數(shù)學(xué)思考

李秀珍

何謂數(shù)學(xué)思考？顧名思義，就是指運(yùn)用“數(shù)學(xué)方式的理性思維”進(jìn)行思考?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2011年版在“課程目標(biāo)”的“總目標(biāo)”中明確指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。”另外，在“知識(shí)技能、過程方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀”的三維目標(biāo)框架下，數(shù)學(xué)課程目標(biāo)又細(xì)化為“知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度”四個(gè)方面。顯然，“數(shù)學(xué)思考”已經(jīng)作為小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的四大目標(biāo)之一，并直接指向的是三維目標(biāo)中的“過程方法”目標(biāo)。東北師范大學(xué)前校長史寧中教授在《談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》一文中談到：“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)?！睌?shù)學(xué)名師顧志能在他的一篇文章中說道：數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，源于人類的思考;數(shù)學(xué)的發(fā)展，是人類思考催動(dòng)的結(jié)果。所以，沒有數(shù)學(xué)思考就沒有真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)思考是學(xué)生成長成才的核心技能和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵思維品質(zhì)。如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思考？筆者分享幾點(diǎn)經(jīng)驗(yàn)。

一、提供思考的范式——學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考

正如事物都具有形式和內(nèi)容兩個(gè)方面一樣，數(shù)學(xué)思考的引領(lǐng)既要在內(nèi)容上逼近數(shù)學(xué)，觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也要在形式上加以考量。數(shù)學(xué)思考的范式不是指某道題的書寫格式，而是指這道題是怎樣思考出來的過程敘述。也就是說，教學(xué)中我們要從關(guān)注思考答案到關(guān)注“答案”的思考，在數(shù)學(xué)的天地里，怎么知道遠(yuǎn)比知道什么更為重要。這個(gè)范式既包括正向范式也包括負(fù)向范式，即教師在指導(dǎo)學(xué)生做題時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生說出“我是如何做出來的”，也要引導(dǎo)學(xué)生說出“我由于什么問題自己沒有做出來，然后又是通過怎樣的方法自己又想出來的”，特別后者對(duì)于學(xué)生的意義非常大。同時(shí)也要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)一些具體的方法，比如，排除法、圖示法、枚舉法、觀察的方法、分類的方法、歸納總結(jié)的方法、推理的策略等，并且還要學(xué)會(huì)怎么合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己想法。

如，筆者在上《正比例》一課時(shí)，在引出正比例的一個(gè)導(dǎo)課環(huán)節(jié)中，由于學(xué)生沒有掌握觀察的方法，在匯報(bào)交流時(shí)，只說“正方形的周長隨邊長的變化而變化”，當(dāng)追問是怎樣的變化？學(xué)生說不清晰，道不明白。然后在課件的引導(dǎo)下，學(xué)生領(lǐng)悟了有序觀察的方法：“從左往右看正方形的周長隨著邊長的擴(kuò)大而擴(kuò)大，從右往左看，正方形的周長隨邊長的縮少而縮少，從上往下看……”學(xué)生在觀察中比較，在比較中概括，從而發(fā)現(xiàn)并猜想到結(jié)論。觀察不是凌亂，而是有序的，從左往右、從右往左、從上到下，這就是觀察方法的思考范式。

二、設(shè)計(jì)有效的課堂提問——激發(fā)數(shù)學(xué)思考

課堂提問是支撐學(xué)生數(shù)學(xué)思考、乃至整個(gè)教學(xué)活動(dòng)的有效手段，課堂提問是對(duì)所創(chuàng)設(shè)的問題情境的逐級(jí)細(xì)化和深入，是教師激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的直接推手，是引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考的指南針。優(yōu)質(zhì)的課堂提問，能激起學(xué)生主動(dòng)探究、深入思考的愿望，能給學(xué)生創(chuàng)造展現(xiàn)個(gè)性思維、發(fā)揮創(chuàng)造能力的機(jī)會(huì)。

有效的課堂提問能引發(fā)學(xué)生積極思考，達(dá)到對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)、方法的探究、問題的解決起到“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的效果。如，在學(xué)習(xí)了《三角形邊的關(guān)系》后，出示書本中的一道練習(xí)題：從下面5根小棒（分別為3cm，3cm，3cm，4cm，6cm）中任意取出3根，擺出2種不同的三角形。如果在教學(xué)中，讀題后就讓學(xué)生擺，學(xué)生至多就擺出3種不同的三角形，但把題目換個(gè)問法，情況就大不一樣了。

師提問：你準(zhǔn)備怎樣取小棒，擺出不同的三角形？

生A：我按“任意兩邊之和大于第三邊”的方法找三根小棒，能找出3種不同的三角形。

生B：我按順序排列組合，然后按“任意兩邊之和大于第三邊”的方法一個(gè)一個(gè)來判斷，也能找出所有的三角形。6cm，4cm， 3cm， （能）;4cm ，3cm，3cm，（能）;6cm，3cm，3cm， （不能）;3cm，3cm，3cm（能）。

