巧用“數(shù)形結(jié)合”簡單學(xué)數(shù)學(xué)

楊春

摘 要：數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特征的信息轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合牢牢地抓住數(shù)與形之間的聯(lián)系，以“形”的直觀表達(dá)數(shù)，以“數(shù)”的精確研究形，將抽象的數(shù)量關(guān)系具體化，把無形的解題思路形象化，實(shí)現(xiàn)形象思維和抽象思維的互助互補(bǔ)，相輔相成。對(duì)于小學(xué)生的理解范疇來說，簡單明了的圖形會(huì)更直觀，將這種直觀的模式應(yīng)用于解題，勢必會(huì)收到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)，數(shù)形結(jié)合，計(jì)算教學(xué)，解決問題，提高效益

華羅庚先生曾指出：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。”可見數(shù)與形的關(guān)系十分密切，在一定條件下，可以相互進(jìn)行極富數(shù)學(xué)特色的信息轉(zhuǎn)換——數(shù)量問題可以轉(zhuǎn)化為圖形問題，圖形問題也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量問題。因此，數(shù)形兼?zhèn)?，可使?shù)與形各盡其長，取長補(bǔ)短，化抽象為直觀，演繹出無限精彩。本文筆者就從自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來談數(shù)形結(jié)合在計(jì)算、解決問題、幾何教學(xué)等方面的妙用。

一、以形輔數(shù)，理解算理——數(shù)形結(jié)合在計(jì)算教學(xué)中的運(yùn)用

眾所周知，計(jì)算教學(xué)是枯燥的，是泛味的。很多時(shí)候由于思想上的誤差，往往有一些教師只看結(jié)果，無視過程，而忽略了小學(xué)階段孩子的思維是從具體形象思維為主逐步向抽象邏輯思維過渡的，而且這時(shí)的邏輯思維還只是初步的，還需要具體形象，使得學(xué)生知其然而不知其所以然。我想，在計(jì)算教學(xué)中教師若能恰當(dāng)?shù)赜脭?shù)形結(jié)合的思想，清楚地揭示計(jì)算過程，學(xué)生便可以從中結(jié)合圖形理解和感悟計(jì)算方法。

如：一年級(jí)的9加幾計(jì)算教學(xué)：

師：淘氣今天生日，小朋友們都知道淘氣喜歡喝牛奶，所以小朋友們給淘氣帶來了純牛奶和酸牛奶，課件出示：

繼而問學(xué)生：“這幅圖告訴我們什么，可以提出什么數(shù)學(xué)問題？

學(xué)生回答：“笑笑帶來9瓶牛奶，妙想帶來了5瓶牛奶，一共有多少瓶牛奶？”

當(dāng)學(xué)生列出算式后，師追問：“9+5是多少，你有什么好辦法能計(jì)算出正確結(jié)果？學(xué)生有的用數(shù)的方法，有的用接數(shù)法，有的用湊十的方法。

師：幾種方法都很好，不過依次數(shù)比較麻煩，我們先看為什么要從5個(gè)里拿1個(gè)放進(jìn)第一箱里呢？（利用圖畫進(jìn)行直觀演示），我們可以把這種想法用思維導(dǎo)圖表示出來，（演示湊十過程：把5分解成1和4，1和9合起來是10，再想10+4=14”。）

板書：

通過這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)，通過數(shù)與形的結(jié)合，使抽象的湊十法有了形象的依托，9加幾轉(zhuǎn)化10加幾的過程在思維導(dǎo)圖上一目了然，這樣既使學(xué)生深刻理解了這個(gè)算法的算理所在，又強(qiáng)化了9加幾的算法，突破教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，收到了很好的教學(xué)效果。

