yīng)用

鄒家強(qiáng) 張巍 劉愛華

摘要：為研究混凝土結(jié)構(gòu)的宏觀力學(xué)響應(yīng)及損傷行為，應(yīng)用物質(zhì)點(diǎn)法這一新型數(shù)值方法對(duì)橢圓骨料混凝土進(jìn)行數(shù)值模擬研究?；诿商乜_模擬方法，考慮混凝土的細(xì)觀結(jié)構(gòu)，提出了一種構(gòu)建隨機(jī)橢圓骨料混凝土細(xì)觀幾何模型的方法。在該幾何模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出一種快速建立混凝土細(xì)觀物質(zhì)點(diǎn)模型的方法。分別以彈塑性損傷本構(gòu)模型和彈性本構(gòu)模型模擬砂漿和骨料的力學(xué)行為，采用開發(fā)的物質(zhì)點(diǎn)法程序?qū)炷翑?shù)值模型進(jìn)行了單軸拉伸及單軸壓縮數(shù)值試驗(yàn)。結(jié)果表明，物質(zhì)點(diǎn)法模擬所得的結(jié)果與設(shè)計(jì)規(guī)范及有限元結(jié)果相近。可見，物質(zhì)點(diǎn)法為混凝土結(jié)構(gòu)損傷行為的數(shù)值模擬提供了一條可行的途徑。

關(guān) 鍵 詞：混凝土; 損傷行為; 物質(zhì)點(diǎn)法; 蒙特卡羅模擬方法; 橢圓骨料

混凝土的多尺度實(shí)驗(yàn)與數(shù)值模擬已成為研究者們更準(zhǔn)確了解混凝土材料與結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)及其內(nèi)部損傷行為的重要手段[1]。一般而言，在細(xì)觀尺度下，混凝土被認(rèn)為是由骨料及砂漿兩者組成。而在大多數(shù)混凝土結(jié)構(gòu)中，粗骨料的體積占比高達(dá)40%～50% [2-3]，因此骨料的級(jí)配及分布對(duì)混凝土的宏觀力學(xué)響應(yīng)有著顯著而直接的影響。為了開展骨料級(jí)配及分布對(duì)混凝土的力學(xué)行為的研究，研究者們通常采用物理試驗(yàn)和數(shù)值試驗(yàn)兩種主要手段。由于混凝土試塊的制備及后期養(yǎng)護(hù)需要消耗大量的人力、物力及時(shí)間，導(dǎo)致研究效率的降低，因此，數(shù)值試驗(yàn)在研究混凝土結(jié)構(gòu)問題上得到越來(lái)越多學(xué)者們的重視。

目前混凝土細(xì)觀數(shù)值模擬采用的數(shù)值方法主要為有限元法[4-8]。和傳統(tǒng)有限元法相比，物質(zhì)點(diǎn)法（MPM）作為一種新型無(wú)網(wǎng)格數(shù)值方法，采用質(zhì)點(diǎn)來(lái)離散材料區(qū)域，因而可以方便地利用混凝土細(xì)觀數(shù)字圖像的像素點(diǎn)信息進(jìn)行建模，同時(shí)可以在數(shù)值計(jì)算時(shí)避免傳統(tǒng)有限元法在大變形情況下的網(wǎng)格畸變[9]。然而，目前物質(zhì)點(diǎn)法的應(yīng)用領(lǐng)域主要集中在爆炸、沖擊、流固耦合、滑坡等極端變形問題上[10-13]，在混凝土結(jié)構(gòu)內(nèi)部損傷演化問題上的應(yīng)用研究仍相對(duì)缺乏。

為此，本文首先提出一種快速建立隨機(jī)橢圓骨料混凝土結(jié)構(gòu)物質(zhì)點(diǎn)模型的方法。隨后結(jié)合特定的彈塑性損傷本構(gòu)模型，編制相應(yīng)的物質(zhì)點(diǎn)法程序，從細(xì)觀角度模擬其結(jié)構(gòu)的損傷演化，進(jìn)而探討物質(zhì)點(diǎn)法在該問題上的適用性，以期能為混凝土結(jié)構(gòu)損傷行為的數(shù)值模擬提供一種新的數(shù)值方法。

1 物質(zhì)點(diǎn)法基本理論

物質(zhì)點(diǎn)法采用拉格朗日質(zhì)點(diǎn)離散材料區(qū)域，并用歐拉背景網(wǎng)格計(jì)算空間導(dǎo)數(shù)和求解動(dòng)量方程。由于兼具拉格朗日算法和歐拉算法的優(yōu)勢(shì)，物質(zhì)點(diǎn)法較好地避免了網(wǎng)格畸變和對(duì)流項(xiàng)處理?；谇蠼饪刂品匠痰姆椒?，物質(zhì)點(diǎn)方法也被細(xì)分為顯示或隱式物質(zhì)點(diǎn)法。本次研究采用的是顯式物質(zhì)點(diǎn)法，其基本理論及控制方程表述如下。

