直線參數方程在解析幾何中的應用

蔡逸

摘要：解析幾何問題中，常常需要求解弦長，特別是需要求解多條弦長的關系，這種題型使用直線的參數方程可大大的簡化思維和運算，值得推廣。

關鍵詞：參數方程；弦長問題；定點問題

解析幾何是高中數學知識中十分重要的部分，由于其能夠有效地考查學生的數形結合思想，運算能力，分類討論，思維深度以及在考場上的應變能力和心理素質等，在歷屆高考數學試卷中當仁不讓的成為了重點和難點。

在解析幾何的學習中，我們主要學習了橢圓，雙曲線及拋物線為主的圓錐曲線，并且養(yǎng)成了對解析幾何大題的一般答題思路：找到共性，設出坐標，將直線方程與曲線方程聯(lián)立，用韋達定理得出坐標關系，再根據題設進行解答，這種做法雖具有一定的普遍性，但在計算解答的過程中，往往涉及復雜的化簡與代換，而在高考緊張的氣氛中，一旦算錯，很容易滿盤皆輸，因此在解決直線與曲線之間關系的問題中，找到特殊的解決辦法來盡量減少我們的計算量并且提高準確度，對于我們攻克高考壓軸題是大有裨益的，同時也可讓我們保持良好的心態(tài)收獲更好的成績。

一、題型分析：

高考中，解析幾何題一般位于倒數第二題的位置，第一問一般是要求曲線方程，離心率或定點坐標等，此問的結論一般作為后面解決問題的依據，難度較小。而在難度加深的第二問中，直線與曲線相結合的問題有，求某點的軌跡，定值問題，最大值最小值等。

下面通過示例來討論在解析幾何運算時，利用直線參數方程來巧解問題并減少計算量。

二、直線參數方程

1、直線參數方程的引入

我們知道直線的點斜式為：

此處 所代表的意義為直線與 軸正半軸夾角的正切值即

不妨改寫為 ， 引進參數 而在實際運算中，我們如何引進參數 呢？

實際運算中，常常會出現 三點之間的線段運算，此時不妨將 直線看作數軸， 方向為正方向， 為原點，則設 處參數為 ，則

利用這種思路，我們可以更好的解決線段長之間的計算

[數軸 → “原點”→ 正負 → 線段長]

2、嘗試用直線參數方程解決下列問題

例1：平面上動點 到動點 的距離比它到直線 的距離小1

（1）求動點 的軌跡 的方程

（2）過點 作直線與曲線 交于兩點 ，與直線 交于點 ，求 的最小值

解析：這里只對第②問進行兩種方法的對比，由①得：

方法一：[常規(guī)解法]

方法二：參數方程

如圖，以 所在直線建立數軸， 為原點， 方向為正方向，數軸與 軸正方向夾角為 ，設數軸上的點參數為 ， 處參數為 ，聯(lián)立

三、小結

由以上的方法對比可以很明顯的看出，在解答一些相對較復雜的解析幾何問題時，運用參數方程解題，不僅可以減少我們的計算量，還可以簡化我們的解題步驟，讓我們在做題時達到事半功倍的效果。

當然，除了參數方程外，還有其他比如斜率問題，共切線問題，二次曲線系等就不一一列舉了。