二、以形輔數(shù)，簡化思路——數(shù)形結(jié)合在解決問題中的運(yùn)用

解決問題的教學(xué)貫穿了整個(gè)小學(xué)階段，為了更好地分析條件與信息之間的內(nèi)在聯(lián)系，分析各個(gè)數(shù)量的意義，教師應(yīng)充分利用學(xué)生形象思維的特點(diǎn)大量地用“形”解釋、演示、幫助理解抽象的“數(shù)”。 教學(xué)中我們可以利用線段圖等這個(gè)“形”， 將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，幫助學(xué)生建立起已知與未知的內(nèi)在聯(lián)系;利用這種結(jié)合，激發(fā)學(xué)生的再造性想象，激活學(xué)生的解題思路。使抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化，簡單化，變抽象思維為形象思維，化難為易，從而使問題迎刃而解。

如：六年級(jí)上冊(cè)《分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算（一）》的教學(xué)，例題：氣象小組有12人，攝影小組的人數(shù)是氣象小組的，航模小組的人數(shù)是攝影小組的。航模小組有多少人？

分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用問題是高年級(jí)的“重頭戲”，但由于數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，同一道題里可能出現(xiàn)多個(gè)單位“1”量，學(xué)生難以理清題意，特別是遇到聯(lián)系生活實(shí)際的問題，學(xué)生往往束手無策。在本例題的教學(xué)中，為了更好地引導(dǎo)學(xué)生理解航模小組與氣象小組、攝影小組之間的人數(shù)關(guān)系，教師就可以有意識(shí)的把“數(shù)形結(jié)合思想方法”滲透在學(xué)生獲得知識(shí)和解決問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生利用線段圖進(jìn)行分析。

借助線段圖進(jìn)行分析，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，學(xué)生能直觀地理解數(shù)量關(guān)系，明確攝影小組的人數(shù)是氣象小組的，這里的單位“1”是氣象小組的人數(shù);航模小組的人數(shù)是攝影小組的，這里的單位“1”是攝影小組的人數(shù)，要求航模小組有多少人，必須先求出攝影小組的人數(shù)。當(dāng)學(xué)生理解了這一數(shù)量間的關(guān)系后，就輕而易舉地通過對(duì)題目的理解以及線段圖的關(guān)系來解本題。有利于發(fā)展學(xué)生分析問題和解決問題的能力，有利于發(fā)展他們的數(shù)學(xué)思想。

當(dāng)然對(duì)于一年級(jí)的孩子來說有時(shí)可以采用畫圓圈的方法。如：小麗排在第10，小宇排第15，小麗和小宇之間有幾人？就可以采用了畫圓圈的方法，讓學(xué)生在潛移默化中感悟出畫圖的方法，感受到數(shù)與形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)，有效地提高了學(xué)生比較、分析和解決問題的能力，避免了一年級(jí)學(xué)生那種單一的、見到數(shù)字就相加或相減的思維。當(dāng)學(xué)生逐步養(yǎng)成畫圖思考的習(xí)慣，養(yǎng)成根據(jù)題意畫圖幫助理解題意后，再讓學(xué)生去解決“小朋友排隊(duì)做操，從前數(shù)，小紅排第6個(gè)，從后數(shù)小紅排第3個(gè)，這一隊(duì)一共有多少人？學(xué)生就比較容易地理解為什么這題要“-1”，這樣通過畫圓圈這種數(shù)形結(jié)合的方法，讓學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，一切問題就迎刃而解了。

就這樣，利用線段圖、圓圈等“形”，用形的直觀表達(dá)數(shù)，用數(shù)的精確研究形，更好地理解了數(shù)量間的關(guān)系，有利于將一些看似復(fù)雜的問題簡單化，使一些難于下手的問題，迎刃而解，變“山重水復(fù)疑無路”為“柳暗花明又一村”，使學(xué)生嘗到成功的喜悅。而且事實(shí)也證明，形象思維與抽象思維協(xié)同應(yīng)用的過程，其教學(xué)效果顯而易見，學(xué)生思維變清晰了，思路也開闊了。

