對《貝葉斯統(tǒng)計》課程中兩個定理的教學研究

鐘華 范樂樂

摘要：本文中，對《貝葉斯統(tǒng)計》課程中的兩個重要定理中的結論等式進行了進一步的研究。首先采用高等數(shù)學中的微分求導以及級數(shù)變換等方式，從理論上詳細證明了這兩個定理中的結論等式，然后簡單介紹了通過R軟件，使用隨機蒙特卡羅代入的方法對定理進行數(shù)值驗證的一般步驟。通過對定理的進一步研究，有利于加強課程的教學效果與教學深度，使學生能得到綜合知識與能力的提升。

關鍵詞：貝葉斯統(tǒng)計;微分求導;級數(shù)變換;蒙特卡羅代入

一、兩個定理的理論證明方法

在《貝葉斯統(tǒng)計》課程中的“貝葉斯決策”這部分內容的教學中，為了計算貝塔分布下二行動線性決策問題的先驗EVPI，需要用到如下的定理1，定理1反映了貝塔分布這個連續(xù)型的分布與離散型的二項分布之間的聯(lián)系。而在本人授課所使用的教材中，只給出了這個定理的結論，并沒有給出其完整明確的證明過程。下面，本人將采用與文獻中類似的研究方法，給出定理1的一種證明方法。

定理1.當α與β皆為正整數(shù)時，用在貝塔分布Be（α，β）下計算事件{θ≤θ}的概率可以轉化為用二項分布計算，具體公式如下：

在課程后續(xù)的教學中，緊接著又出現(xiàn)了一個與定理I類似的定理，如定理2

定理2同樣反映了伽瑪分布這個連續(xù)型的分布與離散型的泊松分布之間的內在聯(lián)系。定理2與定理I很明顯屬于同一種類型，教材中仍然沒有給出具體的證明過程。下面，本人采用與定理I類似的證明方法，給出定理2的一種證明。

二、兩個定理的數(shù)值驗證方法

在定理1和定理2的教學中，也可以理論教學結合實驗教學，要求學生利用R軟件編寫相應的R程序，對定理進行數(shù)值驗證，從而加強對定理的認識，使學生更容易接受知識。具體方法如下。

第一步，任意取定一個θ∈（0，1），先代入定理1或者定理2中的等式的左邊，計算出左邊對應的值;第二步，把取定的θ代入等式右邊，得到等式右邊對應的值;第三步，比較等式左邊與右邊的值，如果兩端的值相等，說明等式在取定的θ這點處是成立的;第四步，運用隨機蒙特卡羅方法，隨機選取至少1000個這樣的θ，驗證在這些θ處等式是否成立。

通過R軟件強大的計算能力，學生驗證了在對任意選取的至少1000個θ∈（0，1），兩個定理中的等式都成立，可以說，基本上通過數(shù)值模擬，驗證了定理中的等式對任意的θ∈（0，1）都應該是成立的。

三、結語

綜合文中兩個定理的證明，可以看出證明方法還是比較簡單的，只用到了高等數(shù)學中的微分求導以及級數(shù)變換等方面的內容，理論教學講解中也便于學生接受，再結合數(shù)值驗證，可進一步加深學生對定理的認識、記憶和應用。另外，也希望能給其他從事《貝葉斯統(tǒng)計》課程教學的教師給予一定的幫助。

參考文獻

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作者簡介

鐘華（1980-），男，副教授，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計方面的研究。

基金項目：河池學院2015年碩士專業(yè)學位建設基金課題（編號：2015YTB004）。