在計(jì)算過程中，物質(zhì)點(diǎn)法是利用中心差分法對(duì)背景網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行求解，得到當(dāng)前時(shí)間步的每個(gè)背景網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的位移增量，再通過求解建立在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的有限元插值形函數(shù) NI（xi） 映射得到每個(gè)物質(zhì)點(diǎn)的位移增量及其他物理量。由于物質(zhì)點(diǎn)法在求解動(dòng)量方程時(shí)，采用更新拉格朗日格式，每個(gè)時(shí)間步內(nèi)，物質(zhì)點(diǎn)是與背景網(wǎng)格固定一起運(yùn)動(dòng)的。在上一時(shí)間步結(jié)束后，拋棄變形后的計(jì)算網(wǎng)格，但在下一時(shí)間步，仍使用初始時(shí)刻的物質(zhì)點(diǎn)網(wǎng)格（即歐拉網(wǎng)格）作為運(yùn)動(dòng)方程的集成，單個(gè)時(shí)間步的運(yùn)動(dòng)如圖1所示。由于形函數(shù)插值初始時(shí)刻的歐拉網(wǎng)格布置方便，集成簡(jiǎn)單，由此，即可快速實(shí)現(xiàn)物質(zhì)點(diǎn)與背景網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)之間信息的映射。

由于結(jié)合了歐拉算法與拉格朗日算法的優(yōu)勢(shì)，一方面，物質(zhì)點(diǎn)法在每一時(shí)間步開始，利用歐拉網(wǎng)格集成動(dòng)量方程，可有效避免網(wǎng)格畸變問題;另一方面，在每一計(jì)算步中，它采用更新拉格朗日形式，如此又可避免因?qū)α黜?xiàng)造成數(shù)值耗散而導(dǎo)致計(jì)算效率降低的問題。綜上所述，物質(zhì)點(diǎn)法是一種采用物質(zhì)點(diǎn)離散、每個(gè)時(shí)間步都重置計(jì)算網(wǎng)格的數(shù)值算法，被認(rèn)為是一種特殊的有限元法。

2 數(shù)值計(jì)算模型

由上述基本理論可知，物質(zhì)點(diǎn)法的背景計(jì)算網(wǎng)格和質(zhì)點(diǎn)網(wǎng)格兩者既是相互獨(dú)立，又是相互統(tǒng)一的，結(jié)合運(yùn)用馬懷發(fā)等學(xué)者提出的隨機(jī)橢圓骨料模型[3-4]，幾何框架下的混凝土計(jì)算模型通過物質(zhì)點(diǎn)法便能快速高效地生成。在生成的隨機(jī)橢圓骨料模型基礎(chǔ)上，通過將不同的信息分別映射到質(zhì)點(diǎn)網(wǎng)格中，即可生成分別帶有砂漿、骨料信息的物質(zhì)點(diǎn)，隨后將兩種物質(zhì)點(diǎn)拼接，即可生成相應(yīng)的計(jì)算模型，其生成步驟見圖2。

以建立隨機(jī)橢圓骨料占比為45%的50×50大小的混凝土結(jié)構(gòu)模型為例，從開始到完成建模平均耗時(shí)為10 min，而在相同條件下，有限元法的建模時(shí)間平均耗時(shí)在30 min左右[5]。

從圖2可直觀看出，物質(zhì)點(diǎn)法是基于像素進(jìn)行計(jì)算模型構(gòu)建的方法。由于大多數(shù)幾何圖形通常是以數(shù)字圖像進(jìn)行處理，如電腦斷層掃描，或細(xì)觀甚至微觀下的混凝土觀測(cè)圖像等，在這樣的情況下，物質(zhì)點(diǎn)法就比有限元法可以更快速直接對(duì)這些圖像進(jìn)行數(shù)值空間離散化，即把每一個(gè)圖片中的像素點(diǎn)轉(zhuǎn)換成帶有特定信息的物質(zhì)點(diǎn)。近幾年來(lái)， CT技術(shù)已逐漸開發(fā)應(yīng)用于探測(cè)混凝土內(nèi)部的裂縫發(fā)展[14-15]，由于其圖片也是像素顯示方式，因此也能夠與物質(zhì)點(diǎn)法建立一定的匹配關(guān)系[16]。反之，物質(zhì)點(diǎn)法也可根據(jù)既定圖像構(gòu)建與之對(duì)應(yīng)的數(shù)值模型，隨后通過計(jì)算也可進(jìn)行分析對(duì)比。