三、以數(shù)輔形，推導(dǎo)公式 ——數(shù)形結(jié)合在幾何教學(xué)中的運(yùn)用

日本數(shù)學(xué)家米山國藏說：“數(shù)學(xué)的知識(shí)可以記憶一時(shí)，但數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想和方法卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生?！弊鳛橐环N思想方法，數(shù)與形二者相輔相成的，貫穿了數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。一方面我們可以以形為手段，數(shù)為目的，如以上所講的在計(jì)算教學(xué)和解決問題教學(xué)中的應(yīng)用。另一方面我們又可以以數(shù)作為手段，形為目的，通過代數(shù)方法來研究幾何圖形的周長、面積、體積等?？梢赃@么解釋：雖然形有形象、直觀的特點(diǎn)，但在某些定量方面還必須借助代數(shù)的計(jì)算，特別是對(duì)于較復(fù)雜的“形”， 通過留心觀察圖形的特點(diǎn)，挖掘圖形中的隱含條件，正確地把圖形數(shù)字化，通過計(jì)算或數(shù)量分析的方法，深刻地理解各個(gè)條件在圖形中的重要意義，從而準(zhǔn)確地表述圖形的性質(zhì)，這樣用學(xué)過的知識(shí)把圖形用代數(shù)式表達(dá)出來，從而得出相應(yīng)的公式或定理。

如：四年級(jí)下冊(cè)《三角形邊的關(guān)系》，從學(xué)生接觸三角形以來，都是針對(duì)已成立的三角形進(jìn)行學(xué)習(xí)研究，而對(duì)于讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)的三角形的另一個(gè)特性：三角形中的兩邊之和大于第三邊，從未涉及到。因此，教學(xué)過程中教師應(yīng)以學(xué)生體驗(yàn)為主，運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，通過擺圖形，尋找數(shù)據(jù)間的關(guān)系，再通過數(shù)據(jù)的整理、分析，確定圖形的存在性和圖形具有的性質(zhì)，從而突破“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”這個(gè)重難點(diǎn)。教學(xué)片斷如下：

（一）情境設(shè)疑：

1、師（板書）“三角形”：你看到了什么？什么樣的圖形叫三角形？如果用小棒來代替線段，要圍成一個(gè)三角形需要幾根小棒？

2、師“老師這里有一條9厘米的邊，從3厘米、4厘米、6厘米的木材中再選兩根，合起來做三角形，可以怎樣選擇？

3、學(xué)生操作演示（實(shí)物投影）：

3厘米、4厘米、9厘米? （不能圍成），3厘米、6厘米、9厘米（不能圍成）， 4厘米、6厘米、9厘米 （能圍成）

4、設(shè)疑：為什么有的能圍成三角形，有的不能圍成？到底怎樣的3根小棒才能圍成三角形呢？能圍成三角形的三根小棒之間有什么關(guān)系？

（二）實(shí)驗(yàn)探索：

1、從5cm、5cm、4cm、6cm、10cm共5根小棒中選三根小棒擺一擺，也可以用畫一畫（自己選擇數(shù)據(jù)畫三角形）、量一量（量已有三角形的各邊）等方法來試一試。將實(shí)驗(yàn)結(jié)果填在報(bào)告單中：

