2-PrRS-PR（P）S并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)自由度分析與仿真

馬琨 馬宏偉 田海波

摘 要：針對并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出自由度固定，難以適應(yīng)變化的環(huán)境和工況的問題。根據(jù)變胞理論中改變運(yùn)動副方位特征實(shí)現(xiàn)構(gòu)態(tài)變換的原理，設(shè)計(jì)一種新型可變轉(zhuǎn)動副軸線的2?PrRS?PR（P）S并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)，通過機(jī)構(gòu)的變胞實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)在不同構(gòu)態(tài)下輸出自由度和工作空間的變化。2?PrRS?PR（P）S機(jī)構(gòu)包含3個分支、動平臺和靜平臺，利用移動副作為驅(qū)動副，其中分支2和分支3能夠通過改變移動副的位移來改變的可轉(zhuǎn)軸線轉(zhuǎn)動副在滑槽中的位置，進(jìn)而改變其轉(zhuǎn)動軸線的方向，且分支1上連桿的移動副在軸線變化時被動作用，實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)不同構(gòu)態(tài)的變化。根據(jù)機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，利用螺旋理論對2?PrRS?PR（P）S機(jī)構(gòu)2個工作構(gòu)態(tài)進(jìn)行自由度分析和計(jì)算，應(yīng)用多自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸入選取理論確定主動輸入副。利用SolidWorks軟件建立三維實(shí)體模型，并將2種工作構(gòu)態(tài)模型分別導(dǎo)入到ADAMS軟件，對其進(jìn)行自由度的分析和驗(yàn)證。計(jì)算和仿真結(jié)果表明機(jī)構(gòu)工作構(gòu)態(tài)1具有x軸和y軸方向轉(zhuǎn)動自由度、z軸方向移動自由度;機(jī)構(gòu)在構(gòu)態(tài)3具有x軸和z軸方向轉(zhuǎn)動自由度、y軸方向移動自由度。機(jī)構(gòu)能夠根據(jù)需求改變工作構(gòu)態(tài)實(shí)現(xiàn)輸出變化。

關(guān)鍵詞：并聯(lián)機(jī)構(gòu);變胞機(jī)構(gòu);自由度分析;螺旋理論

中圖分類號：TH 112.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOI：10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2019.0124文章編號：1672-9315（2019）01-0168-07

DOF analysis and simulation of 2?PrRS?PR（P）S

parallel metamorphic mechanism

MA Kun，MA Hong?wei，TIAN Hai?bo

（College of Mechanical and Engineering，Xi’an University of Science and Technology，Xi’an 710054，China）Abstract：Since the DOF of parallel mechanism is unchanged and can not adapt to the changing environment and working condition.Based on the theory of metamorphic that changing the orientation of kinematic pairs can lead to configuration transformation，a novel metamorphic parallel mechanism of 2?PrRS?PR（P）S mechanism that can change the orientations of the axis of the revolute pair has been designed to change the output and workspace.The mechanism comprises three limbs，moving platform and static platform.The prismatic pair is the drive pair.The revolute pair of limb 2 and limb 3 can change its rotation axis while the prismatic pair on the upper rod in limb 1 can change passively by the change of displacement of prismatic pair.According to the characteristics of the mechanism，the DOF of two configuration has been analyzed using the screw theory.The driving pair has been selected and verified by the theory of selecting input of multi?DOF parallel mechanism.Using SolidWorks software，the model of the mechanism has been built and imported into the Adams software to analyze the mechanism’s DOF.The calculation and simulation results show that the mechanism has two rotational freedom along the x and y axis，a translational freedom along the z axis in configuration 1，two rotational freedom along the x and z axis，and a translational freedom along the y axis in configuration 3.This parallel metamorphicmechanism can change its output according to requirements.

