一個(gè)數(shù)位上數(shù)的問題的反思研究

李佩

細(xì)究教科書上的習(xí)題?？偰芙o我們帶來意想不到的收獲。

人教版數(shù)學(xué)教科書七年級上冊第84頁有這樣一道題：一個(gè)兩位數(shù)個(gè)位上的數(shù)是1，十位上的數(shù)是x。把1與x對調(diào)。新兩位數(shù)比原兩位數(shù)小18，x應(yīng)是哪個(gè)方程的解？你能想出x是幾嗎？

解析：這是一個(gè)典型的整數(shù)數(shù)位上數(shù)的問題。解決問題的關(guān)鍵就是列式表示這個(gè)兩位數(shù)。為了解決這個(gè)問題，我們不妨以退為進(jìn)。先看下面幾個(gè)具體的兩位數(shù)及其表示方式：

23=2×10+3，35=3×10+5，97=9×10+7，69=6×10+9，…。

由此規(guī)律可知，原兩位數(shù)可表示為10x+1.新兩位數(shù)可表示為10+x。

故10+x=10x+1-18.

所以x是方程10+x=10x+1-18的解。

利用等式的性質(zhì)可得出方程的解為x=3.

[反思1]可以歸納出如下結(jié)論：如果一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位上的數(shù)是a，十位上的數(shù)是b，那么。這個(gè)數(shù)可以表示為10b+A.有了這個(gè)一般性結(jié)論，我們可以順利解決有關(guān)整數(shù)數(shù)位上數(shù)的問題。

變式1：一個(gè)兩位數(shù)。個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)之和為12.如果將十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)對調(diào)。那么所得的新數(shù)比原數(shù)大54.求原來的兩位數(shù)。

解析：設(shè)原數(shù)個(gè)位上的數(shù)是x，則其十位上的數(shù)是12-x。這個(gè)數(shù)是10（12-x）+x，換位置后的新數(shù)為10x+（12-x），依題意得10x+（12-x）=10（12-x）+x+54.

解之得x=9.此時(shí)12-x=3.

故原來的兩位數(shù)為39.

[反思2]回頭看變式1，“如果將十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)對調(diào)。那么所得的新數(shù)比原數(shù)大54”，這里的“新數(shù)比原數(shù)大54”實(shí)際上就是新數(shù)與原數(shù)的差是54，湊巧的是54是9的倍數(shù)。這里有一個(gè)疑問：對于任意一個(gè)兩位數(shù)。如果將十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)對調(diào)。所得的新數(shù)與原數(shù)的差是9的倍數(shù)嗎？設(shè)一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位上的數(shù)是A.十位上的數(shù)是占，那么這個(gè)數(shù)可以表示為10b+A.將十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)對調(diào)所得的新數(shù)為10a+b，于是新數(shù)與原數(shù)的差是（10a+b）-（10b+a）：9a-9b=9（a-b）。因?yàn)閍，b是整數(shù)，所以a-b也是整數(shù)，故新數(shù)與原數(shù)的差確實(shí)是9的倍數(shù)。對于任意一個(gè)兩位數(shù)。如果將十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)對調(diào)。所得的新數(shù)與原數(shù)的差一定是9的倍數(shù)。

變式2：學(xué)生小明問李老師現(xiàn)在的年齡，李老師說：“我現(xiàn)在的歲數(shù)是一個(gè)兩位數(shù)。如果將十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)對調(diào)后。恰好是我再過18年的歲數(shù)?！毙∶飨肓讼胝f：“李老師。求不出來呀。”李老師說：“忘了告訴你，我現(xiàn)在歲數(shù)的個(gè)位數(shù)是十位數(shù)的兩倍?！毙∶骱芸烨蟪隼罾蠋煬F(xiàn)在的年齡是24歲。請問小明是怎樣算出來的。

解析：設(shè)李老師現(xiàn)在歲數(shù)的個(gè)位數(shù)是a，十位數(shù)是b，則李老師現(xiàn)在的年齡是（10b+a）歲，18年后的年齡是（10a+b）歲，根據(jù)題意得（10a+b）-（10b+a）=9（a-b）=18.

故a-b=2.

又因?yàn)閍=2B.所以2b-b=2.故b=2，a=2b=4.所以李老師現(xiàn)在的年齡是24歲。

[反思3]我們進(jìn)一步思考，如果一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位上的數(shù)是a，十位上的數(shù)是b，百位上的數(shù)是c，那么。這個(gè)三位數(shù)怎樣列式表示？先看下面幾個(gè)具體的三位數(shù)及其表示方式：123=1×100+2x10+3，235=2×100+3×10+5.497=4x100+9×10+7，…。由此規(guī)律可知，如果一個(gè)三位數(shù)的個(gè)位上的數(shù)是A.十位上的數(shù)是b，百位上的數(shù)是c，那么，這個(gè)三位數(shù)可以列式表示為100c+10b+A.

變式3：在一個(gè)三位數(shù)的右邊添上0，所得到的四位數(shù)比這個(gè)三位數(shù)多8073，求這個(gè)三位數(shù)。

解析一：設(shè)這個(gè)三位數(shù)個(gè)位上的數(shù)是x，十位上的數(shù)是y，百位上的數(shù)是z。

根據(jù)題意得1000z+100y+10x+0=100z+10y+x+8073，變形得1000z+100（y-z）+10（x-1-y）+（10-x）=8073，顯然有z=8，10-x=3，解得z=8.x=7.

代入原方程得8000+100（y-8）+10（7-1-y）+（10-7）=8073，解得y=9.故這個(gè)三位數(shù)為897.

解析三：設(shè)這個(gè)三位數(shù)為x，則新的四位數(shù)為10x。

根據(jù)題意得lOx-x=8073，解得x=897.故這個(gè)三位數(shù)為897.

[反思4]把這個(gè)三位數(shù)看成一個(gè)整體設(shè)元，再整體轉(zhuǎn)化。使得解答過程簡單明了。這是數(shù)學(xué)中重要的思想——整體數(shù)學(xué)思想的完美體現(xiàn)。

變式4：有甲乙丙三個(gè)三位數(shù)。其和為575.若甲的百位數(shù)加上1，乙的十位數(shù)減去1，丙的個(gè)位數(shù)加上1.這樣得到的三個(gè)新三位數(shù)恰好相等，求原來三個(gè)三位數(shù)。

解析：設(shè)相等的三個(gè)新數(shù)為x，由題意得（x-100）+（x+10）+（x-1）=575.解得x=222.故x-100=222-100=122，x+10=222+10=232.x-1=222-1=221.

故原來三個(gè)三位數(shù)分別是122，232，221。

練一練

1.一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)是十位數(shù)的3倍。若將個(gè)位數(shù)與十位數(shù)交換位置，所得新數(shù)與原數(shù)的和是42.43，44，45中的一個(gè)，則原來的兩位數(shù)是____。

2.將一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)與個(gè)位數(shù)交換位置，所得新數(shù)與原數(shù)的差能被99整除嗎？判斷并證明你的結(jié)論。

3.一個(gè)五位數(shù)，左邊的三位數(shù)是右邊兩位數(shù)的4倍。若將右邊的兩位數(shù)移到左邊，則得到的新數(shù)比原數(shù)的2倍還多7070，求原來的五位數(shù)。

參考答案：

1.13 2.新數(shù)與原數(shù)的差能被99整除。證明略。3.14035。