次數(shù) 小棒的長度（厘米） 能否圍成三角形 比較三邊的關(guān)系

2、小組內(nèi)分析數(shù)據(jù)，交流探究結(jié)果。

3、發(fā)現(xiàn)結(jié)論

（1）小組匯報(bào)交流實(shí)驗(yàn)結(jié)果：你發(fā)現(xiàn)了什么？（能圍成的三角形任意兩邊之和都大于第三邊。）

兩條線段長度之和大于第三條線的段能圍成三角形

（2）不能圍成三角形的每組小棒的長短有什么關(guān)系？（每一組兩邊之和小于或等于第三邊）

兩條線段之和小于第三條線的段不能圍成三角形

兩條線段之和等于第三條線段的不能圍成三角形

在這個(gè)環(huán)節(jié)的探索過程中始終以數(shù)形結(jié)合思想作為教學(xué)靈魂，時(shí)時(shí)滲透，處處體現(xiàn)。通過學(xué)生自己選擇給定長度的小棒動(dòng)手組成圖形和用“畫一畫、量一量”等方法進(jìn)行探究;通過借助代數(shù)的計(jì)算：比較三角形三邊的關(guān)系，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分類和分析，深刻地理解各個(gè)條件在圖形中的重要意義，這就由計(jì)算（數(shù)）轉(zhuǎn)向了幾何推理（形）， 使數(shù)與形緊密聯(lián)系，通過數(shù)來確定形，準(zhǔn)確和深刻地表述三角形三邊的關(guān)系：“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”。這樣給學(xué)生提供了足夠的探索時(shí)間和空間，學(xué)生不斷體驗(yàn)和感悟著學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，學(xué)生思維的能動(dòng)性和創(chuàng)造性得到充分激發(fā)，分析問題和解決問題的能力得到了提高，實(shí)現(xiàn)了“數(shù)與形”的無縫對(duì)接，變“隔靴搔癢”為“入木三分”。

四、以數(shù)輔形，總結(jié)規(guī)律——數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)好玩中的運(yùn)用

“數(shù)學(xué)好玩”是綜合與實(shí)踐的范疇，其設(shè)計(jì)目的是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)思想，鍛煉思維能力，積累思考經(jīng)驗(yàn)，開闊眼界。但學(xué)生對(duì)解這類題缺少方法，往往束手無策。數(shù)形結(jié)合是解題之利器。

如：四年級(jí)下冊(cè)《優(yōu)化》中烙餅環(huán)節(jié)的教學(xué)。教科書首先通過情境圖明晰了兩個(gè)內(nèi)容：一是此次活動(dòng)的任——爸爸、媽媽和我每人1張餅;二是烙餅的基本方法。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了問題串的設(shè)計(jì)。問題1是讓學(xué)生嘗試解決如何盡快吃上餅的問題?；趯W(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，可能出現(xiàn)兩種方法：一是一張一張烙的方法;二是“先烙兩張，再烙一張”的更為省時(shí)的方法。在這個(gè)基礎(chǔ)上出示問題2：“媽媽是這樣做的，你能看懂嗎？說一說，做一做?！边@是通過通讀的方式學(xué)習(xí)優(yōu)化方法，學(xué)生不容易獨(dú)立思考出來，同時(shí)也是學(xué)生難以理解的。因此，教學(xué)過程中教師應(yīng)運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，為學(xué)生設(shè)計(jì)模擬烙餅實(shí)踐過程，用圓片代表餅，并在圓片上標(biāo)注幾號(hào)餅和正反面，學(xué)生通過擺圖形，明晰“每次鍋里都烙2張餅”的關(guān)鍵所在，探究出烙餅的優(yōu)化方案，并用這種方法探究問題3，即運(yùn)用方法繼續(xù)解決數(shù)量較多的烙餅問題，并探討其省時(shí)規(guī)律。

有了解決問題2的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想繼續(xù)擺圖形，很快找到

解決問題3的方法，即：如果烙餅數(shù)量是雙數(shù)的，就2張2張地烙;如果烙餅數(shù)量是單數(shù)的，可以先2張2張地烙，最后3張按最優(yōu)的方法烙，就可以達(dá)到整體的最優(yōu)。教師把學(xué)生的探究過程展示在黑板上，引導(dǎo)學(xué)生通過圖形尋找數(shù)的據(jù)依據(jù)，總結(jié)出烙餅數(shù)量較多的時(shí)間計(jì)算方法：烙餅時(shí)間=每面所用時(shí)間×烙餅張數(shù)，復(fù)雜的形最終依托簡單的數(shù)（公式），正確地把形數(shù)字化。

故人言：“好雨知時(shí)節(jié)，當(dāng)春乃發(fā)生 ?！苯虒W(xué)中，我們要抓住適當(dāng)時(shí)機(jī)，不遺余力地為學(xué)生提供適合他們的形象材料，要巧妙地、有意識(shí)地向他們滲透數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，并將其數(shù)學(xué)思想方法貫徹始終。這樣，數(shù)學(xué)課堂才能精彩無限，才能開辟出一片新天地，學(xué)生才能學(xué)好數(shù)學(xué)，用好數(shù)學(xué)，使他們受益終生。

參考文獻(xiàn)：

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[2]王翌強(qiáng). 數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微——談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”思想的應(yīng)用[J].福建教育，2016（02）。