Key words：parallel mechanism;metamorphic mechanism;DOF analysis;screw theory

0?引?言

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)由于具有結(jié)構(gòu)簡單、靈活度高、響應(yīng)速度快等特點(diǎn)，在工業(yè)機(jī)器人、運(yùn)動模擬器、數(shù)控回轉(zhuǎn)臺等領(lǐng)域得到廣泛研究與應(yīng)用，如基于3?PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的Z3主軸頭[1]和采用2?UPR/SPR機(jī)構(gòu)的Exechon五軸加工中心[2]等。變胞機(jī)構(gòu)是可根據(jù)環(huán)境和工況變化，能從一種構(gòu)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N構(gòu)態(tài)的變拓?fù)錂C(jī)構(gòu)[3-4]。研究者將并聯(lián)機(jī)構(gòu)和變胞機(jī)構(gòu)特點(diǎn)相融合，設(shè)計(jì)出一些具有良好運(yùn)動特性的并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)，使其可以根據(jù)環(huán)境和工況的變化和任務(wù)的需求改變自由度，進(jìn)行自我重構(gòu)，得到更好的應(yīng)用[5]。

自由度分析是少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究熱點(diǎn)。Gogu分析了前面100多年間學(xué)者們提出的30多種自由度計(jì)算公式，提出自由度快速算法的限制，并提供了新的公式[6]。楊廷力等對近十年的自由度公式進(jìn)行回顧，給出基于約束分析的自由度公式的統(tǒng)一形式[7]，并提出基于方位特征的自由度計(jì)算方法 [8]。黃真等提出基于約束螺旋理論的自由度分析方法和修正的G-K公式，成功的解決了許多疑難機(jī)構(gòu)的自由度[9]。柴馨雪將自由度的求解歸納為基于約束方程求秩的方法、基于群論的方法[10]、約束螺旋法[11]等，提出基于幾何代數(shù)的自由度計(jì)算方法[12]，給出3?PRRU并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度的符號表達(dá)式[13]。廖明等采用方位特征集的方法分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度[14]。張二吻等利用約束螺旋理論得出2?PSP & 1?S具有2個轉(zhuǎn)動自由度[15]。劉宏偉分析了2種3?TPT并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度，借助Adams仿真驗(yàn)證了理論分析[16]。

目前，針對并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)的自由度分析，大多也采用基于約束螺旋理論的方法。吳騰提出一種新型3?UPU并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)，在構(gòu)態(tài)1具有3個平動自由度，在構(gòu)態(tài)2變換為3個轉(zhuǎn)動自由度 [17]。甘東明設(shè)計(jì)了一種3rTPS并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)，通過改變新型虎克鉸軸線來改變機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)目[18]。暢博彥提出一種并聯(lián)球面變胞機(jī)構(gòu)，在正常構(gòu)態(tài)下具有3個轉(zhuǎn)動自由度，在變胞構(gòu)態(tài)具有額外一個徑向自由度 [19]。

文中根據(jù)變胞機(jī)構(gòu)理論中改變運(yùn)動副方位特征實(shí)現(xiàn)構(gòu)態(tài)變換的原理，設(shè)計(jì)一種新型可變轉(zhuǎn)動軸線的2?PrRS?PR（P）S并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)，可應(yīng)用于管道檢測機(jī)器人的并聯(lián)支撐腿、數(shù)控加工刀具的換向機(jī)構(gòu)和物料快速抓取及振動分揀機(jī)構(gòu)等工程實(shí)際中。根據(jù)需求進(jìn)行自由度變換，以適應(yīng)任務(wù)需求。首先利用螺旋理論分析機(jī)構(gòu)不同構(gòu)態(tài)的自由度特性;其次利用多自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸入選取理論分析機(jī)構(gòu)輸入選取的合理性。最后，基于SolidWorks建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡化模型，在Adams中進(jìn)行仿真，驗(yàn)證分析的正確性。

1?2?PrRS?PR（P）S并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)

2 PrRS?PR（P）S機(jī)構(gòu)示意圖如圖1所示，該機(jī)構(gòu)由動平臺、靜平臺、和3個分支組成。分支1為PR（P）S結(jié)構(gòu)，分支2和分支3為PrRS結(jié)構(gòu)，其中rR為可轉(zhuǎn)軸線轉(zhuǎn)動副。