3 本構(gòu)模型

4 模擬分析及討論

4.1 建模與結(jié)果分析

目前，混凝土多為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，根據(jù)GB50010-2010《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》中的設(shè)計(jì)要求[20]，混凝土強(qiáng)度等級(jí)不低于C20，而設(shè)計(jì)預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)時(shí)，強(qiáng)度等級(jí)不低于C40。因此，采用C20，C25，C30，C35及C40五種強(qiáng)度等級(jí)混凝土的參數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬，5種強(qiáng)度等級(jí)混凝土分別設(shè)定為算例1～5。對(duì)于在二維狀態(tài)下生成的隨機(jī)橢圓骨料混凝土模型，投放的模型長(zhǎng)度設(shè)置為150 mm×150 mm，并擬定粗骨料的體積比為45%。其中雙級(jí)配參考文獻(xiàn)[3]提出的兩種尺寸，即分別是小石粒徑5～20 mm和中石粒徑20～40 mm，且小石與中石的體積比為55∶45，并用50×50×9個(gè)物質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行模擬分析。骨料的力學(xué)參數(shù)包括：彈性模型E取40 GPa，泊松比取0.2;砂漿的部分力學(xué)及強(qiáng)度參數(shù)見表1。

隨后，根據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)范取其軸心抗拉設(shè)計(jì)值作為混凝土單軸試驗(yàn)的代表值，依據(jù)規(guī)范公式計(jì)算得出每個(gè)算例對(duì)應(yīng)的單軸拉伸及單軸壓縮經(jīng)驗(yàn)值，再分別取各強(qiáng)度下砂漿的相關(guān)力學(xué)及強(qiáng)度參數(shù)代入物質(zhì)點(diǎn)法模型中，詳細(xì)參數(shù)見下表1，不同算例下對(duì)應(yīng)的模型結(jié)果見下表2。

由表2可知，物質(zhì)點(diǎn)法可較好地?cái)M合算例1～5中的抗拉強(qiáng)度峰值，其中算例2的中抗拉強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果最好，誤差僅為0.06%;算例5中抗壓強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果誤差稍大，但僅為1.14%?？傮w而言，所有計(jì)算工況的誤差值均較小?？梢?，物質(zhì)點(diǎn)法能較好地反映不同標(biāo)號(hào)混凝土的峰值強(qiáng)度。

由圖3可知，盡管物質(zhì)點(diǎn)法的結(jié)果還不能完美擬合設(shè)計(jì)規(guī)范上的應(yīng)力應(yīng)變曲線，但通過表2的誤差分析可知，物質(zhì)點(diǎn)法的結(jié)果與設(shè)計(jì)規(guī)范算例結(jié)果擬合良好，表明運(yùn)用物質(zhì)點(diǎn)法研究混凝土結(jié)構(gòu)的損傷行為具有一定的適用性。

4.2 對(duì)比分析

為了更好地驗(yàn)證物質(zhì)點(diǎn)法解決混凝土結(jié)構(gòu)損傷演化的適用性問題，本文采用有限元單法（FFM）和設(shè)計(jì)規(guī)范（CD）繼續(xù)對(duì)物質(zhì)點(diǎn)法的可靠性進(jìn)行驗(yàn)證并對(duì)比分析。因此通過參照文獻(xiàn)[5]、[7]及[8]，并分別設(shè)定其為算例6～8，根據(jù)算例的已知參數(shù)，運(yùn)用設(shè)計(jì)規(guī)范及物質(zhì)點(diǎn)法，進(jìn)行了同樣條件下的單軸抗拉或單軸抗壓試驗(yàn)，所得數(shù)據(jù)結(jié)果分析見表3。不同方法的模擬結(jié)果對(duì)比分析，經(jīng)過歸一化處理后如圖4所示。

由表3算例6和7可知，在單軸受拉試驗(yàn)中，物質(zhì)點(diǎn)法與有限元法在擬合設(shè)計(jì)規(guī)范經(jīng)驗(yàn)值時(shí)，誤差相近;而在算例6和8的單軸受壓試驗(yàn)中，物質(zhì)點(diǎn)法與規(guī)范值擬合誤差稍大，但最大誤差僅為4.82%?；?.1節(jié)物質(zhì)點(diǎn)法與不同算例的擬合結(jié)果，結(jié)合本節(jié)與有限元法及設(shè)計(jì)規(guī)范結(jié)果的對(duì)比分析可知，物質(zhì)點(diǎn)法的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)和有限元結(jié)果吻合較好。雖然精度上物質(zhì)點(diǎn)法不如有限元法，但由于其建模效率高于有限元法，總的分析時(shí)間得以縮短。由此可知，物質(zhì)點(diǎn)法在研究混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)損傷行為方面，仍具有良好的適用性。