師追問：在這一組數(shù)據(jù)中，你還能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論？

生：這5根小棒有4組組合。有一組小棒不能擺成一個(gè)三角形，其余3組擺出了一個(gè)不等邊三角形，一個(gè)等腰三角形和一個(gè)等邊三角形。

看似一道簡(jiǎn)單的練習(xí)題，教師的有效變式提問，開啟了學(xué)生的思維，既活躍課堂氣氛，又拓展學(xué)生的視野，還充分發(fā)揮了這道題在培養(yǎng)學(xué)生思維能力方面的作用。首先，達(dá)成了這道題的最低要求“擺出兩種”，達(dá)到了運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題的最基礎(chǔ)要求;其次，對(duì)5根小棒進(jìn)行有序排列，強(qiáng)化了有序思維意識(shí)。既對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了鞏固，又內(nèi)化了知識(shí)，結(jié)成了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，促進(jìn)了學(xué)習(xí)的靈活性，培養(yǎng)了學(xué)生思維能力;其三，最后的追問，讓學(xué)生的思維達(dá)到高潮，從另一個(gè)思維角度來認(rèn)識(shí)同一問題，發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)道理，培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)概念來解釋現(xiàn)象的能力和求異思維能力。

三、保證充裕的探究時(shí)間——深化數(shù)學(xué)思考

教育，作為一種慢的藝術(shù)，需要留足探索的時(shí)間和空間，需要有舒緩的節(jié)奏，需要靜聽“思維花開的聲音”。數(shù)學(xué)家陳省身也說過：“數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會(huì)有很好的效果……”課堂上，僅灌輸題目怎么做，而不容學(xué)生思考的時(shí)間，那是練習(xí)聽寫，對(duì)于學(xué)生是沒有任何幫助的。但為了完成教學(xué)進(jìn)度，教師往往會(huì)不斷“壓榨”學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間和空間，剝奪學(xué)生本來需要經(jīng)歷的思考過程。沒有體驗(yàn)、沒有感悟，不可能內(nèi)化。所以“問題提出后先讓學(xué)生想一想，疑問產(chǎn)生時(shí)先讓學(xué)生議一議，例題出示后先讓學(xué)生試一試”。更重要的是，教學(xué)中的“引領(lǐng)性問題”不應(yīng)太多，而應(yīng)努力做到“少而精”，從而使學(xué)生深度思考，充分交流，讓多元表達(dá)成為可能。

如，在教學(xué)四年級(jí)下冊(cè)第二單元“認(rèn)識(shí)三角形和四邊形”的第一課時(shí)“圖形分類”，筆者設(shè)計(jì)了兩個(gè)“引領(lǐng)性問題”貫穿了整節(jié)課：一是在回顧已經(jīng)學(xué)過的各種圖形后提出第一個(gè)問題：這些圖形雖然形狀各異，但彼此之間都有聯(lián)系，你們能根據(jù)它們之間的聯(lián)系進(jìn)行分類嗎？二是在經(jīng)歷三次分類操作活動(dòng)的基礎(chǔ)上提出：如果將大橋支架的三角形換成平行四邊形或其它圖形，把伸縮門的平行四邊形換成三角形將會(huì)出現(xiàn)怎么樣的情況，請(qǐng)同學(xué)們大膽猜想一下，并動(dòng)手驗(yàn)證。整節(jié)課學(xué)生圍繞兩個(gè)“引領(lǐng)性問題”“動(dòng)”“思”結(jié)合，在擺一擺、分一分、圈一圈、填一填、拼一拼、拉一拉、說一說中經(jīng)歷了三次的分類活動(dòng)和一次三角形穩(wěn)定性的探究活動(dòng)，學(xué)生在活動(dòng)中經(jīng)歷了比較、分析、綜合、歸納、推理等思考過程，厘清了幾何圖形知識(shí)結(jié)構(gòu)，理解了圖形的特性，形成了技能，獲得了情感體驗(yàn)。當(dāng)學(xué)生思維遇到障礙和矛盾，不能進(jìn)一步深層次思考時(shí)，筆者再通過追問的形式，如，“你是按什么標(biāo)準(zhǔn)分類的？”“根據(jù)平面圖形和立體圖形的特點(diǎn)，誰來說說這立體圖形和平面圖形之間有什么關(guān)系呢？”“為什么三角形就穩(wěn)定呢？它里面又有什么秘密呢？”從而讓不同學(xué)生的想法“暴露在陽光之下”，在師生交流，生生互動(dòng)，思維碰撞和成果展示中，讓不同學(xué)生的思考成果轉(zhuǎn)化為全班的共同智慧。

數(shù)學(xué)思考，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不可缺失的一塊拼圖。因此，教師必須將“數(shù)學(xué)思考”目標(biāo)作為課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)，不斷將學(xué)習(xí)的重心從數(shù)學(xué)知識(shí)技能的獲取遷移回歸，聚焦到數(shù)學(xué)思考能力的培養(yǎng)上，最終達(dá)成“啟其心智，開啟慧根”這一目標(biāo)，這是我們數(shù)學(xué)教師的責(zé)任和使命所在，任重而道遠(yuǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：8.