2?PrRS?PR（P）S機(jī)構(gòu)是一種并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)，能夠通過改變移動副的位移來改變轉(zhuǎn)動軸線的方向。分支2和3的滑套內(nèi)壁刻有滑槽，滑槽由兩段沿滑槽軸向成90°間隔的直線段和中間過渡螺旋線構(gòu)成，當(dāng)分支2和3的轉(zhuǎn)動副軸線位于第一個直線段，轉(zhuǎn)動副軸線平行于靜平臺，此時機(jī)構(gòu)處于構(gòu)態(tài)1狀態(tài);通過移動副驅(qū)動，分支2和3的轉(zhuǎn)動副軸線進(jìn)入中間過渡螺旋線段，轉(zhuǎn)動副軸線與靜平臺成一定角度，機(jī)構(gòu)處于構(gòu)態(tài)2過渡構(gòu)態(tài);當(dāng)機(jī)構(gòu)分支2和3的轉(zhuǎn)動副軸線通過螺旋線段進(jìn)入第二個直線段，轉(zhuǎn)動副軸線垂直于靜平臺，分支1中的上連桿移動副會在拉力作用下解鎖，使該分支桿伸長并鎖定，此時機(jī)構(gòu)處于構(gòu)態(tài)3狀態(tài)。其中構(gòu)態(tài)1和構(gòu)態(tài)3為工作構(gòu)態(tài)，構(gòu)態(tài)2為過渡構(gòu)態(tài)。

機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖如圖2所示，動平臺B1B2B3和靜平臺A1A2A3均為正三角形。分支1的移動副P1的移動軸線沿著過A1點(diǎn)的正三角形中線。轉(zhuǎn)動副R1的轉(zhuǎn)動軸線與靜平臺A2A3邊平行;分支2和分支3的移動副P2和P3的移動軸線沿著A2A3，轉(zhuǎn)動副rR2和rR3為可變轉(zhuǎn)動軸線的轉(zhuǎn)動副，其軸線平行于YOZ平面。機(jī)構(gòu)可以通過改變移動副P2和P3的位移來改變轉(zhuǎn)動副rR2和rR3的軸線與靜平臺的角度。

建立空間直角坐標(biāo)系，定坐標(biāo)系-XYZ的原點(diǎn)位于A2A3中點(diǎn)，X軸沿著A2A3指向A3點(diǎn)方向，Y軸沿著OA1指向A1點(diǎn)方向，Z軸垂直于靜平臺向上;動坐標(biāo)系O1-X1Y1Z1原點(diǎn)位于B2B3中點(diǎn)，x軸沿著B2B3指向B3點(diǎn)方向，y軸沿著OcB1指向B1點(diǎn)方向，z軸垂直于動平臺向上。

2?基于螺旋理論的自由度分析

利用螺旋理論，對并聯(lián)機(jī)構(gòu)不同構(gòu)態(tài)的每個分支求取運(yùn)動螺旋系和反螺旋系，討論作用于構(gòu)件上的約束螺旋系，確定并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動螺旋，從而可以判斷機(jī)構(gòu)的自由度，進(jìn)而根據(jù)修正的Kutzbach?Grübler公式驗(yàn)證機(jī)構(gòu)的自由度。

分析時只對工作構(gòu)態(tài)進(jìn)行分析，2種工作構(gòu)態(tài)如圖3和圖4所示。

2.1?構(gòu)態(tài)1機(jī)構(gòu)自由度性質(zhì)分析

機(jī)構(gòu)分支2和分支3的移動副處于滑槽的第一個直線段時，為構(gòu)態(tài)1狀態(tài)，分支2和分支3轉(zhuǎn)動副軸線與靜平臺所在平面平行。

取分支1求解其運(yùn)動螺旋和約束螺旋，建立如圖5所示分支1坐標(biāo)系O1-X1Y1Z1.

對上式求反螺旋，得到分支1的約束螺旋為

S|r1=（1，0，0;0，z1，-y1），由

S|rS|r0=0得出此約束螺旋是一個與X1軸同向的力矢量，且過B1點(diǎn)。同理，分支2的約束螺旋為S|r2=（0，1，0;-z20，x2），分支3的約束螺旋為

S|r3=（0，1，0;-z3，0，x3），分別與Y2和Y3同向的力矢，過B2點(diǎn)和B3點(diǎn)。3個分支施加3個力矢，則該平臺有3個自由度：繞x軸和y軸的轉(zhuǎn)動自由度及沿z軸的移動自由度。

2.2?構(gòu)態(tài)3機(jī)構(gòu)自由度性質(zhì)分析

機(jī)構(gòu)分支2和分支3的可轉(zhuǎn)軸線轉(zhuǎn)動副經(jīng)移動副驅(qū)動轉(zhuǎn)到滑槽的第二個直線段時，為構(gòu)態(tài)3狀態(tài)，此時分支2和分支3

轉(zhuǎn)動副軸線與靜平臺所在平面垂直，根據(jù)螺旋理論，分支1與構(gòu)態(tài)1的運(yùn)動螺旋相同，則約束螺旋為：

S|r1=（1，0，0;0，z1，-y1）.