5 結(jié) 論

本文將物質(zhì)點(diǎn)法應(yīng)用于混凝土結(jié)構(gòu)損傷行為的數(shù)值模擬之中，提出了一種快速建立隨機(jī)橢圓骨料混凝土結(jié)構(gòu)物質(zhì)點(diǎn)模型的方法，并結(jié)合特定的彈塑性損傷本構(gòu)模型編制了相應(yīng)的物質(zhì)點(diǎn)法程序，主要研究結(jié)論如下。

（1） 基于物質(zhì)點(diǎn)法的特點(diǎn)，建立了隨機(jī)橢圓骨料混凝土結(jié)構(gòu)物質(zhì)點(diǎn)模型，該模型可較好地表征混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)的各相信息。

（2） 通過與不同方法下橢圓骨料混凝土單軸拉伸及壓縮試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比分析，驗(yàn)證了編寫的物質(zhì)點(diǎn)法計(jì)算程序的準(zhǔn)確性，表明物質(zhì)點(diǎn)法能有效模擬混凝土結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)及損傷演化，具有良好的適用性和應(yīng)用前景。

參考文獻(xiàn)：

[1] Wang X F，Yang Z J，Yates J R.Monte Carlo simulations of mesoscale fracture modelling of concrete with random aggregates and pores[J].Construction and Building Materials，2015，75：35-45.

[2] Wang Z M，Kwan A K H，ChanH H C.Mesoscopic study of concrete I：Generation of random aggregate structure and finite element mesh[J].Computers and Structures，1999，70（5）：533-544.

[3] Ma H F，Xu W X，Li Y C.Random aggregate model for mesoscopic structures and mechanical analysis of fully-graded concrete[J].Computers and Structures，2016，177：103-113.

[4] 楊華，李宗利，惠弘毅.基于隨機(jī)骨料模型的混凝土彈性模量預(yù)測(cè)研究[J].長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào)，2016，33（2）：100-105.

[5] Xu Y，Chen S H.A method for modeling the damage behavior of concrete with a three-phase mesostructure[J].Construction and Building Materials，2016，102：26-38.

[6] Omidi O，Lotfi V.Finite Element Analysis of Concrete Structures Using Plastic-Damage Model in 3-D Implementation[J]. International Journal of Civil Engineering，2010，8（3）：187-203.

[7] 許葉帥.考慮骨料形狀的混凝土細(xì)觀模型研究[D].南京：東南大學(xué)，2017.

[8] 周尚志.混凝土動(dòng)靜力破壞過程的數(shù)值模擬及細(xì)觀力學(xué)分析[D].西安：西安理工大學(xué)，2007.

[9] Nguyen V P.Material point method basics and applications[D].Wales：Cardiff University，2014.

[10] 吳金國(guó)，林慶華，彎港，等.基于物質(zhì)點(diǎn)法的軌道炮刨削機(jī)理三維數(shù)值研究[J].爆炸與沖擊，2017，37（2）：307-314.

[11] 張雄，劉巖，張帆，等.極端變形問題的物質(zhì)點(diǎn)法研究進(jìn)展[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2017，34（1）：1-16.

[12] 王斌，馮夏庭，潘鵬志，等.物質(zhì)點(diǎn)法在邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)中的應(yīng)用研究[J].巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2017，36（9）：2416-2155.

[13] 張巍，史卜濤，施斌，等.土質(zhì)滑坡運(yùn)動(dòng)全過程物質(zhì)點(diǎn)法模擬及其應(yīng)用[J].工程地質(zhì)學(xué)報(bào)，2017，26（3）：815-823.

[14] Ren W Y，Yang Z J，Rajneesh S，et al.Two-dimensional X-ray CT image based meso-scale fracture modelling of concrete[J].Engineering Fracture Mechanics，2015，133：24-39.

[15] Henry M，Darma I S，Sugiyama T.Analysis of the effect of heating and recuring on the microstructure of high-strength concrete using X-ray CT[J].Construction and Building Materials，2014，67：37-46.

[16] Homel M A，Herbold E B.Field-gradient partitioning for fracture and frictional contact in the material point method[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering，2017，109（7）：1013-1044.

[17] 常曉林，馬剛，劉杏紅.基于復(fù)合屈服準(zhǔn)則的混凝土塑性損傷模型[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)（工程科學(xué)版），2011，43（1）： 1-7.

[18] 張巍，肖明，范國(guó)邦.大型地下洞室群圍巖應(yīng)力-損傷-滲流耦合分析[J].巖土力學(xué)，2008，29（7）：1813-1818.

[19] Franttziskonis G， Desai C S. Constitutive model with strain softening[J].International Journal of Solids Structures，1987，23（6）：733-750.

[20] 混土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范：GB50010-2010 [S].北京：中國(guó)建筑工業(yè)出版社，2011.

（編輯：鄭 毅）