對分支2，建立如圖6所示分支1坐標(biāo)系

O2-X2Y2Z2.

取B2坐標(biāo)為（x2，y2，0），則分支2的運(yùn)動螺旋系，并對其求反螺旋，得到分支2的約束螺旋S|r2.

由S|′S|r0=0，此約束螺旋是是一個與Y2軸同向的力矢量，且過B2點(diǎn)。

分支3與分支2結(jié)構(gòu)相同，其約束螺旋為S|r3=（0，0，1;y3，-x3，0），是一個與Y3軸同向的力矢量，且過B3點(diǎn)。則平臺有3個自由度：繞x軸和z軸的轉(zhuǎn)動和沿y軸的移動。

另外，由修正的Kutzbach?Grübler公式有

=d（n-m-1）+mi=1fi+v

式中?d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)，個;n，m分別為構(gòu)件總數(shù)和運(yùn)動副總數(shù)，個;fi為第i個運(yùn)動副的相對自由度數(shù)，個;v為機(jī)構(gòu)冗余約束數(shù)，個。

計(jì)算可得此機(jī)構(gòu)在這2種構(gòu)態(tài)下自由度數(shù)目為3，這驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)自由度的正確性。

3?2?PrRS?PR（P）S機(jī)構(gòu)驅(qū)動選取

所采取驅(qū)動副數(shù)目要和機(jī)構(gòu)自由度數(shù)目相等，才能成為有確定輸入機(jī)構(gòu)。此機(jī)構(gòu)在2個構(gòu)態(tài)具有3個自由度，且其構(gòu)態(tài)變化是通過移動副位移變化來實(shí)現(xiàn)可轉(zhuǎn)軸線轉(zhuǎn)動副轉(zhuǎn)動軸線方向的改變，故選取3分支中的3個移動副作為輸入驅(qū)動副，利用多自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸入選取理[20]驗(yàn)證其合理性。

3.1?構(gòu)態(tài)1驅(qū)動選取分析

在構(gòu)態(tài)1的初始位形，剛化3個分支的移動副，分支1的運(yùn)動螺旋系為

求其反螺旋，可得分支1的約束螺旋為

式中?S|r11為沿一個沿平行于第一分支坐標(biāo)系x軸的軸線的約束力，作用點(diǎn)過球副中心點(diǎn);S|r21為一個沿著分支1桿長方向向的約束力，且過球副中心。同理，分支2和分支3的約束螺旋為

則從機(jī)構(gòu)整體看，3個分支有提供6個約束力矢，其中的

S|r21，S|r22，S|r23沿著各自的x軸方向，且過各自的球副中心點(diǎn)，線性無關(guān)。S|r21，S|r22，S|r23沿著各自分支連桿方向，線性無關(guān)。根據(jù)線矢量和螺旋在不同幾何空間下的線性相關(guān)性，可知整個機(jī)構(gòu)的6個約束螺旋所組成的約束螺旋系

S|r=（S|r11，S|r22，S|r12，S|r22，S|r13，S|r21）

的秩為6，即dim（S|r）=6.所以選取3個分支的移動副作為主動輸入副是合理的。

在位形發(fā)生變化后，容易求出各分支的約束螺旋與前面相同，則其約束螺旋系的秩仍為6，所以發(fā)生位形變化后各分支選取移動副作為主動輸入副是合理的。

3.2?構(gòu)態(tài)3驅(qū)動選取分析

在構(gòu)態(tài)3的初始位形，剛化3個移動副，機(jī)構(gòu)分支1的運(yùn)動螺旋系與構(gòu)態(tài)1時相同，其對應(yīng)的約束螺旋為

對分支2，其運(yùn)動螺旋變?yōu)?/p>

求其反螺旋，可得分支2的約束螺旋為

同理，分支3的約束螺旋為

從機(jī)構(gòu)整體看，3個分支提供6個約束力矢，其中的

S|r11沿著分支1的x軸方向，

S|r12，S|r13沿著各自的z軸方向，且過各自的球副中心點(diǎn)，線性無關(guān)。

S|r21，S|r22，S|r23沿著各自分支連桿方向，滿足空間不匯交條件，線性無關(guān)。同樣可知整個機(jī)構(gòu)的約束螺旋系

S|r=（S|r11，S|r21，S|r12，S|r22，S|r13，S|r21）的秩為6，即dim（

S|r）=6.所以選取3個分支的移動副作為主動輸入副是合理的。

在位形發(fā)生變化后，容易求出各分支的約束螺旋與前面相同，則其約束螺旋系的秩仍為6，所以發(fā)生位形變化后各分支選取移動副作為主動輸入副是合理的。

綜上所述，機(jī)構(gòu)選取3個移動副作為驅(qū)動副是合理的。

4?機(jī)構(gòu)自由度Adams仿真

利用SolidWorks建立機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)模型，簡化后導(dǎo)入Adams，根據(jù)機(jī)構(gòu)連接方式，對各構(gòu)件添加約束和驅(qū)動，機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)1和構(gòu)態(tài)3仿真模型如圖7和圖8所示。

4.1?構(gòu)態(tài)1仿真分析

構(gòu)態(tài)1設(shè)置運(yùn)動仿真，仿真時間5 s，仿真步數(shù)steps=500，此時給定3個分支相同的驅(qū)動，即m1～m3=20*sin（4*time），繪制動平臺中心的運(yùn)動位移曲線如圖9所示，可以看出，機(jī)構(gòu)動平臺在z軸方向上下運(yùn)動，x和y軸方向無運(yùn)動。這也驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)在構(gòu)態(tài)1時具有z軸方向的移動自由度。

改變3個驅(qū)動副的數(shù)值，對機(jī)構(gòu)進(jìn)行重新仿真，仿真時間5 s，仿真步數(shù)steps=500，3個驅(qū)動副為：m1=10*sin（2*time），m2=20*sin（4*time），m3=25*sin（4*time），可以觀察到動平臺出現(xiàn)擺動。繪制動平臺中心的角運(yùn)動速度曲線如圖10所示。

可以看出，機(jī)構(gòu)在繞著x軸和y軸方向存在轉(zhuǎn)動，在z軸方向無轉(zhuǎn)動。也驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)在構(gòu)態(tài)1時的理論計(jì)算，即機(jī)構(gòu)具有繞x軸和y軸方向的轉(zhuǎn)動自由度。

4.2?構(gòu)態(tài)3仿真分析

設(shè)置運(yùn)動仿真，仿真時間5 s，仿真步數(shù)steps=500，此時給定3個分支驅(qū)動分別為m1=10*sin（2*time），m2= 20*sin（2*time），m3=20*sin（2*time），繪制動平臺中心的運(yùn)動位移曲線如圖11所示。可以看出，此時動平臺在y軸方向上下運(yùn)動，x和z方向無運(yùn)動，這也驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)在構(gòu)態(tài)3時具有y軸方向的移動自由度。

改變3個驅(qū)動副的數(shù)值，對機(jī)構(gòu)進(jìn)行重新仿真，仿真時間5 s，仿真步數(shù)steps=500，其中3個驅(qū)動副分別為：m1=5*sin（1*t），m2=20*sin（4*t）;m3=25*sin（4*t）。

可以觀察到動平臺出現(xiàn)擺動。繪制動平臺中心的運(yùn)動角速度曲線如圖12所示?？梢钥闯?，機(jī)構(gòu)在繞著x軸和z軸方向存在轉(zhuǎn)動，在y軸方向無轉(zhuǎn)動。這也驗(yàn)證了該機(jī)構(gòu)在構(gòu)態(tài)3時具有繞x軸和z軸方向的轉(zhuǎn)動自由度。

5?結(jié)?論

1）提出了一種新型可變轉(zhuǎn)動軸線的2?PrRS?PR（P）S并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)，具有2個變胞構(gòu)態(tài)和一個過渡構(gòu)態(tài);

2）機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)1具有x軸和y軸方向轉(zhuǎn)動自由度、z軸方向移動自由度;機(jī)構(gòu)在構(gòu)態(tài)3具有x軸和z軸方向轉(zhuǎn)動自由度、y軸方向移動自由度;

3）根據(jù)多自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸入選取理論，驗(yàn)證了移動副作為主動副的合理性;

4）利用SolidWorks建立機(jī)構(gòu)模型，簡化后導(dǎo)入Adams進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了理論分析的正確性。

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